Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. В общем виде функциональный ряд записывается как

где u_i (x) − функции переменной x.

Функциональный ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

где a_i − коэффициенты степенного ряда (постоянные действительные числа).

Часто рассматривается степенной ряд, расположенный по степеням (x − x₀):

где точка x₀ называется центром степенного ряда.

Интервал сходимости степенного ряда
Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество значений x, при которых ряд сходится. Данная область определения называется интервалом сходимости.

Радиус сходимости степенного ряда
Если интервал сходимости представляется в виде (x₀ − R, x₀ + R), где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Степенной ряд сходится абсолютно в каждой точке интервала сходимости. Сходимость в граничных точках x₀ − R и x₀ + R устанавливается отдельно.

Радиус сходимости по признаку Даламбера

Радиус сходимости по радикальному признаку Коши

Дифференцирование степенных рядов
Пусть дан степенной ряд

имеющий радиус сходимости R > 0. Функция является непрерывной при |x| < R. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно. Производная степенного ряда равна

Интегрирование степенных рядов
Степенной ряд можно почленно интегрировать на отрезке, расположенном внутри интервала сходимости. Если −R < b < x < R, то справедливо соотношение

Если интегрирование выполняется на отрезке [0, x], то интеграл выражается формулой