-
Алгебраическая форма комплексного числа
\(z = a + bi\)
-
Степени мнимой единицы
| \({i^1} = i\) |
\({i^5} = i\) |
\({i^{4n + 1}} = i\) |
| \({i^2} = -1\) |
\({i^6} = -1\) |
\({i^{4n + 2}} = -1\) |
| \({i^3} = -i\) |
\({i^7} = -i\) |
\({i^{4n + 3}} = -i\) |
| \({i^4} = 1\) |
\({i^8} = 1\) |
\({i^{4n + 4}} = 1\) |
-
Комплексная плоскость
-
Равенство комплексных чисел
\(a + bi = c + di\), если \(a = c\) и \(b = d\)
-
Сложение комплексных чисел
\(\left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right) = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i\)
-
Вычитание комплексных чисел
\(\left( {a + bi} \right) - \left( {c + di} \right) = \left( {a - c} \right) + \left( {b - d} \right)i\)
-
Умножение комплексных чисел
\(\left( {a + bi} \right)\left( {c + di} \right) = \left( {ac - bd} \right) + \left( {ad + bc} \right)i\)
-
Деление комплексных чисел
\(\large\frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{bc - ad}}{{{c^2} + {d^2}}}\normalsize i\)
-
Сопряженное комплексное число
\(\overline {a + bi} = a - bi\)
-
Модуль \(r\) и аргумент \(\varphi\) комплексного числа
\(z = a + bi,\;\;r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\;\;\varphi = \arctan \large\frac{b}{a}\)
-
Тригонометрическая форма комплексного числа
\(z = a + bi = \;r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\)
-
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме
\({z_1} \cdot {z_2} = \;{r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right) \cdot {r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right) = {r_1}{r_2}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right]\)
-
Сопряженное комплексное число в тригонометрической форме
\(\overline {r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)} = \;r\left[ {\cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right)} \right]\)
-
Обратное комплексное число в тригонометрической форме
\(\large\frac{1}{{r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)}} = \frac{1}{r}\normalsize\left[ {\cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right)} \right]\)
-
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме
\(\large\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{r_1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right)}}{{{r_2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)}} = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\normalsize\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right]\)
-
Возведение комплексного числа в степень
\({z^n} = {\left[ {r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)} \right]^n} = {r^n}\left[ {\cos \left( {n\varphi } \right) + i\sin \left( {n\varphi } \right)} \right]\)
-
Формула Муавра
\({\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^n} = \cos \left( {n\varphi } \right) + i\sin \left( {n\varphi } \right)\)
-
Извлечение корня из комплексного числа
\(\sqrt[\large n\normalsize]{z} = \sqrt[\large n\normalsize]{{r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)}} = \sqrt[\large n\normalsize]{r}\left( {\cos \large\frac{{\varphi + 2\pi k}}{n} + \normalsize i\sin \large\frac{{\varphi + 2\pi k}}{n}} \right)\), \(\;\;k = 0,1,2, \ldots ,n - 1\)
-
Формула Эйлера
\(\exp \left( {ia} \right) = \cos a + i\sin a\)
-
Показательная форма комплексного числа
\(z = r\exp \left( {i\varphi } \right)\)
-
\(\sin a = \large\frac{{\exp \left( {ai} \right) - \exp \left( { - ai} \right)}}{2}\)
-
\(\cos a = \large\frac{{\exp \left( {ai} \right) + \exp \left( { - ai} \right)}}{2}\)
-
\(\tan a = \large\frac{{\exp \left( {ai} \right) - \exp \left( { - ai} \right)}}{{\exp \left( {ai} \right) + \exp \left( { - ai} \right)}}\)
-
\(\cot a = \large\frac{{\exp \left( {ai} \right) + \exp \left( { - ai} \right)}}{{\exp \left( {ai} \right) - \exp \left( { - ai} \right)}}\)
