Math24.ru
Математический Анализ
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
   Точки разрыва функции
Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.
Непрерывна при x = a.
Имеет разрыв при x = a.
Непрерывна при x = a.
Имеет разрыв при x = a.
Рисунок 1.
Классификация точек разрыва функции
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке
  • Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;
  • Эти односторонние пределы конечны.
При этом возможно следующие два случая:
  • Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:
    Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
  • Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:
    Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.
Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

   Пример 1
Исследовать функцию на непрерывность.

Решение.
Данная функция не определена в точках x = −1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точках x = ±1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.
     
Поскольку левосторонний предел при x = −1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.
     
Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода.

   Пример 2
Показать, что функция имеет устранимый разрыв в точке x = 0.

Решение.
Очевидно, данная функция не определена при x = 0. Поскольку sin x является непрерывной функцией для всех x, то искомая функция также непрерывна при всех x за исключением точки x = 0.
Так как , то в данной точке существует устранимый разрыв. Мы можем сконструировать новую функцию
     
которая будет непрерывной при любом действительном x.

   Пример 3
Найти точки разрыва функции , если они существуют.

Решение.
Данная функция существует при всех значениях x, однако она состоит из двух различных функций и, поэтому, не является элементарной. Исследуем "поведение" этой функции вблизи точки x = 0, где ее аналитическое выражение изменяется.

Вычислим односторонние пределеы при x = 0.
     
Следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода при x = 0. Скачок функции в этой точке равен
     
При всех других значениях x функция является непрерывной, поскольку обе составляющие функции слева и справа от точки x = 0 представляют собой элементарные функции без точек разрыва.

   Пример 4
Найти точки разрыва функции , если они существуют.

Решение.
Данная элементарная функция определена для всех x, исключая точку x = 0, где она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке.
     
Видно, что в точке x = 0 существует разрыв первого рода (рисунок 2).
Рис.2
Рис.3
   Пример 5
Найти точки разрыва функции , если таковые существуют.

Решение.
Функция определена и непрерывна при всех x, за исключением точки , где существует разрыв. Исследуем точку разрыва.
     
Так как значения односторонних пределов конечны, то, следовательно, в точке существует разрыв первого рода. График функции схематически показан на рисунке 3.

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2014   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.