Использование интегрирующего множителя

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида где P(x,y) и Q(x,y) − функции двух переменных x и y, непрерывные в некоторой области D. Если то уравнение не будет являться уравнением в полных дифференциалах. Однако мы можем попробовать подобрать так называемый интегрирующий множитель, представляющий собой функцию µ(x,y), такую, что после умножения на нее дифференциальное уравнение преобразуется в уравнение в полных дифференциалах. В таком случае справедливо равенство: Это условие можно записать в виде: Последнее выражение представляет собой уравнение в частных производных первого порядка, которое определяет интегрирующий множитель µ(x,y).

К сожалению, не существует общего метода нахождения интегрирующего множителя. Однако можно упомянуть некоторые частные случаи, для которых можно решить полученное уравнение в частных производных и, в результате, определить интегрирующий множитель. В этом случае мы имеем , поэтому уравнение для µ(x,y) можно записать в виде: Правая часть этого уравнения должна быть только функцией от x. Функцию µ(x) можно найти, интегрируя последнее уравнение. Аналогично, если , то мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, определяющее интегрирующий множитель µ: где правая часть зависит только от y. Функция µ(y) находится интегрированием данного уравнения. Новая функция z(x,y) может быть, например, типа: и так далее.

Здесь важно, что интегрирующий множитель µ(x,y) будет являться некоторой функцией одной переменной z: и может быть найден из дифференциального уравнения: Предполагается, что правая часть уравнения зависит только от z и знаменатель не равен нулю.

Ниже мы рассмотрим некоторые частные случаи уравнения для которых можно найти интегрирующий множитель. Общие условия существования интегрирующего множителя выводятся в теории групп Ли.

   Пример 1

Решить уравнение  (1 + y²)dx + xydy = 0. Проверим сначала, что данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах: Как видно, частные производные не равны друг другу, поэтому уравнение не принадлежит к типу уравнений в полных дифференциалах. Попробуем подобрать интегрирующий множитель, чтобы преобразовать уравнение к указанному типу. Вычислим функцию Можно заметить, что выражение зависит только от переменной x. Следовательно, интегрирующий множитель будет также зависеть лишь от x: µ = µ(x). Мы можем найти его из уравнения: Разделяя переменные и интегрируя, получаем: Выберем µ = x. Умножая исходное дифференциальное уравнение на µ = x, получаем уравнение в полных дифференциалах: В самом деле, теперь мы имеем Решим последнее уравнение. Функцию u(x,y) можно найти из системы уравнений: Из первого уравнения следует, что Подставляем это во второе уравнение, чтобы определить φ(y): Отсюда следует, что φ(y) = C, где C − произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения определяется неявным выражением

   Пример 2

Решить дифференциальное уравнение  (x − cos y)dx − sin ydy = 0. Применяя наш тест на принадлежность к уравнениям в полных дифференциалах, находим: Следовательно, заданное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Попробуем "сконструировать" интегрирующий множитель. Заметим, что и выражение будет константой.

Следовательно, мы можем искать интегрирующий множитель в виде функции µ(x), решая соответствующее уравнение: Выберем функцияю µ = e^−x и убедимся, что исходное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах после умножения на µ = e^−x: Его общее решение можно найти из системы уравнением: В данном случае более удобно сначала проинтегрировать второе уравнение по переменной y: Подставляя это в первое уравнение, получаем Интегрирование по частям приводит к следующему результату: Таким образом, общее решение уравнения описывается соотношением где C является произвольным действительным числом.

   Пример 3

Решить дифференциальное уравнение  (xy² − 2y³)dx + (3 − 2xy²)dy = 0. Данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, поскольку Попробуем определить его общее решение, используя интегрирующий множитель. Вычислим разность Заметим, что выражение зависит только от y. Поэтому, интегрирующий множитель µ также будет функцией одной переменной y. Мы можем найти его из уравнения Интегрируя, находим: Выбирая в качестве интегрирующего множителя и затем умножая на него исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение в полных дифференциалах: В самом деле, теперь видно, что Отметим, что при умножении на интегрирующий множитель мы потеряли решение  y = 0. Это можно доказать прямой подстановкой решения  y = 0 в исходное дифференциальное уравнение.

Теперь найдем функцию u из системы уравнений: Из первого уравнения следует, что Из второго уравнения находим: Таким образом, заданное дифференциальное уравнение имеет следующие решения: где C − произвольная постоянная.

   Пример 4

Решить уравнение  (xy + 1)dx + x²dy = 0. Сначала убедимся, что заданное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах: Видно, что частные производные не равны друг другу. Поэтому, исходное уравнение не принадлежит к типу уравнений в полных дифференциалах. Вычислим разность производных: Попробуем применить интегрирующий множитель в форме z = xy. Здесь мы имеем: Тогда и, следовательно, получаем: Мы видим, что интегрирующий фактор зависит только от промежуточной переменной z: Этот интегрирующий фактор можно определить из последнего уравнения: Выбирая функцию µ = e^xy, можно преобразовать заданное дифференциальное уравнение в уравнение в полных дифференциалах: Проверим это, снова используя необходимое и достаточное условие: Итак, видно, что уравнение теперь стало уравнением в полных дифференциалах. Его общее решение находится из системы уравнений: Интегрируем второе уравнение по переменной y (при этом переменная x считается константой): Подставляя в первое уравнение системы, получаем: Следовательно, общее решение дифференциального уравнения записывается в форме: где C − произвольное действительное число.

   Пример 5

Решить уравнение  ydx + (x² + y² − x)dy = 0, используя интегрирующий множитель  µ(x,y) = x² + y². Нетрудно убедиться, что изначально уравнение не является уравнением в полных дифференциалах: Разность частных производных равна Используя интегрирующий множитель  µ = z = x² + y², находим: Вычислим следующее выражение: В результате мы получаем дифференциальное уравнение для функции µ(z): Интегрируем и определяем функцию µ(z): Можно выбрать интегрирующий множитель . После умножения на исходное дифференциальное уравнение превращается в уравнение в полных дифференциалах: Общее решение u(x,y) = C находится из следующей системы уравнений: Интегрируем первое уравнение по переменной x: Подставляя во второе уравнение, получаем: Таким образом, общее решение дифференциального уравнения в неявной форме определяется формулой: где C − произвольная константа.