Уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой где C − произвольная постоянная. Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D. Дифференциальное уравнение P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство:

1. Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие:
             
2. Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u(x,y):
             
3. Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y:
             
4. Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u(x,y) во второе уравнение:
             
   Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ(y):
             
5. Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ(y) и, следовательно, функцию u(x,y):
             
6. Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде:
             

Примечание: На шаге 3, вместо интегрирования первого уравнения по переменной x, мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной y. После интегрирования нужно определить неизвестную функцию ψ(x).

   Пример 1

Решить дифференциальное уравнение  2xydx + (x² + 3y²)dy = 0. Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поскольку соответствующие частные производные равны: Запишем следующую систему дифференциальных уравнений для определения функции u(x,y): Интегрируя первое уравнение по x, получаем: Подставляем выражение для u(x,y) во второе уравнение: Интегрируя последнее уравнение, находим неизвестную функцию φ(y): так что общее решение данного уравнения в полных дифференциалах имеет вид: где C − произвольная постоянная.

   Пример 2

Найти решение дифференциального уравнения  (6x² − y +3)dx + (3y² − x − 2)dy = 0. Проверим, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах: Как видно, мы имеем уравнение в полных дифференциалах. Запишем систему уравнений для определения функции u(x,y): проинтегрируем первое уравнение по переменной x, полагая, что y является константой. В результате получаем: Здесь мы ввели непрерывную дифференцируемую функцию φ(y) вместо постоянной C.
Подставим функцию u(x,y) во второе уравнение: Получаем уравнение для производной φ'(y): Интегрируя, находим функцию φ(y): Таким образом, функция u(x,y) определяется формулой Следовательно, общее решение уравнения описывается следующим неявным выражением: где C − произвольное действительное число.

   Пример 3

Решить дифференциальное уравнение  e ^ydx + (2y + xe ^y)dy = 0. Сначала проверим, что данное уравнение будет являться уравнением в полных дифференциалах: Видно, что . Найдем далее функцию u(x,y) из системы уравнений: Следовательно, Теперь продифференцируем это выражение по переменной y и приравняем к . В результате получим выражение для производной φ'(y): Таким образом мы находим φ(y) и всю функцию u(x,y): Следовательно, общее решение дифференциального уравнения записывается в виде:

   Пример 4

Решить уравнение  (2xy − sin x)dx + (x² - cos y)dy = 0. Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поскольку Найдем функцию u(x,y) из системы двух уравнений: Интегрируя первое уравнение по переменной x, получаем: Подставляя во второе уравнение, имеем: Следовательно, Тогда функция u(x,y) определятся выражением а общее решение дифференциального уравнения описывается неявной формулой

   Пример 5

Решить уравнение Сначала выясним, имеем ли мы дело с уравнением в полных дифференциалах: Как видно, . Следовательно, это уравнение в полных дифференциалах. Найдем функцию u(x,y), удовлетворяющую системе уравнений: Интегрируем первое уравнение: где φ(y) − некоторая неизвестная функция, зависящая от y. Мы определим ее позже.

Подставим результат во второе уравнение системы: Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ(y): где C − константа.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения описывается уравнением:

   Пример 6

Решить дифференциальное уравнение с начальным условием  y(1) = 1. Проверим, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, предварительно преобразовав его в стандартную форму: Частные производные будут равны Следовательно, мы имеем дело с уравнением в полных дифференциалах. Поэтому, далее запишем следующую систему уравнений для определения функции u(x,y): В данном случае удобнее проинтегрировать второе уравнение по переменной y: Теперь продифференцируем это выражение по переменной x: Итак, общее решение дифференциального уравнения в неявном виде определятся выражением: Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1. Подставляя начальные значения, определяем постоянную C: Следовательно, частное решение данной задачи Коши имеет вид: