Math24.ru
Математический Анализ
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
   Сходимость рядов. Признаки сравнения
Необходимый признак сходимости, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда. Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.
Признаки сравнения рядов
Даны два ряда и − такие, что для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:
  • Если сходится, то также сходится;
  • Если расходится, то также расходится.
  • Предельные признаки сравнения рядов
    Пусть даны два ряда и , у которых члены an и bn положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:
    • Если , то оба ряда и либо сходятся, либо расходятся;
    • Если , то ряд сходится, если сходится ряд ;
    • Если , то ряд расходится, если расходится ряд .
    Так называемый обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1.
       Пример 1
    Определить, сходится или расходится ряд .
    Решение.
    Легко видеть, что для n > 1. Применяя далее признак сравнения, находим
         
    Поскольку ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем степени p = 2, то исходный ряд также сходится.

       Пример 2
    Определить, сходится или расходится ряд .
    Решение.
    Воспользуемся признаком сравнения. Заметим, что для всех натуральных n. Ряд является обобщенным гармоническим рядом с p = 2 > 1 и, следовательно, сходится.

    Таким образом, исходный ряд сходится по признаку сравнения.

       Пример 3
    Исследовать сходимость ряда .
    Решение.
    Можно заметить, что для всех натуральных n. Тогда
         
    Поскольку − гармонический ряд, то он расходится. Следовательно, исходный ряд также расходится по признаку сравнения.

       Пример 4
    Определить, сходится или расходится ряд .
    Решение.
    Воспользуемся предельным признаком сравнения. Будем сравнивать заданный ряд со сходящимся обобщенным гармоническим рядом . Тогда
         
    Разделим числитель и знаменатель на n3:
         
    Следовательно, данный ряд сходится в соответствии с предельным признаком сравнения.

       Пример 5
    Исследовать ряд на сходимость.
    Решение.
    Будем сравнивать наш ряд со сходящимся рядом . Получаем
         
    Следовательно данный ряд сходится согласно предельному признаку сравнения.

       Пример 6
    Исследовать ряд на сходимость.
    Решение.
    Применяем предельный признак сравнения. Сравним с расходящимся гармоническим рядом . Вычислим предел отношения соответствующих членов обоих рядов:
         
    Таким образом, исходный ряд расходится.

       Пример 7
    Определить, сходится или расходится ряд
         
    Решение.
    Используем предельный признак сравнения. Будем сравнивать со сходящимся обобщенным гармоническим рядом . Находим значение предела:
         
    Следовательно, ряд сходится.

    Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2014   info@math24.ru
    Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.