Формула Лейбница

Формула Лейбница выражает производную \(n\)-го порядка от произведения двух функций. Пусть функции \(u\left( x \right)\) и \(v\left( x \right)\) имеют производные до \(n\)-го порядка включительно. Рассмотрим производные от произведения данных функций.

Первая производная описывается известной формулой \[{\left( {uv} \right)^\prime } = u'v + uv'.\] Дифференцируя это выражение еще раз, получим вторую производную: \[ {{\left( {uv} \right)''} = {\left[ {{{\left( {uv} \right)}^\prime }} \right]^\prime } } = {{\left( {u'v + uv'} \right)^\prime } } = {{\left( {u'v} \right)^\prime } + {\left( {uv'} \right)^\prime } } = {u''v + u'v' + u'v' + uv'' = u''v + 2u'v' + uv''.} \] Таким же образом находится третья производная от произведения \(uv:\) \[ {{\left( {uv} \right)'''} = {\left[ {{\left( {uv} \right)''}} \right]^\prime } } = {{\left( {u''v + 2u'v' + uv''} \right)^\prime } } = {{\left( {u''v} \right)^\prime } + {\left( {2u'v'} \right)^\prime } + {\left( {uv''} \right)^\prime } } = {u'''v + \color{blue}{u''v'} + \color{blue}{2u''v'} + \color{red}{2u'v''} + \color{red}{u'v''} + uv''' } = {u'''v + \color{blue}{3u''v'} + \color{red}{3u'v''} + uv'''.} \] Легко заметить, что данные формулы похожи на разложение бинома Ньютона в соответствующей степени. Считая, что нулевые степени \({u^0}\) и \({v^0}\) соответствуют самим функциям \(u\) и \(v\), можно записать общую формулу производной \(n\)-го порядка от произведения функций \(uv\) в следующем виде: \[{\left( {uv} \right)^{\left( n \right)}} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{u^{\left( {n - i} \right)}}{v^{\left( i \right)}}} ,\] где \(C_n^i\) обозначает число сочетаний из \(n\) элементов по \(i\).

Приведенная формула называется формулой Лейбница и доказывается методом математической индукции.

Доказательство.
Предположим, что для функций \(u\) и \(v\) существуют также производные \(\left( {n + 1} \right)\)-го порядка. Используя рекуррентное соотношение, запишем выражение для производной \(\left( {n + 1} \right)\)-го порядка в следующем виде: \[ {{y^{\left( {n + 1} \right)}} = {\left[ {{y^{\left( n \right)}}} \right]^\prime } } = {{\left[ {{{\left( {uv} \right)}^{\left( n \right)}}} \right]^\prime } } = {{\left[ {\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{u^{\left( {n - i} \right)}}{v^{\left( i \right)}}} } \right]^\prime }.} \] В результате дифференцирования получаем: \[ {{y^{\left( {n + 1} \right)}} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{u^{\left( {n - i + 1} \right)}}{v^{\left( i \right)}}} } + {\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{u^{\left( {n - i} \right)}}{v^{\left( {i + 1} \right)}}} .} \] Обе суммы в правой части можно объединить в одну сумму. Действительно, возьмем некоторый промежуточный индекс \(1 \le m \le n.\) Первое слагаемое при \(i = m\) записывается как \[C_n^m{u^{\left( {n - m + 1} \right)}}{v^{\left( m \right)}},\] а второе слагаемое при \(i = m - 1\) имеет такой вид: \[C_n^{m - 1}{u^{\left( {n - \left( {m - 1} \right)} \right)}}{v^{\left( {\left( {m - 1} \right) + 1} \right)}} = C_n^{m - 1}{u^{\left( {n - m + 1} \right)}}{v^{\left( m \right)}}.\] Сумма этих двух слагаемых равна \[ {C_n^m{u^{\left( {n - m + 1} \right)}}{v^{\left( m \right)}} + C_n^{m - 1}{u^{\left( {n - m + 1} \right)}}{v^{\left( m \right)}} } = {\left( {C_n^m + C_n^{m - 1}} \right){u^{\left( {n - m + 1} \right)}}{v^{\left( m \right)}}.} \] Из комбинаторики известно, что \[C_n^m + C_n^{m - 1} = C_{n + 1}^m.\] Поэтому, сумма двух указанных членов записывается в виде \[ {\left( {C_n^m + C_n^{m - 1}} \right){u^{\left( {n - m + 1} \right)}}{v^{\left( m \right)}} } = {C_{n + 1}^m{u^{\left( {n + 1 - m} \right)}}{v^{\left( m \right)}}.} \] Ясно, что при изменении \(m\) от \(1\) до \(n\) такое объединение слагаемых будет охватывать все члены обеих сумм, кроме члена \(i = 0\) в первой сумме, равного \[C_n^0{u^{\left( {n - 0 + 1} \right)}}{v^{\left( 0 \right)}} = {u^{\left( {n + 1} \right)}}{v^{\left( 0 \right)}},\] и члена \(i = n\) во второй сумме, равного \[C_n^n{u^{\left( {n - n} \right)}}{v^{\left( {n + 1} \right)}} = {u^{\left( 0 \right)}}{v^{\left( {n + 1} \right)}}.\] В итоге производная \(\left( {n + 1} \right)\)-го порядка от произведения функций \(uv\) представляется в виде \[ {{y^{\left( {n + 1} \right)}} = {u^{\left( {n + 1} \right)}}{v^{\left( 0 \right)}} } + {\sum\limits_{m = 1}^n {C_{n + 1}^m{u^{\left( {n + 1 - m} \right)}}{v^{\left( m \right)}}} } + {{u^{\left( 0 \right)}}{v^{\left( {n + 1} \right)}} } = {\sum\limits_{m = 0}^{n + 1} {C_{n + 1}^m{u^{\left( {n + 1 - m} \right)}}{v^{\left( m \right)}}} .} \] Как видно, выражение для \({y^{\left( {n + 1} \right)}}\) имеет аналогичный вид, как и для производной \({y^{\left( n \right)}}.\) Только теперь верхний предел суммирования вместо \(n\) равен \(n + 1\). Таким образом, формула Лейбница доказана для произвольного натурального числа \(n\).

   Пример 1

Найти третью производную функции \(y = {e^{2x}}\ln x.\) Полагаем \(u = {e^{2x}}\), \(v = \ln x\). Производные функций \(u\) и \(v\) равны: \[ {u' = {\left( {{e^{2x}}} \right)^\prime } = 2{e^{2x}},}\;\; {u'' = {\left( {2{e^{2x}}} \right)^\prime } = 4{e^{2x}},}\;\; {u''' = {\left( {4{e^{2x}}} \right)^\prime } = 8{e^{2x}},} \] \[ {v' = {\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{1}{x},}\;\; {v'' = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{x^2}}},}\;\; {v''' = {\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^\prime } } = { - {\left( {{x^{ - 2}}} \right)^\prime } } = {2{x^{ - 3}} = \frac{2}{{{x^3}}}.} \] Производная \(3\)-го порядка от исходной функции находится по формуле Лейбница: \[ {y''' = {\left( {{e^{2x}}\ln x} \right)'''} } = {\sum\limits_{i = 0}^3 {C_3^i{u^{\left( {3 - i} \right)}}{v^{\left( i \right)}}} } = {\sum\limits_{i = 0}^3 {C_3^i{{\left( {{e^{2x}}} \right)}^{\left( {3 - i} \right)}}{{\left( {\ln x} \right)}^{\left( i \right)}}} } = {C_3^0 \cdot 8{e^{2x}}\ln x + C_3^1 \cdot 4{e^{2x}} \cdot \frac{1}{x} } + {C_3^2 \cdot 2{e^{2x}} \cdot \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C_3^3{e^{2x}} \cdot \frac{2}{{{x^3}}} } = {1 \cdot 8{e^{2x}}\ln x + 3 \cdot \frac{{4{e^{2x}}}}{x} - 3 \cdot \frac{{2{e^{2x}}}}{{{x^2}}} + 1 \cdot \frac{{2{e^{2x}}}}{{{x^3}}} } = {8{e^{2x}}\ln x + \frac{{12{e^{2x}}}}{x} - \frac{{6{e^{2x}}}}{{{x^2}}} + \frac{{2{e^{2x}}}}{{{x^3}}} } = {2{e^{2x}}\left( {4\ln x + \frac{6}{x} - \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right).} \]

   Пример 2

Найти все производные функции \(y = {e^x}{x^2}.\) Пусть \(u = {e^x}\) и \(v = {x^2}\). Тогда \[ {u' = {\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x},}\;\; {v' = {\left( {{x^2}} \right)^\prime } = 2x,}\;\; {u'' = {\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x},}\;\; {v'' = {\left( {2x} \right)^\prime } = 2.} \] Легко устанавливаются общие формулы для производных \(n\)-порядка: \[ {{u^{\left( n \right)}} = {e^x},}\;\; {v''' = {v^{IV}} = \ldots = {v^{\left( n \right)}} = 0.} \] Используя формулу Лейбница \[ {{\left( {uv} \right)^{\left( n \right)}} = {u^{\left( n \right)}}v + n{u^{\left( {n - 1} \right)}}v' } + {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{1 \cdot 2}}{u^{\left( {n - 2} \right)}}v'' + \ldots + u{v^{\left( n \right)}},} \] получаем \[ {{y^{\left( n \right)}} = {e^x}{x^2} + n{e^x} \cdot 2x + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{1 \cdot 2}}{e^x} \cdot 2}\;\;\; {\text{или}\;\;\;{y^{\left( n \right)}} = {e^x}\left[ {{x^2} + 2nx + n\left( {n - 1} \right)} \right].} \]

   Пример 3

Дана функция \(y = {x^2}\cos 3x.\) Найти производную третьего порядка. Пусть \(u = \cos 3x\), \(v = {x^2}\). Тогда по формуле Лейбница находим: \[ {y''' = \sum\limits_{i = 0}^3 {C_3^i{u^{\left( {3 - i} \right)}}{v^{\left( i \right)}}} } = {\sum\limits_{i = 0}^3 {C_3^i{{\left( {\cos 3x} \right)}^{\left( {3 - i} \right)}}{{\left( {{x^2}} \right)}^{\left( i \right)}}} .} \] Производные в этом выражении имеют вид: \[ {{\left( {\cos 3x} \right)'} = - 3\sin 3x,}\;\; {{\left( {\cos 3x} \right)''} = {\left( { - 3\sin 3x} \right)^\prime } = - 9\cos 3x,}\;\; {{\left( {\cos 3x} \right)'''} = {\left( { - 9\cos 3x} \right)^\prime } = 27\sin 3x,} \] \[ {{\left( {{x^2}} \right)'} = 2x,}\;\; {{\left( {{x^2}} \right)''} = 2,}\;\; {{\left( {{x^2}} \right)'''} = 0.} \] Следовательно, третья производная заданной функции равна \[ {y''' = C_3^0{\left( {\cos 3x} \right)'''}{x^2} + C_3^1{\left( {\cos 3x} \right)''} {\left( {{x^2}} \right)'} } + {C_3^2{\left( {\cos 3x} \right)' }{\left( {{x^2}} \right)''} + C_3^2\cos 3x {\left( {{x^2}} \right)'''} } = {1 \cdot 27\sin 3x \cdot {x^2} + 3 \cdot \left( { - 9\cos 3x} \right) \cdot 2x } + {3 \cdot \left( { - 3\sin 3x} \right) \cdot 2 + 1 \cdot \cos 3x \cdot 0 } = {27{x^2}\sin 3x - 54x\cos 3x - 18\sin 3x } = {\left( {27{x^2} - 18} \right)\sin 3x - 54x\cos 3x.} \]

   Пример 4

Найти производную \(5\)-го порядка функции \(y = \left( {{x^3} + 2{x^2} + 3x} \right){e^x}.\) Для нахождения производной \({y^{\left( 5 \right)}}\) применим формулу Лейбница. Пусть \(v = {x^3} + 2{x^2} + 3x\), \(u = {e^x}.\) Тогда производная \(5\)-го порядка \({y^{\left( 5 \right)}}\) представляется в виде следующего ряда: \[ {{y^{\left( 5 \right)}} = \sum\limits_{i = 0}^5 {C_5^i{u^{\left( {5 - i} \right)}}{v^{\left( i \right)}}} } = {\sum\limits_{i = 0}^5 {C_5^i{{\left( {{e^x}} \right)}^{\left( {5 - i} \right)}}{{\left( {{x^3} + 2{x^2} + 3x} \right)}^{\left( i \right)}}} .} \] Производная любого порядка от экспоненциальной функции \(u = {e^x}\) равна самой же этой функции: \[{u^{\left( {5 - i} \right)}} = {\left( {{e^x}} \right)^{\left( {5 - i} \right)}} \equiv {e^x},\] а производная многочлена \(v = {x^3} + 2{x^2} + 3x\) отлична от нуля лишь для первых трех порядков дифференцирования: \[ {v' = {\left( {{x^3} + 2{x^2} + 3x} \right)^\prime } = 3{x^2} + 4x + 3,}\;\; {v'' = {\left( {3{x^2} + 4x + 3} \right)^\prime } = 6x + 4,}\;\; {v''' = {\left( {6x + 4} \right)^\prime } = 6,}\;\; {{v^{\left( 4 \right)}} = {v^{\left( 5 \right)}} \equiv 0.} \] Следовательно, разложение производной \({y^{\left( 5 \right)}}\) в ряд имеет вид \[ {{y^{\left( 5 \right)}} = C_5^0{e^x}\left( {{x^3} + 2{x^2} + 3x} \right) + C_5^1{e^x}\left( {3{x^2} + 4x + 3} \right) } + {C_5^2{e^x}\left( {6x + 4} \right) + C_5^3{e^x} \cdot 6} \] Остальные члены ряда, очевидно, равны нулю. В результате получаем \[ {{y^{\left( 5 \right)}} = {e^x}\left( {{x^3} + 2{x^2} + 3x} \right) + 5{e^x}\left( {3{x^2} + 4x + 3} \right) + 10{e^x}\left( {6x + 4} \right) + 60{e^x} } = {{e^x}\left( {{x^3} + \color{blue}{2{x^2}} + \color{red}{3x} + \color{blue}{15{x^2}} + \color{red}{20x} + \color{green}{15} + \color{red}{60x} + \color{green}{40} + \color{green}{60}} \right) } = {{e^x}\left( {{x^3} + \color{blue}{17{x^2}} + \color{red}{83x} + \color{green}{115}} \right).} \]

   Пример 5

Найти производную \(n\)-го порядка функции \(y = {x^2}\cos x.\) Воспользуемся формулой Лейбница, полагая \(u = \cos x\), \(v = {x^2}.\) Тогда \[ {{\left( {{x^2}\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{u^{\left( {n - i} \right)}}{v^{\left( i \right)}}} } = {\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{{\left( {\cos x} \right)}^{\left( {n - i} \right)}}{{\left( {{x^2}} \right)}^{\left( i \right)}}} } = {C_n^0{\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}}{x^2} + C_n^1{\left( {\cos x} \right)^{\left( {n - 1} \right)}}{\left( {{x^2}} \right)^\prime } } + {C_n^2{\left( {\cos x} \right)^{\left( {n - 2} \right)}}{\left( {{x^2}} \right)''} + \ldots } \] Остальные члены ряда равны нулю, поскольку \({\left( {{x^2}} \right)^{\left( i \right)}} = 0\) при \(i > 2.\)

На странице Производные высшего порядка в примере \(7\) была определена производная \(n\)-го порядка функции косинус: \[{\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + \frac{{\pi n}}{2}} \right).\] Следовательно, производная нашей функции равна \[ {{\left( {{x^2}\cos x} \right)^{\left( n \right)}} } = {C_n^0\cos \left( {x + \frac{{\pi n}}{2}} \right){x^2} + C_n^1\cos \left( {x + \frac{{\pi \left( {n - 1} \right)}}{2}} \right) \cdot 2x } + {C_n^2\cos \left( {x + \frac{{\pi \left( {n - 2} \right)}}{2}} \right) \cdot 2 } = {{x^2}\cos \left( {x + \frac{{\pi n}}{2}} \right) + 2nx\cos \left( {x + \frac{{\pi n}}{2} - \frac{\pi }{2}} \right) } + {\frac{{2n\left( {n - 1} \right)}}{2}\cos \left( {x + \frac{{\pi n}}{2} - \pi } \right) } = {{x^2}\cos \left( {x + \frac{{\pi n}}{2}} \right) + 2nx\sin \left( {x + \frac{{\pi n}}{2}} \right) } - {n\left( {n - 1} \right)\cos \left( {x + \frac{{\pi n}}{2}} \right) } = {\left[ {{x^2} - n\left( {n - 1} \right)} \right]\cos \left( {x + \frac{{\pi n}}{2}} \right) } + {2nx\sin \left( {x + \frac{{\pi n}}{2}} \right).} \]

   Пример 6

Найти производную \(10\)-го порядка функции \(y = \left( {{x^2} + 4x + 1} \right)\sqrt {{e^x}} \) в точке \(x = 0\). Обозначим \(u = \sqrt {{e^x}} \), \(v = {x^2} + 4x + 1.\) Производные этих функций имеют такой вид: \[ {u' = {\left( {\sqrt {{e^x}} } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt {{e^x}} }} \cdot {\left( {{e^x}} \right)^\prime } = \frac{{{e^x}}}{{2\sqrt {{e^x}} }} = \frac{{\sqrt {{e^x}} }}{2},}\;\; {u'' = {\left( {\frac{{\sqrt {{e^x}} }}{2}} \right)^\prime } = \frac{{\sqrt {{e^x}} }}{4}, \ldots} \;\; {\Rightarrow {u^{\left( k \right)}} = \frac{{\sqrt {{e^x}} }}{{{2^k}}},} \] \[ {v' = {\left( {{x^2} + 4x + 1} \right)^\prime } = 2x + 4,}\;\; {v'' = {\left( {2x + 4} \right)^\prime } = 2.} \] Производные функции \(v\) порядка \(i > 2\), очевидно, равны нулю. Поэтому разложение производной \({y^{\left( {10} \right)}}\) ограничено лишь несколькими членами: \[ {{y^{\left( {10} \right)}} = \sum\limits_{i = 0}^{10} {C_{10}^i{u^{\left( {10 - i} \right)}}{v^{\left( i \right)}}} } = {C_{10}^0\frac{{\sqrt {{e^x}} }}{{{2^{10}}}}\left( {{x^2} + 4x + 1} \right) + C_{10}^1\frac{{\sqrt {{e^x}} }}{{{2^9}}}\left( {2x + 4} \right) } + {C_{10}^2\frac{{\sqrt {{e^x}} }}{{{2^8}}} \cdot 2 } = {\frac{{10!}}{{10!\;0!}} \cdot \sqrt {{e^x}} \cdot \frac{1}{{{2^{10}}}} \cdot \left( {{x^2} + 4x + 1} \right) } + {\frac{{10!}}{{9!\;1!}} \cdot \sqrt {{e^x}} \cdot \frac{2}{{{2^{10}}}} \cdot \left( {2x + 4} \right) } + {\frac{{10!}}{{8!\;2!}} \cdot \sqrt {{e^x}} \cdot \frac{4}{{{2^{10}}}} \cdot 2 } = {\frac{{\sqrt {{e^x}} }}{{{2^{10}}}}\left[ {{x^2} + 4x + 1 + 20\left( {2x + 4} \right) + 360} \right] } = {\frac{{\sqrt {{e^x}} }}{{{2^{10}}}}\left( {{x^2} + 44x + 441} \right).} \] При \(x = 0\) производная \(10\)-го порядка, соответственно, равна \[ {{y^{\left( {10} \right)}}\left( 0 \right) = \frac{{441}}{{{2^{10}}}} } = {\frac{{441}}{{1024}} = {\left( {\frac{{21}}{{32}}} \right)^2}.} \]

   Пример 7

Найти производную \(n\)-го порядка функции \(y = {x^3}\sin 2x.\) Пусть \(u = \sin 2x\), \(v = {x^3}.\) Запишем производную \(n\)-го порядка по формуле Лейбница: \[ {{\left( {{x^3}\sin 2x} \right)^{\left( n \right)}} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{u^{\left( {n - i} \right)}}{v^{\left( i \right)}}} } = {\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{{\left( {\sin 2x} \right)}^{\left( {n - i} \right)}}{{\left( {{x^3}} \right)}^{\left( i \right)}}} } = {C_n^0{\left( {\sin 2x} \right)^{\left( n \right)}}{x^3} + C_n^1{\left( {\sin 2x} \right)^{\left( {n - 1} \right)}}{\left( {{x^3}} \right)'} } + {C_n^2{\left( {\sin 2x} \right)^{\left( {n - 2} \right)}}{\left( {{x^3}} \right)''} + C_n^3{\left( {\sin 2x} \right)^{\left( {n - 3} \right)}}{\left( {{x^3}} \right)'''} + \ldots } \] Очевидно, что остальные члены в разложении равны нулю, поскольку \({\left( {{x^3}} \right)^{\left( i \right)}} = 0\) при \(i > 3\).

В примере \(6\) на странице Производные высшего порядка была найдена производная \(n\)-го порядка функции синус: \[{\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} = \sin \left( {x + \frac{{\pi n}}{2}} \right).\] Можно показать, что производная функции \({\sin 2x}\) определяется аналогичной формулой: \[{\left( {\sin 2x} \right)^{\left( n \right)}} = {2^n}\sin \left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right).\] Следовательно, остальные производные функции \({\sin 2x}\) имеют вид: \[ {{\left( {\sin 2x} \right)^{\left( {n - 1} \right)}} = {2^{n - 1}}\sin \left( {2x + \frac{{\pi \left( {n - 1} \right)}}{2}} \right) } = {{2^{n - 1}}\sin \left( {2x + \frac{{\pi n}}{2} - \frac{\pi }{2}} \right) } = { - {2^{n - 1}}\cos\left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right),} \] \[ {{\left( {\sin 2x} \right)^{\left( {n - 2} \right)}} = {2^{n - 2}}\sin \left( {2x + \frac{{\pi \left( {n - 2} \right)}}{2}} \right) } = {{2^{n - 2}}\sin \left( {2x + \frac{{\pi n}}{2} - \pi } \right) } = { - {2^{n - 2}}\sin\left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right),} \] \[ {{\left( {\sin 2x} \right)^{\left( {n - 3} \right)}} = {2^{n - 3}}\sin \left( {2x + \frac{{\pi \left( {n - 3} \right)}}{2}} \right) } = {{2^{n - 3}}\sin \left( {2x + \frac{{\pi n}}{2} - \frac{{3\pi }}{2}} \right) } = {{2^{n - 3}}\cos\left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right).} \] Подставляя это в формулу \(n\)-ой производной заданной функции, получаем: \[ {{\left( {{x^3}\sin 2x} \right)^{\left( n \right)}} = C_n^0{x^3}{2^n}\sin\left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right) } - {C_n^1 \cdot 3{x^2}{2^{n - 1}}\cos\left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right) } - {C_n^2 \cdot 6x \,{2^{n - 2}}\sin\left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right) } + {C_n^3 \cdot 6 \cdot {2^{n - 3}}\cos\left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right).} \] Учтем, что сочетания представляются в таком виде: \[ {C_n^0 = 1,\;\;C_n^1 = n,}\;\; {C_n^2 = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2},}\;\; {C_n^3 = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6}.} \] Тогда \[ {{\left( {{x^3}\sin 2x} \right)^{\left( n \right)}} = {x^3}{2^n}\sin\left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right) } - {3{x^2}n{2^{n - 1}}\cos\left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right) } - {6x \cdot \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} \cdot {2^{n - 2}}\sin\left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right) } + {6 \cdot \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6}{2^{n - 3}}\cos\left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right) } = {\left[ {{x^3}{2^n} - 3xn\left( {n - 1} \right){2^{n - 2}}} \right]\sin\left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right) } + {\left[ {n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right){2^{n - 3}} - 3{x^2}n{2^{n - 1}}} \right]\cos\left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right) } = {{2^n}\left[ {{x^3} - \frac{{3xn\left( {n - 1} \right)}}{4}} \right]\sin\left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right) } + {{2^n}\left[ {\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{8} - \frac{{3{x^2}n}}{2}} \right]\cos\left( {2x + \frac{{\pi n}}{2}} \right).} \]

   Пример 8

Найти производную \(n\)-го порядка функции \(y = \left( {3{x^2} - 2x} \right)\ln x,\;\;x > 0.\) Производную данной функции можно найти по формуле Лейбница: \[{y^{\left( n \right)}} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{u^{\left( {n - i} \right)}}{v^{\left( i \right)}}} .\] Обозначим \(u = \ln x\), \(v = 3{x^2} - 2x.\) Запишем производные функции \(u = \ln x:\) \[ {u' = {\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{1}{x},}\;\; {u'' = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = {\left( {{x^{ - 1}}} \right)^\prime } = - 1 \cdot {x^{ - 2}} = - \frac{1}{{{x^2}}},}\;\; {u''' = {\left( { - 1 \cdot {x^{ - 2}}} \right)^\prime } = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){x^{ - 3}} = \frac{2}{{{x^3}}}.} \] Ясно, что производная \(n\)-го порядка от натурального логарифма выражается формулой \[{u^{\left( n \right)}} = {\left( {\ln x} \right)^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\left( {n - 1} \right)!}}{{{x^n}}},\] которую можно доказать методом математической индукции. Что касается квадратичной функции \(v = 3{x^2} - 2x,\) то у нее отличны от нуля лишь производные первого и второго порядка: \[ {v' = {\left( {3{x^2} - 2x} \right)^\prime } = 6x - 2,}\;\; {v'' = 6,}\;\; {v''' = {v^{\left( 4 \right)}} = \ldots = {v^{\left( n \right)}} \equiv 0.} \] Поэтому разложение производной в ряд по формуле Лейбница содержит лишь несколько членов: \[ {{y^{\left( n \right)}} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{u^{\left( {n - i} \right)}}{v^{\left( i \right)}}} } = {\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{{\left( {\ln x} \right)}^{\left( {n - i} \right)}}{{\left( {3{x^2} - 2x} \right)}^{\left( i \right)}}} } = {C_n^0{\left( {\ln x} \right)^{\left( n \right)}} \cdot \left( {3{x^2} - 2x} \right) } + {C_n^1{\left( {\ln x} \right)^{\left( {n - 1} \right)}} \cdot \left( {6x - 2} \right) } + {C_n^2{\left( {\ln x} \right)^{\left( {n - 1} \right)}} \cdot 6 } = {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\left( {n - 1} \right)!}}{{{x^n}}} \cdot \left( {3{x^2} - 2x} \right) } + {n \cdot \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 2}}\left( {n - 2} \right)!}}{{{x^{n - 1}}}} \cdot \left( {6x - 2} \right) } + {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} \cdot \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 3}}\left( {n - 3} \right)!}}{{{x^{n - 2}}}} \cdot 6 } = {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}n!}}{{n{x^{n - 1}}}} \cdot \left( {3x - 2} \right) } + {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}{{\left( { - 1} \right)}^{ - 1}}n!}}{{\left( {n - 1} \right){x^{n - 1}}}} \cdot \left( {6x - 2} \right) } + {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}{{\left( { - 1} \right)}^{ - 2}}n!x}}{{\left( {n - 2} \right){x^{n - 1}}}} \cdot 3 } = {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}n!}}{{{x^{n - 1}}}}\left( {\frac{{3x - 2}}{n} - \frac{{6x - 2}}{{n - 1}} + \frac{{3x}}{{n - 2}}} \right).} \] Данная формула применима при \(n > 2.\)

   Пример 9

Найти производную \(4\)-го порядка функции \(y = \left( {{x^3} - {x^2}} \right)\tan x\) в точке \(x = 1.\) Полагая \(u = \tan x\), \(v = {x^3} - {x^2},\) выразим производную по формуле Лейбница: \[ {{y^{\left( 4 \right)}} = \sum\limits_{i = 0}^4 {C_4^i{u^{\left( {4 - i} \right)}}{v^{\left( i \right)}}} } = {\sum\limits_{i = 0}^4 {C_4^i{{\left( {\tan x} \right)}^{\left( {4 - i} \right)}}{{\left( {{x^3} - {x^2}} \right)}^{\left( i \right)}}} .} \] Производные функции тангенс имеют такой вид: \[ {u' = {\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{1 + {x^2}}},}\;\; {u'' = {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} \right)^\prime } } = { - \frac{1}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} \cdot 2x } = { - \frac{{2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}},} \] \[ {u''' = {\left( { - \frac{{2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}} \right)^\prime } } = { - \frac{{{{\left( {2x} \right)}^\prime }{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} - 2x{{\left( {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^4}}} } = { - \frac{{2{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} - 2x \cdot 2\left( {1 + {x^2}} \right) \cdot 2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^4}}} } = { - \frac{{2{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} - 8{x^2}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}} } = { - \frac{{6{x^2} - 2}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}.} \] \[ {{y^{\left( 4 \right)}} = {\left( { - \frac{{6{x^2} - 2}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}} \right)^\prime } } = { - \frac{{{{\left( {6{x^2} - 2} \right)}^\prime }{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3} - \left( {6{x^2} - 2} \right){{\left( {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^6}}} } = { - \frac{{12x{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3} - \left( {6{x^2} - 2} \right) \cdot 3{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} \cdot 2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^6}}} } = { - \frac{{12x\left( {1 + {x^2}} \right) - 6x\left( {6{x^2} - 2} \right)}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^4}}} } = { - \frac{{12x + 12{x^3} - 36{x^3} + 12x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^4}}} } = {\frac{{24x\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^4}}}.} \] Вычислим производные кубического многочлена \(v = {x^3} - {x^2}:\) \[ {v' = {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)^\prime } = 3{x^2} - 2x,}\;\; {v'' = {\left( {3{x^2} - 2x} \right)^\prime } = 6x - 2,}\;\; {v''' = {\left( {6x - 2} \right)^\prime } = 6,}\;\; {{v^{\left( 4 \right)}} = {\left( 6 \right)^\prime } = 0.} \] Подставляя это в формулу Лейбница, получаем: \[ {{y^{\left( 4 \right)}} = C_4^0{\left( {\tan x} \right)^{\left( 4 \right)}}{\left( {{x^3} - {x^2}} \right)^{\left( 0 \right)}} } + {C_4^1{\left( {\tan x} \right)'''}{\left( {{x^3} - {x^2}} \right)'} } + {C_4^2{\left( {\tan x} \right)''} {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)''} } + {C_4^3{\left( {\tan x} \right)'}{\left( {{x^3} - {x^2}} \right)'''}} + {C_4^4{\left( {\tan x} \right)^{\left( 0 \right)}}{\left( {{x^3} - {x^2}} \right)^{\left( 4 \right)}} } = {1 \cdot \frac{{24x\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^4}}} \cdot \left( {{x^3} - {x^2}} \right) } + {4 \cdot \left( { - \frac{{6{x^2} - 2}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}} \right) \cdot \left( {3{x^2} - 2x} \right) } + {6 \cdot \left( { - \frac{{2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}} \right) \cdot \left( {6x - 2} \right) } + {6 \cdot \frac{1}{{1 + {x^2}}} \cdot 6 } + {1 \cdot \tan x \cdot 0 } = {\frac{{24\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^3} - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^4}}} } - {\frac{{4\left( {6{x^2} - 2} \right)\left( {3{x^2} - 2x} \right)}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}} } - {\frac{{12x\left( {6x - 2} \right)}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} } + {\frac{{36}}{{1 + {x^2}}}.} \] При \(x = 1\) производная \({y^{\left( 4 \right)}}\) имеет следующее значение: \[ {{y^{\left( 4 \right)}}\left( 1 \right) = 0 - \frac{{4 \cdot 4 \cdot 1}}{{{2^3}}} - \frac{{12 \cdot 4}}{{{2^2}}} + \frac{{36}}{2} } = { - 2 - 12 + 18 = 4.} \]

   Пример 10

Найти производную \(n\)-го порядка функции \(y = \arctan x\) в точке \(x = 0.\) Первая производная арктангенса имеет вид \[y' = {\left( {\arctan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{1 + {x^2}}}.\] Это выражение можно записать как \[y'\left( {1 + {x^2}} \right) = 1.\] Используя формулу Лейбница, найдем производную \(\left( {n - 1} \right)\)-го порядка от обеих частей последнего равенства: \[{\left[ {y'\left( {1 + {x^2}} \right)} \right]^{\left( {n - 1} \right)}} = {1^{\left( {n - 1} \right)}}.\] Полагаем \(u = y'\), \(v = 1 + {x^2}.\) Левая часть имеет вид: \[ {{\left[ {y'\left( {1 + {x^2}} \right)} \right]^{\left( {n - 1} \right)}} = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^i{u^{\left( {n - 1 - i} \right)}}{v^{\left( i \right)}}} } = {\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^i{{\left( {y'} \right)}^{\left( {n - 1 - i} \right)}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\left( i \right)}}} } = {{y^{\left( n \right)}}\left( {1 + {x^2}} \right) } + {\left( {n - 1} \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} \cdot 2x } + {\frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{2} \cdot {y^{\left( {n - 2} \right)}} \cdot 2 + \ldots } \] Остальные члены в разложении, очевидно, равны нулю. Таким образом, получаем следующее равенство: \[ {\left( {1 + {x^2}} \right){y^{\left( n \right)}} + 2x\left( {n - 1} \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} } + {\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right){y^{\left( {n - 2} \right)}} = 0,} \] которое после подстановки \(x = 0\) принимает вид: \[{y^{\left( n \right)}}\left( 0 \right) + \left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right){y^{\left( {n - 2} \right)}}\left( 0 \right) = 0.\] Рассмотрим сначала случай когда порядок производной является четным. Пусть \(n = 2k\;\left( {k = 0,1,2, \ldots } \right).\) Вторая производная арктангенса выражается формулой \[ {y'' = {\left( {\arctan x} \right)''} = {\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} \right)'} } = { - \frac{1}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} \cdot {\left( {1 + {x^2}} \right)'} } = { - \frac{2x}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}.} \] При \(x = 0\) она равна нулю: \[y''\left( 0 \right) = - \frac{{2 \cdot 0}}{{{{\left( {1 + {0^2}} \right)}^2}}} = 0.\] Тогда из найденного рекуррентного соотношения \[{y^{\left( n \right)}}\left( 0 \right) = - \left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right){y^{\left( {n - 2} \right)}}\left( 0 \right)\] следует, что все производные арктангенса четного порядка при \(x = 0\) равны нулю.

Для нечетных \(n\,\left( {n = 2k,\;k = 0,1,2, \ldots } \right)\) рекуррентную формулу можно записать в таком виде: \[ {{y^{\left( {2k + 1} \right)}}\left( 0 \right) = - \left( {2k + 1 - 1} \right)\left( {2k + 1 - 2} \right){y^{\left( {2k + 1 - 2} \right)}}\left( 0 \right),}\;\; {\Rightarrow {y^{\left( {2k + 1} \right)}}\left( 0 \right) = - 2k\left( {2k - 1} \right){y^{\left( {2k - 1} \right)}}\left( 0 \right).} \] Учитывая, что \[y'\left( 0 \right) = \frac{1}{{1 + {0^2}}} = 1,\] вычислим несколько первых нечетных производных: \[ {y'''\left( 0 \right) = - 2 \cdot 1 \cdot y'\left( 0 \right) = {\left( { - 1} \right)^1} \cdot 1 \cdot 2 } = {{\left( { - 1} \right)^1} \cdot 2!} \] \[ {{y^{\left( 5 \right)}}\left( 0 \right) = - 4 \cdot 3 \cdot y'''\left( 0 \right) } = { - 4 \cdot 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^1} \cdot 2! } = {{\left( { - 1} \right)^2} \cdot 2! \cdot 3 \cdot 4 } = {{\left( { - 1} \right)^2} \cdot 4!} \] \[ {{y^{\left( 7 \right)}}\left( 0 \right) = - 6 \cdot 5 \cdot {y^{\left( 5 \right)}}\left( 0 \right) } = { - 6 \cdot 5 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} \cdot 4! } = {{\left( { - 1} \right)^3} \cdot 6!} \] Отсюда легко устанавливается общее выражение для производной арктангенса нечетного порядка при \(x = 0:\) \[{y^{\left( {2k + 1} \right)}}\left( 0 \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\left( {2k} \right)!\]