Правило Лопиталя

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность
типа или .

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности. Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.

   Пример 1

Вычислить предел . Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:

   Пример 2

Вычислить предел . Поскольку прямая подстановка приводит к неопределенности типа , применяем правило Лопиталя.

   Пример 3

Вычислить предел . Здесь мы имеем дело с неопределенностью типа . После простых преобразований, получаем

   Пример 4

Найти предел . Используя правило Лопиталя, можно записать

   Пример 5

Найти предел . Здесь мы встречаемся с неопределенностью типа . Обозначим . После логарифмирования получаем Далее, по правилу Лопиталя, находим Соответственно,

   Пример 6

Найти предел . Предел содержит неопределенность типа . Пусть . Тогда По правилу Лопиталя получаем Следовательно,

   Пример 7

Вычислить предел . Обозначим . Возьмем логарифм от обеих частей: Найдем предел ln y. Тогда

   Пример 8

Вычислить предел . Мы имеем здесь неопределенность типа . Пусть . Тогда после логарифмирования получаем Используем правило Лопиталя дважды: Следовательно,

   Пример 9

Найти предел . Подстановка приводит к неопределенности типа . Обозначим . Прологарифмируем обе части этого равенства. Применяя правило Лопиталя, получаем Потенцируя, получаем окончательный ответ:

   Пример 10

Найти предел . Предел имеет неопределенность типа . Применяем правило Лопиталя n раз.

   Пример 11

Вычислить предел . В соответствии с правилом Лопиталя дифференцируем числитель и знаменатель данной дроби несколько раз, пока не исчезнет неопределенность.

   Пример 12

Вычислить предел . Здесь мы имеем дело с неопределенностью типа . Пусть . Тогда Предел равен Как видно, после двукратного дифференцирования неопределенность еще не устранена. Поэтому дифференцируем числитель и знаменатель еще раз. Отсюда находим