Math24.ru
Математический Анализ
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
   Тригонометрические пределы
Основной тригонометрический предел (первый замечательный предел) имеет вид
Используя данный предел, можно получить ряд других тригонометрических пределов:
     
Здесь и далее предполагается, что углы измеряются в радианах.

   Пример 1
Вычислить предел .

Решение.
     
Так как , то
     
   Пример 2
Вычислить предел .

Решение.
Преобразуем числитель в произведение:
     
В результате получаем
     
   Пример 3
Вычислить предел .

Решение.
Используем следующее тригонометрическое тождество:
     
Получаем
     
Поскольку cos 4x является непрерывной функцией при x = 0, то
     
   Пример 4
Вычислить предел .

Решение.
Используя формулу
     
преобразуем данный предел следующим образом:
     
Здесь sin (−a) является константой, не зависящей от x. Поэтому,
     
   Пример 5
Вычислить предел .

Решение.
     
Очевидно, что Тогда
     
   Пример 6
Найти предел .

Решение.
Используя формулу
     
преобразуем предел:
     
Заменим переменную: . Если , то Тогда
     
   Пример 7
Найти предел .

Решение.
Выполним следующие преобразования:
     
Поскольку , то предел равен
     
Здесь
     
Следовательно,
     
Учитывая, что при , получаем окончательный ответ
     
   Пример 8
Найти предел .

Решение.
Сделаем подстановку: . Если , то . Тогда
     
   Пример 9
Найти предел .

Решение.
Используем тригонометрическую формулу
     
Тогда предел можно преобразовать следующим образом:
     
Здесь мы учли, что предел остается неизменным при замене предельного перехода на .

   Пример 10
Найти предел .

Решение.
     
Используя тождество , получаем
     
Очевидно, что в последнем выражении предел равен 1 и при . В результате получаем ответ
     

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2014   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.