Гипербола представляет собой плоскую кривую, для каждой точки которой модуль разности расстояний до двух заданных точек (фокусов гиперболы) является постоянным. Расстояние между фокусами гиперболы называется фокусным расстоянием и обозначается через 2c. Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром. У гиперболы имеются две оси симметрии: фокальная или действительная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей мнимая ось, проходящая через центр. Действительная ось пересекает ветви гиперболы в точках, которые называются вершинами. Отрезок, соединяющий центр гиперболы с вершиной, называется действительной полуосью и обозначается через a. Мнимая полуось обозначается символом b. Каноническое уравнение гиперболы записывается в виде

Модуль разности расстояний от любой точки гиперболы до ее фокусов является постоянной величиной:
|r₁ − r₂| = 2a,
где r₁, r₂ − расстояния от произвольной точки P(x, y) гиперболы до фокусов F₁ и F₂, a − действительная полуось гиперболы.

Уравнения асимптот гиперболы

Соотношение между полуосями гиперболы и фокусным расстоянием
c² = a² + b²,
где c − половина фокусного расстояния, a − действительная полуось гиперболы, b − мнимая полуось.

Эксцентриситет гиперболы
e = c/a > 1

Уравнения директрис гиперболы
Директрисой гиперболы называется прямая, перпендикулярная ее действительной оси и пересекающая ее на расстоянии a/e от центра. У гиперболы − две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра. Уравнения директрис имеют вид

Уравнение правой ветви гиперболы в параметрической форме

где a, b − полуоси гиперболы, t − параметр.

Общее уравнение гиперболы
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0,
где B² − 4AC > 0.

Общее уравнение гиперболы, полуоси которой параллельны осям координат
Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0,
где AC < 0.

Равнобочная гипербола
Гипербола называется равнобочной, если ее полуоси одинаковы: a = b. У такой гиперболы асимптоты взаимно перпендикулярны. Если асимптотами являются горизонтальная и вертикальная координатные оси (соответственно, y = 0 и x = 0), то уравнение равнобочной гиперболы имеет вид

Параболой называется плоская кривая, в каждой точки которой выполняется следующее свойство: расстояние до заданной точки (фокуса параболы) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p. Парабола имеет единственную ось симметрии, которая пересекает параболу в ее вершине. Каноническое уравнение параболы имеет вид
y = 2px.

Уравнение директрисы
x = −p/2,
где p − параметр параболы.

Координаты фокуса
F(p/2, 0)

Координаты вершины
M(0, 0)

Общее уравнение параболы
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0,
где B² − 4AC = 0.

Уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна оси Oy
Ax² + Dx + Ey + F = 0   (A ≠ 0, E ≠ 0),
или в эквивалентной форме
y = ax² + bx + c,   p = 1/(2a)

Уравнение директрисы
y = y₀ − p/2,
где p − параметр параболы.

Координаты фокуса
F(x₀, y₀ + p/2)

Координаты вершины

Уравнение параболы с вершиной в начале координат и осью симметрии, параллельной оси Oy
y = ax²,   p = 1/(2a)

Уравнение директрисы
y = −p/2,
где p − параметр параболы.

Координаты фокуса
F(0, p/2)

Координаты вершины
M(0, 0)