Math24.ru
Математический Анализ
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
   Производные высшего порядка
Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде
Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:
Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как
Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы:
В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид
   Пример 1
Найти y'', если .

Решение.
Возьмем первую производную дифференцируя функцию как произведение.
     
Теперь найдем производную второго порядка
     
   Пример 2
Вычислить y'' для параболы .

Решение.
Дифференцируя как неявную функцию, имеем
     
Дифференцируя еще раз и используя правило для производной произведения, получаем
     
Умножим обе части на y 2 :
     
Поскольку yy' = 2, и следовательно, (yy' )2 = 4, то последнее уравнение записывается в виде:
     
Отсюда следует, что
     
   Пример 3
Найти все производные функции .

Решение.
Пусть u = e x и v = x 2. Тогда
     
Легко устанавливаются общие формулы для производных n-порядка:
     
Используя формулу Лейбница
     
получаем
     
   Пример 4
Определить все производные синуса.

Решение.
Вычислим несколько первых производных:
     
Очевидно, что производная n-го порядка выражается формулой
     
   Пример 5
Найти все производные функции .

Решение.
Аналогично предыдущему примеру, найдем сначала несколько первых производных.
     
Этого достаточно, чтобы обнаружить общий "паттерн":
     

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2014   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.