Понятие функции является одним из основных в математике. Оно вводится следующим образом. Пусть заданы два множества \(X\) и \(Y\). Если каждому элементу \(x\) из множества \(X\) поставлен в соответствие элемент \(y = f\left( x \right)\) множества \(Y\), то говорят, что на множестве \(X\) задана функция \(f\). При этом элемент \(x\) называется независимой переменной, а элемент \(y\) − зависимой переменной. Если рассматриваются числовые множества \(X \subset \mathbb{C}\), \(Y \subset \mathbb{C}\) (\(\mathbb{C}\) − множество комплексных чисел), то говорят, соответственно, о числовой функции \(f\). В случае, когда \(x\) и \(y\) являются действительными числами, функцию \(y = f\left( x \right)\) можно представить в виде графика в декартовой системе координат \(Oxy\).

Четная функция
\(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)

Нечетная функция
\(f\left( { - x} \right) = -f\left( x \right)\)

Периодическая функция
\(f\left( {x + kT} \right) = f\left( x \right)\),
где \(k\) − целое число, \(T\) − период функции.

Обратная функция
Пусть задана функция \(y = f\left( x \right)\). Чтобы найти обратную для нее функцию, надо из уравнения \(y = f\left( x \right)\) выразить переменную \(x\) через \(y\), и затем поменять переменные местами. Обратную функцию часто обозначают в виде \(y = {f^{ - 1}}\left( x \right)\). Исходная и обратная функции симметричны относительно прямой \(y = x\).

Сложная функция
Предположим, что функция \(y = f\left( u \right)\) зависит от некоторой промежуточной переменной \(u\), которая, в свою очередь, является функцией независимой переменной \(x\): \(u = g\left( x \right)\). В таком случае, зависимость \(y\) от \(x\) представляет собой "функцию от функции" или сложную функцию, которую можно записать как \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\). "Двухслойные" сложные функции легко обобщаются на произвольное число "слоев".

Линейная функция
\(y = ax + b, \;x \in \mathbb{R}\).
Здесь число \(a\) называется угловым коэффициентом прямой. Он равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс: \(a = \tan \alpha\). Число \(b\) является координатой точки, в которой прямая пересекает ось \(Oy\).

Квадратичная функция
Простейшая квадратичная функция имеет вид
\(y = x^2, \;x \in \mathbb{R}\).
В общем случае квадратичная функция описывается формулой
\(y = ax^2 + bx + c, \;x \in \mathbb{R}\),
где \(a\), \(b\), \(c\) − действительные числа (при этом \(a \ne 0\)). График квадратичной функции называется параболой. Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента \(a\). При \(a > 0\) ветви параболы направлены вверх, при \(a < 0\) − вниз.

Кубическая функция
Простейшая кубическая функция выражается формулой
\(y = x^3, \;x \in \mathbb{R}\).
В общем случае кубическая функция описывается в виде
\(y = ax^3 + bx^2 + cx + d, \;x \in \mathbb{R}\),
где \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) − действительные числа (\(a \ne 0\)). График кубической функции называется кубической параболой. При \(a > 0\) кубическая функция является возрастающей, при \(a < 0\) − убывающей.

Степенная функция  
\(y = x^n, \;x \in \mathbb{R},\;n \in \mathbb{N}\).

Корневая функция  
\(y = \sqrt x ,\;x \in \left[ {0,\infty } \right).\)

Показательная и экспоненциальная функции
\(y = a^x,\;x \in \mathbb{R},\;a > 0,\;a \ne 1,\)
\(y = e^x\) при \(a = e \approx 2.71828182846\ldots\)
Показательная функция возрастает при \(a > 1\) и убывает при \(0 < a < 1\).

Логарифмическая функция
\(y = {\log_a}x,\;x \in \left( {0,\infty } \right),\;a > 0,\;a \ne 1,\)
\(y = \ln x\) при \(a = e,\;x \in \left( {0,\infty } \right).\)
Логарифмическая функция является возрастающей при \(a > 1\) и убывающей при \(0 < a < 1\).

Гиперболический синус  
\(y = \sinh x = \large\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2}\normalsize,\;x \in \mathbb{R}.\)

Гиперболический косинус  
\(y = \cosh x = \large\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}\normalsize,\;x \in \mathbb{R}.\)

Гиперболический тангенс  
\(y = \tanh x = \large\frac{{\sinh x}}{{\cosh x}}\normalsize = \large\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\normalsize,\;x \in \mathbb{R}.\)

Гиперболический котангенс  
\(y = \coth x = \large\frac{{\cosh x}}{{\sinh x}}\normalsize = \large\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}\normalsize,\;x \in \mathbb{R},\;x \ne 0.\)

Гиперболический секанс  
\(y = {\mathop{\rm sech}\nolimits}\,x = \large\frac{1}{{\cosh x}}\normalsize = \large\frac{2}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\normalsize,\;x \in \mathbb{R}.\)

Гиперболический косеканс  
\(y = {\mathop{\rm csch}\nolimits}\,x = \large\frac{1}{{\sinh x}}\normalsize = \large\frac{2}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}\normalsize,\;x \in \mathbb{R},\;x \ne 0.\)

Обратный гиперболический синус  
\(y = {\mathop{\rm arcsinh}\nolimits}\,x,\;x \in \mathbb{R}.\)

Обратный гиперболический косинус  
\(y = {\mathop{\rm arccosh}\nolimits}\,x,\;x \in \left[ {1,\infty } \right).\)

Обратный гиперболический тангенс  
\(y = {\mathop{\rm arctanh}\nolimits}\,x,\;x \in \left( {-1,1} \right).\)

Обратный гиперболический котангенс  
\(y = {\mathop{\rm arccoth}\nolimits}\,x,\;x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {1,\infty } \right).\)

Обратный гиперболический секанс  
\(y = {\mathop{\rm arcsech}\nolimits}\,x,\;x \in \left( {0,1} \right].\)

Обратный гиперболический косеканс  
\(y = {\mathop{\rm arccsch}\nolimits}\,x,\;x \in \mathbb{R},\;x \ne 0.\)