Криволинейный интеграл первого рода
Пусть кривая C задана векторной функцией r = r(s), 0 ≤ s ≤ S, и на этой кривой задана скалярная функция F.
Криволинейный интеграл первого рода от функции F вдоль кривой C записывается в виде

где ds − дифференциал дуги кривой.

Криволинейный интеграл (первого рода) вдоль объединения кривых равен сумме интегралов по каждой кривой:

Если гладкая кривая C задана параметрическим уравнением r = r(t), α ≤ t ≤ β, то криволинейный интеграл (первого рода) выражается формулой

Если C является гладкой кривой, лежащей в плоскости Oxy и заданной явным уравнением y = f(x), a ≤ x ≤ b, то криволинейный интеграл определяется выражением

Криволинейный интеграл первого рода в полярных координатах

где кривая C задана полярной функцией r(θ).

Криволинейный интеграл второго рода
Пусть кривая C определяется векторной функцией r = r(s), 0 ≤ s ≤ S. Вектор

представляет собой единичный вектор касательной к данной кривой.

Пусть на кривой C задано также векторное поле F(P, Q, R). Тогда криволинейный интеграл второго рода от векторной функции F вдоль кривой C выражается в виде

Свойства криволинейного интеграла второго рода

где −C обозначает кривую противоположного направления.

где C является объединением кривых C₁ и C₂.

Если кривая C задана параметрически в виде r(t) = (x(t), y(t), z(t)), α ≤ t ≤ β, то криволинейный интеграл (второго рода) равен

Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнением y = f(x), a ≤ x ≤ b, то криволинейный интеграл (второго рода) записывается в виде

Формула Грина

где F = P(x, y)i + Q(x, y)j является непрерывной векторной функцией с непрерывными частными производными ∂P/∂y, ∂Q/∂x, заданной в некоторой области R, ограниченной замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C.

Площадь области R, ограниченной кривой С

Независимость от пути интегрирования
Криволинейный интеграл (второго рода) от векторной функции F = Pi + Qj + Rk не зависит от пути интегрирования, если P, Q и R непрерывны в некоторой области D и в этой области существует скалярная функция u = u(x, y, z) (скалярный потенциал), такая, что F = grad u   или   ∂u/∂x = P, ∂u/∂y = Q, ∂u/∂z = R.
Тогда интеграл равен

Признак потенциальности векторного поля
Векторное поле, обладающее свойством F = grad u, называется потенциальным. Криволинейный интеграл от векторной функции F = Pi + Qj + Rk не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, когда

Если криволинейный интеграл рассматривается в плоскости Oxy, то в случае потенциального поля справедливо соотношение

В таком случае признак потенциальности поля принимает вид

Длина кривой

где C является кусочно-непрерывной гладкой кривой, заданной позиционным вектором r(t), α ≤ t ≤ β.

В случае двумерной кривой, ее длина выражается формулой

Если кривая C лежит в плоскости Oxy и описывается явной функцией y = f(x), a ≤ x ≤ b, ее длина равна

Длина кривой в полярных координатах

где кривая C задана уравнением в полярных координатах r = r(θ), α ≤ θ ≤ β.

Масса кривой

где ρ(x, y, z) представляет собой линейную плотность кривой.

Если кривая C задана параметрически векторной функцией r(t) = (x(t), y(t), z(t)), α ≤ t ≤ β, то ее масса вычисляется по формуле

Если кривая C лежит в плоскости Oxy, то ее масса равна

или

(в параметрической форме)

Координаты центра масс кривой

Моменты инерции
Моменты инерции кривой относительно координатных осей Ox, Oy и Oz определяются формулами

Площадь области, ограниченной замкнутой кривой

Если замкнутая кривая C задана в параметрической форме r(t) = (x(t), y(t)), α ≤ t ≤ β, то площадь области вычисляется по формуле

Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси Ox

Работа поля
Работа при перемещении тела в силовом поле F вдоль кривой C описывается криволинейным интегралом второго рода:

где dr − единичный касательный вектор.

Если тело двигается вдоль кривой C, лежащей в плоскости Ooxy, то работа поля равна

Если путь C описывается параметром t (t часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид:

где t изменяется от α до β.

Если поле F является потенциальным, и u(x, y, z) − скалярный потенциал этого поля, то работа при перемещении тела из точки A в точку B находится по формуле

Закон Ампера

Криволинейный интеграл от магнитного поля B вдоль замкнутого контура C равен полному току I (с коэффициентом μ₀), протекающему через площадь, ограниченную данным контуром.

Закон Фарадея

Электродвижущая сила ε, наведенная в замкнутом контуре C, равна скорости изменения магнитного потока ψ, проходящего через данный контур.