Уравнением называется равенство вида
\(f\left( {x,y,z, \ldots } \right) = g\left( {x,y,z, \ldots } \right)\),
где \(f\) и \(g\) являются функциями одного или нескольких аргументов (независимых переменных).

Решениями (корнями) уравнения называются такие значения аргументов, при которых уравнение становится равенством.

Уравнения называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений.

Если любое слагаемое в уравнении перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится равносильное уравнение.
\(f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right)\; \Leftrightarrow \;f\left( x \right) = g\left( x \right) - h\left( x \right)\)

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, то получится уравнение, равносильное данному.
\(f\left( x \right) = g\left( x \right)\; \Leftrightarrow \;f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right) + h\left( x \right)\)
Примечание: равносильность уравнений нарушается, если функция \(h\left( x \right)\) не определена при значениях \(x\), являющихся решениями уравнения.

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же выражение, то получится уравнение, равносильное данному.
\(f\left( x \right) = g\left( x \right)\; \Leftrightarrow \;f\left( x \right) - h\left( x \right) = g\left( x \right) - h\left( x \right)\)
Примечание: равносильность уравнений нарушается, если функция \(h\left( x \right)\) не определена при значениях \(x\), являющихся решениями уравнения.

Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, не равное нулю, то получится равносильное уравнение.
\(f\left( x \right) = g\left( x \right)\; \Leftrightarrow \;f\left( x \right) \cdot c = g\left( x \right) \cdot c\;\;\left( {c \ne 0} \right)\)

Если обе части уравнения разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится равносильное уравнение.
\(f\left( x \right) = g\left( x \right)\; \Leftrightarrow \;f\left( x \right)/c = g\left( x \right)/c\;\;\left( {c \ne 0} \right)\)

Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее аргумент, может привести к появлению посторонних корней или к потере корней, т.е. к нарушению равносильности уравнений.

Возведение обеих частей уравнения в квадрат или четную степень может привести к появлению посторонних корней.

Произведение равно нулю, если любой из сомножителей равен нулю.
\(f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) = 0\; \Leftrightarrow \;f\left( x \right) = 0 \cap g\left( x \right) = 0\)

Линейное уравнение с одной переменной
\(ax + b = 0\)

Решение линейного уравнения с одной переменной
\(ax + b = 0,\;\; \Rightarrow \;x = - \large\frac{b}{a}\normalsize\;\;\left( {a \ne 0} \right)\)

Линейное уравнение с двумя переменными
\(ax + by + c = 0\)

Квадратное уравнение
\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Дискриминант квадратного уравнения
\(D = {b^2} - 4ac\)

Корни квадратного уравнения
\(a{x^2} + bx + c = 0,\;\;\;{x_{1,2}} = \large\frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}}\normalsize = \large\frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\normalsize\)

Приведенное квадратное уравнение и его решения
\({x^2} + px + q = 0,\;\;\;{x_{1,2}} = - \large\frac{p}{2}\normalsize \pm \sqrt {{{\left( {\large\frac{p}{2}}\normalsize \right)}^2} - q} \)

Формулы Виета
\({x^2} + px + q = 0,\; \Leftrightarrow \;{x_1} + {x_2} = - p,\;\;{x_1}{x_2} = q\)

Неполное квадратное уравнение \(\left( {c = 0} \right)\)
\(a{x^2} + bx = 0,\;\;{x_1} = 0,\;\;{x_2} = - b/c\)

Неполное квадратное уравнение \(\left( {b = 0} \right)\)
\(a{x^2} + c = 0,\;\;{x_{1,2}} = \pm \sqrt { - \large\frac{c}{a}}\normalsize \)

Неполное квадратное уравнение \(\left( {b = c = 0} \right)\)
\(a{x^2} = 0,\;\;{x_1} = {x_2} = 0\)

Кубическое уравнение в канонической форме
\(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\)

Приведенная форма кубического уравнения
\({y^3} + py + q = 0\)
Преобразование кубического уравнения из канонической формы в приведенную обеспечивается подстановкой \(x = y - b/\left( {3a} \right)\).

Формула Кардано
\({y^3} + py + q = 0\),

\({y_1} = u + v,\;\;{y_{2,3}} = - \large\frac{1}{2}\normalsize\left( {u + v} \right) \pm \large\frac{{\sqrt 3 }}{2}\normalsize\left( {u - v} \right)i,\text{ где }\)

\({i^2} = - 1,\;\;u = \sqrt[\large 3\normalsize]{{ - \large\frac{q}{2}\normalsize + \sqrt {{{\left( {\large\frac{q}{2}}\normalsize \right)}^2} + {{\left( {\large\frac{p}{3}}\normalsize \right)}^2}} }},\;\;v = \sqrt[\large 3\normalsize]{{ - \large\frac{q}{2}\normalsize - \sqrt {{{\left( {\large\frac{q}{2}}\normalsize \right)}^2} + {{\left( {\large\frac{p}{3}}\normalsize \right)}^2}} }}\).