Целые положительные числа
\(\mathbb{Z^ + } = \mathbb{N} = \left\{ {1,2,3, \ldots } \right\}\)

Целые отрицательные числа
\(\mathbb{Z^ - } = \left\{ { \ldots , - 3, - 2, - 1} \right\}\)

Целые числа состоят из натуральных чисел \(\left\{ {1,2,3, \ldots } \right\}\), чисел, противоположных натуральным (т.е. с отрицательным знаком) \(\left\{ { \ldots , - 3, - 2, - 1} \right\}\), и числа \(\left\{ 0 \right\}\).
\(\mathbb{Z} = \mathbb{Z^ - } \cup \left\{ 0 \right\} \cup \mathbb{Z^ + } = \left\{ { \ldots , - 3, - 2, - 1,0,1,2,3, \ldots } \right\}\)

Сумма, разность или произведение двух целых чисел являются целыми числами.

Коммутативность сложения
\(a + b = b + a\)

Ассоциативность сложения
\(a + \left( {b + c} \right) = \left( {a + b} \right) + c\)

Существование нейтрального элемента при сложении
\(a + 0 = a\)

Операция вычитания
\(a - b = a + \left( { - b} \right)\)

\(a - 0 = a\) 

\(0 - a = -a\) 

\(a + \left( { - a} \right) = 0\) 

Коммутативность умножения
\(a \cdot b = b \cdot a\)

Ассоциативность умножения
\(a \cdot \left( {b \cdot c} \right) = \left( {a \cdot b} \right) \cdot c\)

Дистрибутивность умножения относительно сложения
\(a \cdot \left( {b + c} \right) = a \cdot b + a \cdot c\)

Существование нейтрального элемента при умножении
\(a \cdot 1 = a\)

\(a \cdot 0 = 0\) 

Если \(a < b\) и \(c < d\), то \(a + c < b + d\)

Если \(a < b\) и \(c > 0\), то \(ac < bc\)

Если \(a < b\) и \(c < 0\), то \(ac > bc\)

Определение модуля (абсолютной величины) числа 

\(\left| a \right| = \begin{cases} a, & \text{если} \;\;a > 0 \\ 0, & \text{если} \;\;a = 0 \\ -a, & \text{если} \;\;a < 0 \end{cases}\)

\(\left| a \right| \ge 0\) 

\(\left| { - a} \right| = \left| a \right|\) 

\(a \le \left| a \right|\) 

\( - \left| a \right| \le a\) 

Неравенство треугольника
\(\left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\)

\(\left| a \right| - \left| b \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\)