Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой (начиная со второго) получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа, которое называется разностью арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия имеет вид:
a₁,   a₁ + d,   a₁ + 2d,   a₁ + 3d, ...
где a₁ − первый член, d − разность прогрессии.

N-ый член арифметической прогрессии
a_n = a_{n −1} + d = a_{n −2} + 2d = a_{n −3} + 3d = ...

Формула общего (n-го) члена арифметической прогрессии
a_n = a₁ + (n − 1)d

Арифметическая прогрессия является возрастающей при d > 0 и убывающей при d < 0.
Если d = 0, то последовательность является стационарной.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Любой член арифметической прогрессии равен полусумме (т.е. среднему арифметическому) равноудаленных от него членов:

Сумма любых двух членов, равноудаленных от начала и конца арифметической прогрессии, одинакова:
a₁ + a_n = a₂ + a_{n −1} = ... = a_i + a_{n + 1 − i}

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждое из которых (начиная со второго) равно предыдущему, умноженному на одно и то же не равное нулю число, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия имеет вид:
b₁,   b₁q,   b₁q²,   b₁q³, ...
где b₁ − первый член, q − знаменатель прогрессии.

N-ый член геометрической прогрессии
b_n = b_{n −1}q = b_{n −2} q² = b_{n −3}q³ = ...

Формула общего (n-го) члена геометрической прогрессии
b_n = b₁q^{n − 1}

Геометрическая прогрессия является возрастающей при q > 1 и b₁ > 0.
Соответственно, геометрическая прогрессия является убывающей при 0 < q < 1 и b₁ > 0.
Если b₁ < 0, прогрессия будет знакочередующейся.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии
Любой член геометрической прогрессии равен квадратному корню из произведения (т.е. среднему геометрическому) равноудаленных от него членов:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Здесь предполагается, что знаменатель прогрессии удовлетворяет условию |q| < 1.