Производная неявной функции

Если функция описывается уравнением y = f(x), где переменная y находится в левой части, а правая часть зависит только от аргумента x, то говорят, что функция задана в явном виде. Например, следующие функции заданы явно: Во многих задачах, однако, функция может быть задана неявным образом, т.е. в виде уравнения Конечно, любую явную функцию можно записать в неявном виде. Так указанные выше функции можно представить как Обратное преобразование можно выполнить далеко не всегда. Часто встречаются функции, заданные неявным уравнением, которые невозможно разрешить относительно переменной y. Например, для приведенных ниже функций невозможно получить зависимость y(x) в явном виде.

Хорошая новость состоит в том, что для нахождения производной y'(x) неявно заданной функции нет необходимости преобразовывать ее в явную форму. Для этого, зная уравнение F(x, y) = 0, достаточно выполнить следующие действия:

• Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по переменной x, предполагая,
  что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции. При этом производная нуля (в правой части) также будет равна нулю.
  
  Замечание: Если правая часть отлична от нуля, т.е. неявное уравнение имеет вид
  
  то дифференцируем левую и правую части уравнения.


• Решить полученное уравнение относительно производной  y'(x).

Описанный алгоритм нахождения производной неявной функции используется в приведенных ниже примерах.

   Пример 1

Найти производную функции, заданной уравнением y² = 2px, где p − параметр. Данное уравнение представляет собой каноническое уравнение параболы. Дифференцируя левую и правую части по x, получаем:

   Пример 2

Продифференцировать функцию y(x), заданную уравнением . Продифференцируем обе части уравнения по переменной x: что приводит к результату

   Пример 3

Найти уравнение касательной к кривой x ⁴ + y ⁴ = 2 в точке (1;1). Продифференцируем обе части уравнения кривой по x: Тогда . В точке (1;1) соответственно находим, что y'(1) = −1. Следовательно, уравнение касательной в данной точке имеет вид

   Пример 4

Вычислить производную функции y(x), заданной уравнением при условии y = 1. Дифференцируем обе части уравнения по x (левую часть дифференцируем как сложную функцию): Если y = 1, то из исходного уравнения находим Подставим значения x = −1 и y = 1, получаем: Отсюда следует, что y' = 0 при y = 1.

   Пример 5

Дано уравнение окружности x ² + y ² = r ² с центром в начале координат и радиусом r.
Найти производную y'(x). Продифференцируем по x обе части уравнения: В данном случае мы можем получить и явное выражение для производной. Например, для верхней полуокружности, зависимость y(x) имеет явный вид . Отсюда находим, что производная равна

   Пример 6

Вычислить производную функции, заданной уравнением x³ + y³ = 3xy. Дифференцируем левую и правую части уравнения по x, рассматривая y как сложную функцию от x: Из полученного соотношения найдем y' : Данная производная существует при условии

   Пример 7

Записанное уравнение представляет собой уравнение эллипса. Дифференцируя обе части и учитывая, что y − функция от x, получаем:

   Пример 8

Дифференцируем обе части и решаем полученное уравнение относительно y' :

   Пример 9

Найти производную астроиды  x^2/3 + y^2/3 = a^2/3.  Дифференцируем заданное уравнение по x:

   Пример 10

Найти производную y'(x) функции, описывающей общее уравнение кривой второго порядка: Дифференцируем данное уравнение по x, принимая во внимание, что y − это функция от x:

   Пример 11

Найти значение производной y'(x) в точке x = 0 для функции, заданной уравнением  e^y + xy = e.  Дифференцируя обе части, получаем следующее соотношение: Отсюда находим производную: Вычислим значение функции y при x = 0: Тогда производная в точке (0, 1) равна

   Пример 12

Как обычно, дифференцируем обе части по x: Используя формулу производной произведения, находим:

   Пример 13

Дифференцируем обе части уравнения по x: где производная y' определена при условии

   Пример 14

Видно, что производная определена при условии

   Пример 15

Следуя описанной схеме, имеем: Из последнего равенства находим производную: Заметим, что данная функция не существует при y = 0. В то же время производная не существует как при y = 0, так и при x = 0.

   Пример 16

Вычисляем производную y'(x) по общей схеме, рассмотренной выше. В результате получаем:

   Пример 17

Найти производную в точке x = 2 функции, заданной уравнением Предварительно вычислим значение функции y в точке x = 2: Теперь дифференцируем заданное уравнение по x: Подставляя координаты точки (x = 2, y = −3), находим значение производной:

   Пример 18

Используя правила дифференцирования произведения функций, частного функций и сложной функции, получаем: Разрешим это уравнение относительно y' : где предполагается, что y ≠ x.

   Пример 19

Найти производную функции, заданной уравнением  x + y = arctan (xy).  Дифференцируем обе части уравнения по x: Используя формулу производной произведения, можно записать: Следовательно, Заметим, что в данном примере производная y' существует при условии

   Пример 20

Предварительно прологарифмируем обе части уравнения: Здесь предполагается, что x > 0 и y > 0. Кроме того, x ≠ 1 и y ≠ 1 как основания показательных функций.

Дифференцируя обе части равенства по x и учитывая, что y − функция от x, получаем: Заметим, что помимо ограничений на допустимые значения x, указанных выше, производная терпит разрыв при условии