Степенью действительного числа a с натуральным показателем n называется выражение
\({a^n} = \underbrace {a \cdot a \ldots a}_{n\text{ раз}}, \text{ где } a \in \mathbb{R},n \in \mathbb{N}\).

Умножение степеней с одинаковыми основаниями
\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)

Деление степеней с одинаковыми основаниями
\({a^n}/{a^m} = {a^{n - m}}\;\left( {n > m} \right)\)

Степень произведения
\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)

Степень частного
\({\left( {\large\frac{a}{b}}\normalsize \right)^n} = \large\frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\normalsize\;\;\left( {b \ne 0} \right)\)

Двойное возведение в степень
\({\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}}\)

\({0^n} = 0\) 

\({1^n} = 1\) 

\({a^1} = a\) 

Возведение отрицательного числа в четную степень
\({\left( { - a} \right)^{2n}} = {a^{2n}}\;\left( {a > 0} \right)\)

Возведение отрицательного числа в нечетную степень
\({\left( { - a} \right)^{2n + 1}} = - {a^{2n + 1}}\;\;\left( {a > 0} \right)\)

Нулевая степень
\({a^0} = 1\;\;\left( {a \ne 0} \right)\)

Выражение \({0^0}\) не определено.

Отрицательная степень
\({a^{ - r}} = 1/{a^r},\text{ где }r \in \mathbb{Q},a \ne 0\).

Степенью положительного действительного числа \(a\) с рациональным показателем \(p/q\) называется выражение
\({a^{p/q}} = \sqrt[\large q\normalsize]{{{a^p}}},\text{ где }a \ge 0,p \in \mathbb{Z},q \in \mathbb{N}\).

Определение степени с иррациональным показателем \(\beta\):
\({a^\beta } = \lim\limits_{{r_n} \to \beta } {a^{{r_n}}},\)
где \({r_n}\) представляет собой произвольную последовательность рациональных чисел, сходящуюся к показателю \(\beta\).

Для любых действительных показателей \(u\), \(v\) при условии \(a > 0\) и \(b > 0\) справедливы следующие действия со степенями:
\({a^u}{a^v} = {a^{u + v}}\),  \({\left( {{a^u}} \right)^v} = {a^{uv}}\),  \({a^{ - u}} = 1/{a^u}\),  \(\large\frac{{{a^u}}}{{{a^v}}}\normalsize = {a^{u - v}}\),  \({\left( {ab} \right)^u} = {a^u}{b^u}\),  \({\left( {\large\frac{a}{b}}\normalsize \right)^u} = \large\frac{{{a^u}}}{{{b^u}}}\normalsize .\)