Math24.ru
Математический Анализ
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
   Производные высшего порядка
Производные высшего порядка явно заданной функции
Пусть функция y = f(x) имеет конечную производную f '(x) в некотором интервале (a, b), т.е. производная f '(x) также является функцией в этом интервале. Если эта функция дифференцируема, то мы можем найти вторую производную исходной функции f, которая обозначается в виде
Аналогично, если f ''  существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:
Производные более высокого порядка (если они существуют) определяются как
Таким образом, понятие производной n-го порядка вводится индуктивно путем последовательного вычисления n производных, начиная с производной первого порядка. Переход к производной следующего, более высокого порядка производится с помощью рекуррентной формулы
В ряде случаев можно вывести общую формулу для производной произвольного n-го порядка без вычисления промежуточных производных. Некоторые такие примеры рассмотрены ниже.

Отметим, что для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие линейные соотношения:
Производные высшего порядка неявно заданной функции
Производная n-го порядка неявно заданной функции находится последовательным (n раз) дифференцированием уравнения F(x, y) = 0. На каждом шаге, после соответствующих подстановок и преобразований, можно получить явное выражение для производной, зависящее лишь от переменных x, y, т.е. производные имеют вид
Производные высшего порядка функции, заданной параметрически
Рассмотрим функцию y = f(x), заданную параметрически с помощью двух уравнений
Первая производная данной функции выражается формулой
Дифференцируя еще раз по x, находим производную второго порядка:
Аналогично определяются производные третьего и более высокого порядка:
   Пример 1
Найти y'', если  y(x) = x ln x.

Решение.
Вычислим первую производную, дифференцируя функцию как произведение:
     
Теперь найдем производную второго порядка:
     
   Пример 2
Найти вторую производную функции .

Решение.
Сначала вычислим первую производную:
     
Дифференцируем еще раз:
     
   Пример 3
Вычислить y'' для параболы  y2 = 4x.

Решение.
Дифференцируя как неявную функцию, имеем
     
Дифференцируя еще раз и используя формулу для производной произведения, получаем
     
Умножим обе части на y 2 :
     
Поскольку yy' = 2, и следовательно, (yy' )2 = 4, то последнее уравнение записывается в виде:
     
Отсюда следует, что
     
   Пример 4
Дана функция y = (2x + 1)3(x − 1). Найти все производные n-го порядка с n = 1 до n = 5.

Решение.
Преобразуем сначала заданную функцию в многочлен:
     
Теперь последовательно вычислим производные с 1-го до 5-го порядка:
     
   Пример 5
Найти производную n-го порядка функции натурального логарифма  y = ln x.

Решение.
Вычислим несколько последовательных производных заданной функции:
     
Отсюда видно, что производная произвольного n-го порядка выражается формулой
     
Строгое обоснование этой формулы можно получить, используя метод математической индукции.

   Пример 6
Определить все производные синуса.

Решение.
Вычислим несколько первых производных:
     
Очевидно, что производная n-го порядка выражается формулой
     
Строгое доказательство этой формулы можно выполнить методом математической индукции.

   Пример 7
Определить все производные косинуса.

Решение.
Аналогично примеру 6, найдем последовательно несколько первых производных функции косинус:
     
Ясно, что следующая производная 5-го порядка совпадает с первой производной, 6-ая − со 2-ой и так далее. Таким образом, производная n-го порядка функции косинус описывается формулой
     
   Пример 8
Найти все производные функции .

Решение.
Найдем сначала несколько первых производных.
     
Этого достаточно, чтобы обнаружить общий "паттерн":
     
   Пример 9
Найти вторую производную функции .

Решение.
Дифференцируя как сложную функцию, найдем первую производную:
     
Представим здесь |x| как  x sign x, где
     
Тогда
     
Вычислим теперь вторую производную, дифференцируя предыдущее выражение как частное двух функций:
     
   Пример 10
Найти третью производную функции .

Решение.
Дифференцируем последовательно заданную функцию:
     
     
   Пример 11
Найти вторую производную неявно заданной функции  x2 + y2 = R2 (каноническое уравнение окружности).

Решение.
Учитывая, что y − функция переменной x и дифференцируя обе части уравнения, находим первую производную:
     
Продифференцируем полученное выражение еще раз:
     
Подставляя в последнюю формулу первую производную y', имеем:
     
   Пример 12
Найти производную n-го порядка функции y = 32x+1.

Решение.
Вычислим последовательно несколько производных, начиная с производной первого порядка.
     
Отсюда следует, что производная n-го порядка выражается формулой
     
Строгое доказательство можно провести методом математической индукции. Очевидно, что данная формула справедлива при n = 1. Предположим, что она верна при n = k :
     
Тогда при n = k + 1 имеем:
     
т.е. формула справедлива и при n = k + 1. Следовательно, она верна для любого натурального числа n.

   Пример 13
Найти производную n-го порядка степенной функции y = xm, где m − действительное число.

Решение.
Вычислим последовательно несколько первых производных:
     
Отсюда легко установить общее выражение для производной n-го порядка:
     
Докажем это методом математической индукции. Очевидно, что данная формула справедлива для n = 1. Полагая, что она верна для степени n, продифференцируем ее еще раз и найдем производную (n + 1)-го порядка:
     
Как видно, производная (n + 1)-го порядка выражается такой же формулой, как и производная n-го порядка (только число n заменяется числом n + 1). Следовательно, полученное выражение справедливо для любого натурального значения n (n − порядок производной).

Заметим, что показатель степени m, вообще говоря, является действительным числом. Если рассматривать лишь натуральные значения m, то формулу для производной можно записать в более компактном виде:
     
где n ≤ m. Все остальные производные порядка n > m будут равны нулю.

   Пример 14
Найти производную n-го порядка от квадратного корня  y = √x.

Решение.
Воспользуемся результатом примера 13, где выведена производная n-го порядка степенной функции с произвольным действительным показателем m. В данном случае имеем
     
Тогда производная записывается в виде
     
При n = 1 производная равна
     
При условии n ≥ 2 произведение нечетных чисел в квадратных скобках можно записать через двойной факториал:
     
Следовательно, при n ≥ 2 производная n-го порядка выражается общей формулой
     
В частности,
     
   Пример 15
Найти производную n-го порядка от кубического корня .

Решение.
Первая производная кубического корня выражается формулой
     
Далее используем общую формулу для производной n-го порядка степенной функции y = xm (пример 13):
     
В нашем случае m = 1/3. Следовательно, производная имеет такой вид:
     
где n ≥ 2. В частности, вторая и третья производные кубического корня выражаются формулами
     
   Пример 16
Найти первую и вторую производные по переменной x от функции, заданной параметрически:
     

Решение.
Вычислим первую производную y'x по формуле:
     
Следовательно,
     
Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную по x:
     
Вычислим отдельно производную в числителе:
     
Поскольку производная в знаменателе равна
     
то получаем следующее выражение для второй производной исходной функции:
     
   Пример 17
Дано уравнение эллипса в параметрической форме:
     
где a, b − полуоси эллипса, t − параметр. Найти первую, вторую и третью производные от функции y по переменной x.

Решение.
Дифференцируя последовательно заданную параметрическую функцию, получаем:
     
   Пример 18
Найти третью производную функции, заданной уравнением  x2 + 3xy + y2 = 1.

Решение.
Однократное дифференцирование по переменной x приводит к следующему выражению:
     
Продифференцируем последнюю формулу еще раз, рассматривая y как сложную функцию:
     
Подставим полученное ранее явное выражение для первой производной y':
     
Поскольку  x2 + 3xy + y2 = 1, то получаем следующее выражение для второй производной y'':
     
Аналогично, дифференцируя еще раз, найдем третью производную:
     
Снова подставляем первую производную и находим:
     
   Пример 19
Найти вторую производную функции, заданной уравнением  x + y = e x − y.

Решение.
Дифференцируя обе части по x, получаем:
     
Продолжая дифференцирование, находим вторую производную:
     
Подставляем выражение для первой производной:
     
Теперь учтем исходное уравнение, согласно которому
     
В результате получаем следующее выражение для производной y'':
     
   Пример 20
Кривая описывается неявным уравнением  xy = 2x3y2 и проходит через точку (1, 1). Найти первую и вторую производные в данной точке.

Решение.
Вычислим первую производную:
     
Дифференцируя еще раз, находим значение второй производной в заданной точке:
     
Подставляем известные значения x, y, y':
     

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2014   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.