Math24.ru
Математический Анализ
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
   Степенные ряды
Определение
Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:
Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x0), то есть ряд вида
где x0 − действительное число.
Интервал и радиус сходимости
Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.

Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.


Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле
или на основе признака Даламбера:
   Пример 1
Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда .
Решение.
Сделаем замену: u = x + 3. Тогда ряд принимает вид . Вычислим радиус сходимости:
     
Соответственно, интервал сходимости равен (− ∞; ∞).

   Пример 2
Определить радиус и интервал сходимости степенного ряда .
Решение.
Вычислим радиус сходимости:
     
Рассмотрим сходимость в конечных точках.
Если x = −1, то мы имеем расходящийся ряд .
Если x = 1, то ряд также расходится.
Следовательно, исходный ряд сходится на открытом интервале (− 1; 1).

   Пример 3
Найти радиус и интервал сходимости ряда
     
Решение.
Здесь и . Радиус сходимости будет равен
     
В точке x = −1 мы имеем сходящийся ряд .
При x = 1 получаем расходящийся гармонический ряд .
Таким образом, заданный ряд сходится сходится на полуоткрытом интервале [− 1; 1).

   Пример 4
При каких значениях x ряд сходится?
Решение.
Найдем радиус и интервал сходимости данного ряда.
     
Если x = −1, то получаем ряд
     
который сходится по признаку Лейбница.

Если же x = 1, то мы имеем расходящийся ряд:
     
Таким образом, интервал сходимости заданного ряда равен [− 1; 1).

   Пример 5
Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда .
Решение.
Сделаем замену: u = x − 2. Тогда ряд запишется в виде . Вычислим радиус сходимости:
     
Исследуем сходимость в конечных точках интервала.

Если u = −1, то такой ряд
     
будет сходиться как обощенный гармонический ряд с показателем степени p =2 > 1.

Если u = 1, то получаем знакочередующийся ряд
     
который также сходится по признаку Лейбница.
Таким образом, интервал сходимости для ряда равен [− 1; 1]. Поскольку новая и старая переменные связаны соотношением u = x − 2, то интервал сходимости исходного ряда будет равен
     
Ответ: исходный ряд сходится в интервале [1; 3].

   Пример 6
Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда
     
Решение.
Общий член данного степенного ряда (начиная с n = 0), выражается формулой
     
Здесь и .
Определим радиус сходимости:
     
Исследуем сходимости в конечных точках интервала.
При получаем
     
Этот ряд сходится по признаку Лейбница.
При , соответственно, имеем ряд
     
Применим для его анализа интегральный признак сходимости:
     
Следовательно, ряд расходится. Поэтому, интервал сходимости исходного ряда равен .

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2014   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.