Эволюта и эвольвента

Пусть плоская кривая \(\gamma\) задана натуральным уравнением \[\mathbf{r} = \mathbf{r}\left( s \right),\] где параметр \(s\) имеет смысл длины дуги кривой. Предположим, что в каждой точке кривизна кривой не равна нулю: \(K\left( s \right) \ne 0.\) Тогда в любой точке \(M\) можно определить конечный радиус кривизны: \[R = R\left( s \right) = \frac{1}{{K\left( s \right)}}.\] На нормали \(\mathbf{n}\) отложим отрезок \(\mathbf{MC},\) равный радиусу кривизны \(R\left( s \right)\) в точке \(M\) (рисунок \(1\)). Точка \(C\) называется центром кривизны кривой \(\gamma\) в точке \(M.\) Если радиус-вектор центра кривизны обозначить через \(\require{AMSmath.js}\boldsymbol{\rho},\) то \[\boldsymbol{\rho} = \mathbf{OM} + \mathbf{MC} = \mathbf{r} + R\mathbf{n}.\] Вектор нормали \(\mathbf{n}\) определяется выражением \[ {\mathbf{n} = \frac{1}{K}\frac{{d\boldsymbol{\tau} }}{{ds}} } = {\frac{1}{K}\frac{{{d^2}\mathbf{r}}}{{d{s^2}}} } = {R\frac{{{d^2}\mathbf{r}}}{{d{s^2}}},} \] где \(\boldsymbol\tau\) − единичный вектор касательной. Следовательно, положение центра кривизны, соответствующее точке \(M,\) описывается формулой \[ {\boldsymbol\rho = \mathbf{r} + R\mathbf{n} } = {\mathbf{r} + {R^2}\frac{{{d^2}\mathbf{r}}}{{d{s^2}}}.} \] Для каждой точки кривой (при условии \(K \ne 0\)) можно найти свой центр кривизны. Множество всех центров кривизны кривой \(\gamma\) называется эволютой этой кривой.

Если кривая \({\gamma_1}\) − эволюта кривой \(\gamma,\) то исходная кривая \(\gamma\) называется эвольвентой кривой \({\gamma_1}.\)

Обозначим центр кривизны точкой \(C\) в координатами \(\left( {\xi ,\eta } \right).\) Если кривая \(\gamma\) задана в параметрической форме \[ {x = x\left( t \right),}\;\;\; {y = y\left( t \right),}\;\;\; {\alpha \le t \le \beta ,} \] то координаты центра кривизны \(\left( {\xi ,\eta } \right)\) вычисляются по формулам \[ {\xi = x - y'\frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}},}\;\;\; {\eta = y + x'\frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}}.} \] Эти формулы следуют из выражения для радиуса-вектора \(\boldsymbol\rho.\)

В случае, если кривая \(\gamma\) является графиком функции \(y = f\left( x \right),\) координаты центра кривизны выражаются в виде \[ {\xi = x - \frac{{1 + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{y''}}y',}\;\;\; {\eta = y + \frac{{1 + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{y''}}.} \] Отметим, что условие ненулевой кривизны во всех точках кривой является достаточно жестким. В результате исключаются из анализа, например, кривые с точками перегиба. Поэтому иногда рассматривается более общий случай произвольной кривизны. Если в какой-либо точке кривизна равна нулю, то эволюта в этой точке имеет разрыв. Такой случай схематически показан на рисунке \(2.\)

   Пример 1

Определить эволюту окружности \[{x^2} + {y^2} = {R^2}.\] Представим окружность в параметрической форме: \[x = R\cos t,\;\;\;y = R\sin t.\] Найдем производные координат \(x\) и \(y\) по параметру \(t:\) \[ {x' = {\left( {R\cos t} \right)^\prime } = - R\sin t,}\;\;\; {y' = {\left( {R\sin t} \right)^\prime } = R\cos t,} \] \[ {x'' = {\left( { - R\sin t} \right)^\prime } = - R\cos t,}\;\;\; {y'' = {\left( {R\cos t} \right)^\prime } = - R\sin t.} \] Координаты центра кривизны \(\left( {\xi ,\eta } \right)\) вычисляются по формулам: \[ {\xi = x - y'\frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}},}\;\;\; {\eta = y + x'\frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}}.} \] Подставляя в эти формулы выражения для координат \(x, y\) и их производных, находим: \[\require{cancel} {\xi = x - y'\frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}} } = {R\cos t - R\cos t\frac{{{{\left( { - R\sin t} \right)}^2} + {{\left( {R\cos t} \right)}^2}}}{{\left( { - R\sin t} \right) \cdot \left( { - R\sin t} \right) - R\cos t \cdot \left( { - R\cos t} \right)}} } = {R\cos t - R\cos t\frac{\cancel{{{R^2}{{\sin }^2}t + {R^2}{{\cos }^2}t}}}{\cancel{{{R^2}{{\sin }^2}t + {R^2}{{\cos }^2}t}}} } = {\cancel{R\cos t} - \cancel{R\cos t} \equiv 0;} \] \[ {\eta = y + x'\frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}} } = {R\sin t + \left( { - R\sin t} \right)\frac{{{{\left( { - R\sin t} \right)}^2} + {{\left( {R\cos t} \right)}^2}}}{{\left( { - R\sin t} \right) \cdot \left( { - R\sin t} \right) - R\cos t \cdot \left( { - R\cos t} \right)}} } = {R\sin t - R\sin t\frac{\cancel{{{R^2}{{\sin }^2}t + {R^2}{{\cos }^2}t}}}{\cancel{{{R^2}{{\sin }^2}t + {R^2}{{\cos }^2}t}}} } = {R\sin t - R\sin t \equiv 0.} \] Таким образом, мы получили тривиальный результат: эволютой окружности является единственная точка − центр этой окружности.

   Пример 2

Найти эволюту эллипса \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.\] Запишем уравнение эллипса в параметрической форме: \[x = a\cos t,\;\;\;y = b\sin t.\] Производные координат \(x\) и \(y\) по параметру \(t\) записываются в виде \[ {x' = {\left( {a\cos t} \right)^\prime } = - a\sin t,}\;\;\; {y' = {\left( {b\sin t} \right)^\prime } = b\cos t,} \] \[ {x'' = {\left( { - a\sin t} \right)^\prime } = - a\cos t,}\;\;\; {y'' = {\left( {b\cos t} \right)^\prime } = - b\sin t.} \] Для вычисления координат центра кривизны \(\left( {\xi ,\eta } \right)\) используем формулы: \[ {\xi = x - y'\frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}},}\;\;\; {\eta = y + x'\frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}}.} \] Подставляя выражения для \(x, y\) и их производных, получаем: \[ {\xi = x - y'\frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}} } = {a\cos t - b\cos t\frac{{{{\left( { - a\sin t} \right)}^2} + {{\left( {b\cos t} \right)}^2}}}{{\left( { - a\sin t} \right)\left( { - b\sin t} \right) - \left( { - a\cos t} \right)\left( {b\cos t} \right)}} } = {a\cos t - b\cos t\frac{{{a^2}{{\sin }^2}t + {b^2}{{\cos }^2}t}}{{ab\,{{\sin }^2}t + ab\,{{\cos }^2}t}} } = {a\cos t - \cos t\frac{{{a^2}{{\sin }^2}t + {b^2}{{\cos }^2}t}}{a} } = {\frac{{{a^2}\cos t - {a^2}{{\sin }^2}t\cos t - {b^2}{{\cos }^3}t}}{a} = \frac{{{a^2}\cos t\left( {1 - {{\sin }^2}t} \right) - {b^2}{{\cos }^3}t}}{a} } = {\frac{1}{a}\left( {{a^2}{{\cos }^3}t - {b^2}{{\cos }^3}t} \right) = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{a}{\cos ^3}t;} \] \[ {\eta = y + x'\frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}} } = {b\sin t - a\sin t\frac{{{{\left( { - a\sin t} \right)}^2} + {{\left( {b\cos t} \right)}^2}}}{{\left( { - a\sin t} \right)\left( { - b\sin t} \right) - \left( { - a\cos t} \right)\left( {b\cos t} \right)}} } = {b\sin t - a\sin t\frac{{{a^2}{{\sin }^2}t + {b^2}{{\cos }^2}t}}{{ab\,{{\sin }^2}t + ab\,{{\cos }^2}t}} } = {b\sin t - \sin t\frac{{{a^2}{{\sin }^2}t + {b^2}{{\cos }^2}t}}{b} } = {\frac{{{b^2}\sin t - {a^2}{\sin^3}t - {b^2}{\cos^2}t\sin t}}{b} } = {\frac{{{b^2}\sin t\left( {1 - {{\cos }^2}t} \right) - {a^2}{\sin^3}t}}{b} } = {\frac{1}{b}\left( {{b^2}{\sin^3}t - {a^2}{\sin^3}t} \right) = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{b}{\sin^3}t.} \] Следовательно, эволюта эллипса описывается следующими параметрическими уравнениями: \[ {\xi = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{a}{\cos^3}t = \left( {a - \frac{b}{a}} \right){\cos ^3}t,}\;\;\; {\eta = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{b}{\sin^3}t = \left( {b - \frac{a}{b}} \right){\sin ^3}t.} \] Исключая параметр \(t,\) можно записать уравнение эволюты в неявной форме: \[ \xi = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{a}{\cos^3}t,\;\; \Rightarrow a\xi = \left( {{a^2} - {b^2}} \right){\cos^3}t,\;\; \Rightarrow \frac{{a\xi }}{{{a^2} - {b^2}}} = {\cos^3}t,\;\; \Rightarrow \frac{{{{\left( {a\xi } \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} = {\cos^2}t; \] \[ {\eta = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{b}{\sin^3}t,}\;\; {\Rightarrow b\eta = \left( {{b^2} - {a^2}} \right){\sin^3}t,}\;\; {\Rightarrow \frac{{b\eta }}{{\left[ { - \left( {{a^2} - {b^2}} \right)} \right]}} = {\sin ^3}t,}\;\; {\Rightarrow \frac{{{{\left( {b\eta } \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} = {\sin ^2}t.} \] Складывая квадраты косинуса и синуса, получаем: \[ {\frac{{{{\left( {a\xi } \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} + \frac{{{{\left( {b\eta } \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} = 1,}\;\; {\Rightarrow {\left( {a\xi } \right)^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} + {\left( {b\eta } \right)^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} = {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}.} \] Обозначим \(a\xi = X,\) \(b\eta = Y,\) \({a^2} - {b^2} = A.\) Тогда уравнение эволюты можно представить в виде \[{X^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} + {Y^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} = {A^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}.\] Как видно, эволюта эллипса представляет собой кривую типа астроиды. В отличие от "правильной" астроиды, полученная кривая вытянута вдоль одной из осей (рисунок \(3\)).

   Пример 3

Найти эволюту параболы \(y = {x^2}.\) В случае кривой, заданной явным уравнением, координаты центра кривизны определяются формулами \[ {\xi = x - \frac{{1 + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{y''}}y',}\;\;\; {\eta = y + \frac{{1 + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{y''}}.} \] Подставляя заданную функцию, получаем: \[ {\xi = x - \frac{{1 + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{y''}}y' } ={ x - \frac{{1 + {{\left( {2x} \right)}^2}}}{2} \cdot 2x } ={ x - x\left( {1 + 4{x^2}} \right) } ={ - 4{x^3};} \] \[ {\eta = y + \frac{{1 + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{y''}} } = {{x^2} + \frac{{1 + {{\left( {2x} \right)}^2}}}{2} } = {{x^2} + \frac{{1 + 4{x^2}}}{2} } = {3{x^2} + \frac{1}{2}.} \] Исключая из этих выражений переменную \(x,\) представим уравнение эволюты в виде зависимости \(\xi \left( \eta \right).\) Получаем: \[ {\eta = 3{x^2} + \frac{1}{2},}\;\; {\Rightarrow \eta - \frac{1}{2} = 3{x^2},}\;\; {\Rightarrow {x^2} = \frac{\eta }{3} - \frac{1}{6},}\;\; {\Rightarrow x = \pm {\left( {\frac{\eta }{3} - \frac{1}{6}} \right)^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}.} \] Следовательно, \[ {\xi = - 4{x^3} = - 4 \cdot {\left[ { \pm {{\left( {\frac{\eta }{3} - \frac{1}{6}} \right)}^{\large\frac{1}{2}\normalsize}}} \right]^3} } = { \pm 4{\left( {\frac{\eta }{3} - \frac{1}{6}} \right)^{\large\frac{3}{2}\normalsize}},} \] где \(\eta \ge \large\frac{1}{2}\normalsize.\)

Парабола и ее эволюта схематически показаны на рисунке \(4.\) Найденная эволюта по форме напоминает ласточкин хвост и представляет собой полукубическую параболу.

   Пример 4

Найти эволюту логарифмической спирали \(r = {e^\theta }.\) Данная кривая в декартовых координатах описывается следующей системой уравнений: \[ {x = r\cos \theta = {e^\theta }\cos \theta ,}\;\;\; {y = r\sin \theta = {e^\theta }\sin \theta .} \] Такая запись представляет собой параметрическую форму уравнения кривой, где роль параметра играет угол \(\theta\). Тогда координаты центра кривизны можно найти по формулам \[ {\xi = x - y'\frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}},}\;\;\; {\eta = y + x'\frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}}.} \] Вычислим производные: \[ {x' = {\left( {{e^\theta }\cos \theta } \right)^\prime } } = {{e^\theta }\cos \theta - {e^\theta }\sin\theta } = {{e^\theta }\left( {\cos \theta - \sin\theta } \right);} \] \[ {x'' = \left[ {{e^\theta }\left( {\cos \theta - \sin\theta } \right)} \right]^\prime } = {{e^\theta }\left( {\cos \theta - \sin\theta } \right) + {e^\theta }\left( { - \sin\theta - \cos \theta } \right) = {e^\theta }\left( {\cancel{\cos \theta} - \sin\theta - \sin\theta - \cancel{\cos \theta} } \right) } = { - 2{e^\theta }\sin\theta ;} \] \[ {y' = {\left( {{e^\theta }\sin \theta } \right)^\prime } } = {{e^\theta }\sin \theta + {e^\theta }\cos\theta } = {{e^\theta }\left( {\sin \theta + \cos\theta } \right);} \] \[ {y'' = \left[ {{e^\theta }\left( {\sin \theta + \cos\theta } \right)} \right]^\prime } = {{e^\theta }\left( {\sin \theta + \cos\theta } \right) + {e^\theta }\left( {\cos\theta - \sin \theta } \right) = {e^\theta }\left( {\cancel{\sin \theta} + \cos\theta + \cos\theta - \cancel{\sin \theta} } \right) } = { 2{e^\theta }\cos\theta .} \] Выражения для \(\xi\) и \(\eta\) содержат общую дробь, которая равна \[ {F = \frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}} } = {\frac{{{{\left[ {{e^\theta }\left( {\cos \theta - \sin\theta } \right)} \right]}^2} + {{\left[ {{e^\theta }\left( {\sin\theta + \cos \theta } \right)} \right]}^2}}}{{{e^\theta }\left( {\cos \theta - \sin\theta } \right) \cdot 2{e^\theta }\cos \theta - \left( { - 2{e^\theta }\sin\theta } \right) \cdot {e^\theta }\left( {\sin\theta + \cos \theta } \right)}} } = {\frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\cos }^2}\theta - \cancel{2\sin \theta \cos \theta} + {{\sin }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta + \cancel{2\sin \theta \cos \theta} + {{\cos }^2}\theta }}{{{{\cos }^2}\theta - \cancel{\sin \theta \cos \theta} + {{\sin }^2}\theta + \cancel{\sin \theta \cos \theta} }} } = {\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} = 1.} \] Следовательно, координаты центра кривизны \(\xi\) и \(\eta\) определяются формулами \[ {\xi = x - y'\frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}} } = {x - y'F } = {{e^\theta }\cos \theta - {e^\theta }\left( {\sin\theta + \cos \theta } \right) } = { - {e^\theta }\sin\theta = - y;} \] \[ {\eta = y + x'\frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}} } = {y + x'F } = {{e^\theta }\sin \theta + {e^\theta }\left( {\cos\theta - \sin \theta } \right) } = { {e^\theta }\cos\theta = x.} \] Таким образом, если взять исходную систему координат \({xOy}\) и повернуть ее на \(\large\frac{\pi }{2}\normalsize\) против часовой стрелки, то мы получим координатную систему \({\xi O \eta}.\) При этом ось \(\left( { - y} \right)\) перейдет в горизонтальную ось \(\xi,\) а ось \(x\) перейдет в вертикальную ось \(\eta.\) Другими словами, эволютой логарифмической спирали \(r = {e^\theta }\) является та же самая кривая, повернутая на угол \(\large\frac{\pi }{2}\normalsize\) против часовой стрелки.

   Пример 5

Определить эволюту циклоиды \[ {x = t - \sin t,}\;\;\; {y = 1 - \cos t.} \] Находим производные данной кривой: \[ {x' = {\left( {t - \sin t} \right)^\prime } = 1 - \cos t,}\;\;\; {y' = {\left( {1 - \cos t} \right)^\prime } = \sin t.} \] \[ {x'' = {\left( {1 - \cos t} \right)^\prime } = \sin t,}\;\;\; {y'' = {\left( {\sin t} \right)^\prime } = \cos t.} \] Вычислим координаты центра кривизны: \[ {\frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}} } = {\frac{{{{\left( {1 - \cos t} \right)}^2} + {{\sin }^2}t}}{{\left( {1 - \cos t} \right)\cos t - \sin t\sin t}} } = {\frac{{1 - 2\cos t + {{\cos }^2}t + {{\sin }^2}t}}{{\cos t - {{\cos }^2}t - {{\sin }^2}t}} } = {\frac{{2\left( {1 - \cos t} \right)}}{{\cos t - 1}} = - 2;} \] \[ {\xi = x - y'\frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}} } = {t - \sin t - \sin t \cdot \left( { - 2} \right) = t + \sin t;} \] \[ {\eta = y + x'\frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}} } = {1 - \cos t + \left( {1 - \cos t} \right) \cdot \left( { - 2} \right) } = {\cos t - 1.} \] Далее представим параметр \(t\) в виде \(t = \tau + \pi .\) Здесь переменная \(\tau\) играет роль "запаздывающего" параметра, отстающего от \(t\) на \(\pi\) единиц (т.е. на половину арки циклоиды).

Выразим координаты центра кривизны \(\xi\) и \(\eta\) через переменную \(\tau:\) \[ {\xi = t + \sin t } = {\tau + \pi + \sin \left( {\tau + \pi } \right) } = {\left[ {\tau - \sin \tau } \right] + \pi ;} \] \[ {\eta = \cos t - 1 } = {\cos \left( {\tau + \pi } \right) - 1 } = { - \cos \tau + 1 - 2 } = {\left[ {1 - \cos \tau } \right] - 2.} \] Итак, эволюта циклоиды также является циклоидой. Ее положение относительно исходной кривой смещено на вектор \(\left( {\pi , - 2} \right).\) Кроме того, вследствие замены \(t \to \tau,\) циклоида эволюты начинается с середины арки.

   Пример 6

Доказать, что кривая, заданная уравнениями \[ {x = R\left( {\cos t + t\sin t} \right),}\;\;\; {y = R\left( {\sin t - t\cos t} \right).} \] является эвольвентой окружности радиусом \(R\) с центром в начале координат. Найдем производные \(x\) и \(y\) по параметру \(t:\) \[ {x' = {\left[ {R\left( {\cos t + t\sin t} \right)} \right]^\prime } } = {R\left( { - \cancel{\sin t} + \cancel{\sin t} + t\cos t} \right) = Rt\cos t,} \] \[ {x'' = {\left( {Rt\cos t} \right)^\prime } } ={ R\left( {\cos t - t\sin t} \right),} \] \[ {y' = {\left[ {R\left( {\sin t - t\cos t} \right)} \right]^\prime } } = {R\left( {\cancel{\cos t} - \cancel{\cos t} + t\sin t} \right) = Rt\sin t,} \] \[ {y'' = {\left( {Rt\sin t} \right)^\prime } } = {R\left( {\sin t + t\cos t} \right).} \] Определим координаты центра кривизны данной кривой. Вычислим сначала дробное выражение \(D:\) \[ {D = \frac{{{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{x'y'' - x''y'}} } = {\frac{{{{\left( {Rt\cos t} \right)}^2} + {{\left( {Rt\sin t} \right)}^2}}}{{Rt\cos t \cdot R\left( {\sin t + t\cos t} \right) - R\left( {\cos t - t\sin t} \right) \cdot Rt\cos t}} } = {\frac{{{R^2}{t^2}}}{{\cancel{{R^2}t\sin t\cos t} + {R^2}{t^2}{{\cos }^2}t - \cancel{{R^2}t\sin t\cos t} + {R^2}{t^2}{\sin^2}t}} } = {\frac{\cancel{{R^2}{t^2}}}{{\cancel{{R^2}{t^2}}\left( {{{\cos }^2}t + {{\sin }^2}t} \right)}} = 1.} \] Следовательно, координаты центра равны \[ {\xi = x - y'D } = {R\left( {\cos t + t\sin t} \right) - Rt\sin t \cdot 1 } = {R\cos t + \cancel{Rt\sin t} - \cancel{Rt\sin t} } = {R\cos t;} \] \[ {\eta = y + x'D } = {R\left( {\sin t - t\cos t} \right) + Rt\sin t \cdot 1 } = {R\sin t - \cancel{Rt\cos t} + \cancel{Rt\cos t} } = {R\sin t.} \] Итак, мы получили уравнение эволюты в виде \[\xi = R\cos t,\;\;\;\eta = R\sin t.\] Эти уравнения представляют собой параметрические уравнения окружности радиусом \(R\) с центром в начале координат. В декартовой системе координат \(\left( {\xi ,\eta } \right)\) уравнение эволюты записывается как \[{\xi ^2} + {\eta ^2} = {R^2}.\] Эвольвента окружности по форме похожа на спираль (рисунок \(5\)). Она описывает траекторию любой точки прямой, которая перекатывается по окружности. Эвольвентная форма используется, в частности, в технике при конструировании зубчатых передач (рисунок \(6\)).

   Пример 7

Определить уравнение эволюты гиперболы \(y = \large\frac{1}{x}\normalsize.\) Первая и вторая производные гиперболической функции записываются в виде \[ {y' = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{x^2}}},}\;\;\; {y'' = {\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } = \frac{2}{{{x^3}}}.} \] Тогда координаты центра кривизны гиперболы будут определяться формулами \[ {\xi = x - \frac{{1 + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{y''}}y' } = {x - \frac{{1 + {{\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}^2}}}{{\frac{2}{{{x^3}}}}} \cdot \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) } = {x - \frac{{1 + \frac{1}{{{x^4}}}}}{{\frac{2}{{{x^3}}}}} \cdot \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) } = {x + \frac{{\left( {{x^4} + 1} \right){x^3}}}{{2{x^4}{x^2}}} } = {x + \frac{{{x^4} + 1}}{{2{x^3}}} } = {\frac{{2{x^4} + {x^4} + 1}}{{2{x^3}}} } = {\frac{{3{x^4} + 1}}{{2{x^3}}};} \] \[ {\eta = y + \frac{{1 + {{\left( {y'} \right)}^2}}}{{y''}} } = {\frac{1}{x} + \frac{{1 + {{\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}^2}}}{{\frac{2}{{{x^3}}}}} } = {\frac{1}{x} + \frac{{1 + \frac{1}{{{x^4}}}}}{{\frac{2}{{{x^3}}}}} } = {\frac{1}{x} + \frac{{\left( {{x^4} + 1} \right){x^3}}}{{2{x^4}}} } = {\frac{1}{x} + \frac{{{x^4} + 1}}{{2x}} } = {\frac{{{x^4} + 3}}{{2x}}.} \] С помощью алгебраических преобразований исключим из полученных формул переменную \(x\) (которая служит параметром в формулах для \(\xi\) и \(\eta\)). Найдем сначала выражения для суммы и разности координат \(\xi\) и \(\eta:\) \[ {\xi + \eta } = {\frac{{3{x^4} + 1}}{{2{x^3}}} + \frac{{{x^4} + 3}}{{2x}} } = {\frac{{3{x^4} + 1 + {x^6} + 3{x^2}}}{{2{x^3}}} } = {\frac{{{x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1}}{{2{x^3}}} } = {\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}}{{2{x^3}}} } = {\frac{1}{2}{\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)^3} } = {\frac{1}{2}{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3};} \] \[ {\xi - \eta } = {\frac{{3{x^4} + 1}}{{2{x^3}}} - \frac{{{x^4} + 3}}{{2x}} } = {\frac{{3{x^4} + 1 - {x^6} - 3{x^2}}}{{2{x^3}}} } = { - \frac{{{x^6} - 3{x^4} + 3{x^2} - 1}}{{2{x^3}}} } = { - \frac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}}}{{2{x^3}}} } = { - \frac{1}{2}{\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right)^3} } = { - \frac{1}{2}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3}.} \] Извлекая кубические корни, получаем такие соотношения: \[ {{\left( {\xi + \eta } \right)^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} = \frac{1}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{2}}}\left( {x + \frac{1}{x}} \right),}\;\;\; {{\left( {\xi - \eta } \right)^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} = - \frac{1}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{2}}}\left( {x - \frac{1}{x}} \right).} \] Теперь возведем каждое из уравнений в квадрат: \[ {{\left( {\xi + \eta } \right)^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} } = {\frac{1}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{4}}}{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} } = {\frac{1}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{4}}}\left( {{x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right),} \] \[ {{\left( {\xi - \eta } \right)^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} } = {\frac{1}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{4}}}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2} } = {\frac{1}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{4}}}\left( {{x^2} - 2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right).} \] Запишем оба уравнения в виде \[ {\sqrt[\large 3\normalsize]{4}{\left( {\xi + \eta } \right)^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}},}\;\;\; {\sqrt[\large 3\normalsize]{4}{\left( {\xi - \eta } \right)^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} = {x^2} - 2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \] и вычтем второе уравнение из первого: \[ {\sqrt[\large 3\normalsize]{4}\left[ {{{\left( {\xi + \eta } \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} - {{\left( {\xi - \eta } \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}} \right] } = {{x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} - \left( {{x^2} - 2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right),}\;\; {\Rightarrow \sqrt[\large 3\normalsize]{4}\left[ {{{\left( {\xi + \eta } \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} - {{\left( {\xi - \eta } \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}} \right] = 4,}\;\; {\Rightarrow \sqrt[\large 3\normalsize]{4}\left[ {{{\left( {\xi + \eta } \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} - {{\left( {\xi - \eta } \right)}^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}} \right] = 4,}\;\; {\Rightarrow {\left( {\xi + \eta } \right)^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} - {\left( {\xi - \eta } \right)^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} = \frac{4}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{4}}},}\;\; {\Rightarrow {\left( {\xi + \eta } \right)^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} - {\left( {\xi - \eta } \right)^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} = {4^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}.} \] В итоге мы получили уравнение эволюты гиперболы в неявной форме в виде \(f\left( {\xi ,\eta } \right) = 0.\)