Уравнением называется равенство вида
f(x, y, z, ...) = g(x, y, z, ...),
где f и g являются функциями одного или нескольких аргументов (независимых переменных).

Решениями (корнями) уравнения называются такие значения аргументов, при которых уравнение становится равенством.

Уравнения называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений.

Если любое слагаемое в уравнении перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится равносильное уравнение.
f(x) + h(x) = g(x)   ⇔   f(x) = g(x) − h(x)

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, то получится уравнение, равносильное данному.
f(x) = g(x)   ⇔   f(x) + h(x) = g(x) + h(x)
Примечание: равносильность уравнений нарушается, если функция h(x) не определена при значениях x, являющихся решениями уравнения.

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же выражение, то получится уравнение, равносильное данному.
f(x) = g(x)   ⇔   f(x) − h(x) = g(x) − h(x)
Примечание: равносильность уравнений нарушается, если функция h(x) не определена при значениях x, являющихся решениями уравнения.

Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, не равное нулю, то получится равносильное уравнение.
f(x) = g(x)   ⇔   f(x) ⋅ c = g(x) ⋅ c    (c ≠ 0)

Если обе части уравнения разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится равносильное уравнение.
f(x) = g(x)   ⇔   f(x)/c = g(x)/c    (c ≠ 0)

Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее аргумент, может привести к появлению посторонних корней или к потере корней, т.е. к нарушению равносильности уравнений.

Возведение обеих частей уравнения в квадрат или четную степень может привести к появлению посторонних корней.

Произведение равно нулю, если любой из сомножителей равен нулю.
f(x) ⋅ g(x) = 0   ⇔   f(x) = 0 ∩ g(x) = 0

Линейное уравнение с одной переменной
ax + b = 0

Решение линейного уравнения с одной переменной
ax + b = 0,  ⇒  x = −b/a  (a ≠ 0)

Линейное уравнение с двумя переменными
ax + by + c = 0

Квадратное уравнение
ax² + bx + c = 0

Дискриминант квадратного уравнения
D = b² − 4ac

Корни квадратного уравнения

Приведенное квадратное уравнение и его решения

Формулы Виета
x² + px + q = 0   ⇔   x₁ + x₂ = − p,  x₁x₂ = q

Неполное квадратное уравнение (c = 0)
ax² + bx = 0,  x₁ = 0,   x₂ = − b/c

Неполное квадратное уравнение (b = 0)

Неполное квадратное уравнение (b = c = 0)
ax² = 0,  x₁ = x₂ = 0

Кубическое уравнение в канонической форме
ax³ + bx² + cx + d = 0

Приведенная форма кубического уравнения
y³ + py + q = 0
Преобразование кубического уравнения из канонической формы в приведенную обеспечивается подстановкой x = y − b/(3a).

Формула Кардано
y³ + py + q = 0,