Math24.ru
Математический Анализ
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
   Число е
Число e выражается через предел следующим образом:
Это число является трансцендентным и приблизительно равно 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого). Выполнив подстановку , где , получим альтернативную формулу для данного предела:
Здесь мы имеем дело со степенными выражениями, когда и основание и степень стремятся к числу a (или к бесконечности). Во многих случаях такие пределы удобно вычислять, предварительно логарифмируя функцию под знаком предела.

   Пример 1
Вычислить предел .

Решение.
     
   Пример 2
Вычислить предел .

Решение.
Учитывая, что предел произведения нескольких функций равен произведению пределов от этих функций, получаем
     
   Пример 3
Вычислить предел .

Решение.
Сделаем замену: , так что x = 6y и y → ∞, если x → ∞. В результате получаем
     
   Пример 4
Вычислить предел .

Решение.
     
   Пример 5
Вычислить предел .

Решение.
Сначала преобразуем основание функции:
     
Введем новую переменную: . Если , то и
     
В результате замены получаем
     
   Пример 6
Вычислить предел .

Решение.
Предварительно преобразуем основание:
     
Пусть . Тогда
     
Теперь можно найти предел:
     
   Пример 7
Вычислить предел .

Решение.
Преобразуем предел следующим образом:
     
Сделаем замену:
     
Здесь y → 0 когда x → ∞. Тогда предел равен
     
   Пример 8
Найти предел .

Решение.
Пусть . Легко видеть, что при . Тогда
     
Сделаем еще одну замену:
     
Следовательно, предел равен:
     
   Пример 9
Найти предел .

Решение.
Данный предел можно представить в следующей форме:
     
После взятия логарифма получаем
     
Заметим, что . Кроме того, при , поэтому предельный переход во втором пределе можно заменить на . Это приводит к следующему выражению:
     
Учитывая, что , получаем
     
Следовательно, .

   Пример 10
Найти предел .

Решение.
Перепишем предел в следующем виде:
     
Прологарифмируем левую и правую части полученного выражения.
     
Видно, что . Тогда второй предел равен e. В результате получаем
     
Окончательный ответ: .

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2014   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.