Масса и статические моменты пластины
Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область \(R\) в плоскости \(Oxy.\)
Пусть плотность пластины в точке \(\left( {x,y} \right)\) в области \(R\) равна \(\rho \left( {x,y} \right).\)
Тогда
масса пластины выражается через двойной интеграл в виде
\[m = \iint\limits_R {\rho \left( {x,y} \right)dA} .\]
Статический момент пластины относительно оси \(Ox\)
определяется формулой
\[{M_x} = \iint\limits_R {y\rho \left( {x,y} \right)dA} .\]
Аналогично находится
статический момент пластины относительно оси \(Oy\):
\[{M_y} = \iint\limits_R {x\rho \left( {x,y} \right)dA} .\]
Координаты
центра масс пластины, занимающей область \(R\) в плоскости \(Oxy\) с плотностью, распределенной
по закону \(\rho \left( {x,y} \right),\) описываются формулами
\[
{\bar x = \frac{{{M_y}}}{m} }
= {\frac{1}{m}\iint\limits_R {x\rho \left( {x,y} \right)dA} }
= {\frac{{\iint\limits_R {x\rho \left( {x,y} \right)dA} }}{{\iint\limits_R {\rho \left( {x,y} \right)dA} }},}
\]
\[
{\bar y = \frac{{{M_x}}}{m} }
= {\frac{1}{m}\iint\limits_R {y\rho \left( {x,y} \right)dA} }
= {\frac{{\iint\limits_R {y\rho \left( {x,y} \right)dA} }}{{\iint\limits_R {\rho \left( {x,y} \right)dA} }}.}
\]
Для однородной пластины с плотностью \(\rho \left( {x,y} \right) = 1\) для всех \(\left( {x,y} \right)\) в области \(R\)
центр масс определяется только формой области и называется
центроидом.
Моменты инерции пластины
Момент инерции пластины относительно оси \(Ox\)
выражается формулой
\[{I_x} = \iint\limits_R {{y^2}\rho \left( {x,y} \right)dA} .\]
Аналогично вычисляется
момент инерции пластины относительно оси \(Oy\):
\[{I_y} = \iint\limits_R {{x^2}\rho \left( {x,y} \right)dA} .\]
Полярный момент инерции пластины равен
\[{I_0} = \iint\limits_R {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\rho \left( {x,y} \right)dA} .\]
Заряд пластины
Предположим, что электрический заряд распределен по области \(R\) в плоскости \(Oxy\) и его плотность распределения задана функцией
\({\sigma \left( {x,y} \right)}.\) Тогда полный
заряд пластины \(Q\) определяется выражением
\[Q = \iint\limits_R {\sigma \left( {x,y} \right)dA} .\]
Среднее значение функции
Приведем также формулу дял расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть \({f \left( {x,y} \right)}\)
является непрерывной функцией в замкнутой области \(R\) в плоскости \(Oxy.\) Среднее значение \(\mu\) функции \({f \left( {x,y} \right)}\)
в области \(R\) определяется формулой
\[\mu = \frac{1}{S}\iint\limits_R {f\left( {x,y} \right)dA} ,\]
где \(S = \iint\limits_R {dA} \) − площадь области интегрирования \(R.\)