Уравнение Риккати

Уравнение Риккати является одним из наиболее интересных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в форме: \[y' = a\left( x \right)y + b\left( x \right){y^2} + c\left( x \right),\] где \(a\left( x \right),\) \(b\left( x \right),\) \(c\left( x \right)\) − непрерывные функции, зависящие от переменной \(x.\)

Уравнение Риккати встречается в различных областях математики (например, в алгебраической геометрии и в теории конформных отображений) и физики. Оно также нередко возникает в прикладных математических задачах.

Приведенное выше уравнение называется общим уравнением Риккати. Его решение основано на следующей теореме:

Теорема: Если известно частное решение \({y_1}\) уравнения Риккати, то его общее решение определяется формулой \[y = {y_1} + u.\] Действительно, подставляя решение \(y = {y_1} + u\) в уравнение Риккати, имеем: \[ {{\left( {{y_1} + u} \right)^\prime } } = {a\left( x \right)\left( {{y_1} + u} \right) + b\left( x \right){\left( {{y_1} + u} \right)^2} + c\left( x \right),} \] \[ {\underline {{y_1}^\prime } + u' } = {\underline {a\left( x \right){y_1}} + a\left( x \right)u + \underline {b\left( x \right)y_1^2} + 2b\left( x \right){y_1}u + b\left( x \right){u^2} + \underline {c\left( x \right)} .} \] Подчеркнутые члены в левой и правой части можно сократить, поскольку \({y_1}\) − частное решение, удовлетворяющее уравнению. В результате мы получаем дифференциальное уравнение для функции \(u\left( x \right):\) \[u' = b\left( x \right){u^2} + \left[ {2b\left( x \right){y_1} + a\left( x \right)} \right]u,\] которое является уравнением Бернулли. Подстановка \(z = \large\frac{1}{u}\normalsize\) преобразует данное уравнение Бернулли в линейное дифференциальное уравнение, допускающее интегрирование.

Помимо общего уравнения Риккати, существует множество частных случаев уравнения Риккати с коэффициентами \(a\left( x \right),\) \(b\left( x \right),\) \(c\left( x \right)\) определенного вида. Многие из этих частных случаев имеют интегрируемые решения.

Возвращаясь вновь к общему уравнению Риккати, мы видим, что общее решение можно сконструировать, если известно какое-либо частное решение. К сожалению, не существует строгого алгоритма для нахождения частного решения, которое существенно зависит от вида функций \(a\left( x \right),\) \(b\left( x \right)\) и \(c\left( x \right).\)

Ниже мы рассмотрим некоторые хорошо известные частные случаи уравнения Риккати. Если коэффициенты в уравнении Риккати постоянны, то такое уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными. В этом случае общее решение описывается интегралом от рациональной функции с квадратичным трехчленом в знаменателе: \[ {y' = ay + b{y^2} + c,}\;\; {\Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = ay + b{y^2} + c,}\;\; {\Rightarrow \int {\frac{{dy}}{{ay + b{y^2} + c}}} = \int {dx} .} \] Этот интеграл легко вычисляется при любых значениях \(a,\) \(b\) и \(c\) (Смотрите более подробно об этом на странице "Интегрирование рациональных функций"). Рассмотрим уравнение Риккати вида \(y' = b{y^2} + c{x^n},\) когда функция \(a\left( x \right)\) при линейном члене равна нулю, коэффициент \(b\) при \({y^2}\) является константой, а \(c\left( x \right)\) является степенной функцией: \[a\left( x \right) \equiv 0,\;\;b\left( x \right) = b,\;\;c\left( x \right) = c{x^n}.\] Этот случай уравнения Риккати имеет замечательные решения!

Прежде всего, заметим, что если \(n = 0,\) то мы снова приходим к случаю \(1\), в котором переменные разделяются и уравнение можно проинтегрировать.

Если \(n = -2,\) то уравнение Риккати преобразутся в однородное уравнение с помощью подстановки \(y = \large\frac{1}{z}\normalsize\) и далее также допускает интегрирование.

Данное дифференциальное уравнение можно также решить при \[n = \frac{{4k}}{{1 - 2k}},\;\;\text{где}\;\;k = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \] Здесь общее решение выражается через цилиндрические функции.

При всех других значениях степени \(n\) решение уравнения Риккати можно выразить через интегралы от элементарных функций. Этот факт был установлен французским математиком Джозефом Лиувиллем \(\left( {1809 - 1882} \right)\) в \(1841\) году.

Многие другие частные случаи уравнения Риккати представлены на сайте EqWorld.

   Пример 1

Решить дифференциальное уравнение \(y' = y + {y^2} + 1.\) Данное уравнение является простейшим уравнением Риккати с постоянными коэффициентами. Переменные \(x, y\) здесь легко разделяются, так что общее решение уравнения определяется в следующем виде: \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = y + {y^2} + 1,}\;\; {\Rightarrow \frac{{dy}}{{y + {y^2} + 1}} = dx,}\;\; {\Rightarrow \int {\frac{{dy}}{{y + {y^2} + 1}}} = \int {dx} ,}\;\; {\Rightarrow \int {\frac{{dy}}{{{y^2} + y + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}}}} = \int {dx} ,}\;\; {\Rightarrow \int {\frac{{dy}}{{{{\left( {y + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}} = \int {dx} ,}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}\arctan \frac{{y + \frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = x + C,}\;\; {\Rightarrow \frac{2}{{\sqrt 3 }}\arctan \frac{{2y + 1}}{{\sqrt 3 }} = x + C.} \]

   Пример 2

Решить уравнение Риккати \(y' + {y^2} = \large\frac{2}{{{x^2}}}\normalsize.\) Будем искать частное решение в форме: \[y = \frac{c}{x},\;\; \Rightarrow y' = - \frac{c}{{{x^2}}}.\] Подставляя это в уравнение, находим: \[ {- \frac{c}{{{x^2}}} + {\left( {\frac{c}{x}} \right)^2} = \frac{2}{{{x^2}}}}\;\;\; {\text{или}\;\; - \frac{c}{{{x^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{x^2}}} = \frac{2}{{{x^2}}}.} \] Получаем квадратное уравнение для \(c:\) \[ {{c^2} - c - 2 = 0,}\;\; {\Rightarrow D = 1 - 4 \cdot \left( { - 2} \right) = 9,}\;\; {\Rightarrow {c_{1,2}} = \frac{{1 \pm 3}}{2} = - 1,2.} \] Мы можем выбрать любое значение \(c.\) Например, пусть \(c = 2.\) Теперь, когда частное решение известно, сделаем замену: \[y = z + \frac{2}{x},\;\; \Rightarrow y' = z' - \frac{2}{{{x^2}}}.\] Снова подставим это в исходное уравнение Риккати: \[\require{cancel} {z' - \frac{2}{{{x^2}}} + {\left( {z + \frac{2}{x}} \right)^2} = \frac{2}{{{x^2}}},}\;\; {\Rightarrow z' - \cancel{\frac{2}{{{x^2}}}} + {z^2} + \frac{4}{x}z + \cancel{\frac{4}{{{x^2}}}} = \cancel{\frac{2}{{{x^2}}}},}\;\; {\Rightarrow z' + \frac{4}{x}z = - {z^2}.} \] Как видно, мы получили уравнение Бернулли с параметром \(m = 2.\) Сделаем еще одну замену: \[v = {z^{1 - m}} = \frac{1}{z},\;\; \Rightarrow v' = - \frac{{z'}}{{{z^2}}}.\] Разделим уравнение Бернулли на \({z^2}\) (полагая, что \(z \ne 0\)) и запишем его через переменную \(v:\) \[ {\frac{{z'}}{{{z^2}}} + \frac{{4z}}{{x{z^2}}} = - 1,}\;\; {\Rightarrow - \frac{{z'}}{{{z^2}}} - \frac{4}{{xz}} = 1,}\;\; {\Rightarrow v' - \frac{4}{x}v = 1.} \] Последнее уравнение является линейным и легко решается с помощью интегрирующего множителя: \[ {u = {e^{\int {\left( { - \frac{4}{x}} \right)dx} }} } = {{e^{ - 4\int {\frac{{dx}}{x}} }} } = {{e^{ - 4\ln \left| x \right|}} } = {{e^{\ln \frac{1}{{{{\left| x \right|}^4}}}}} } = {\frac{1}{{{{\left| x \right|}^4}}} } = {\frac{1}{{{x^4}}}.} \] Общее решение линейного уравнения определяется функцией \[ {v = \frac{{\int {u\left( x \right)f\left( x \right)dx} + C}}{{u\left( x \right)}} } = {\frac{{\int {\frac{1}{{{x^4}}} \cdot 1dx} + C}}{{\frac{1}{{{x^4}}}}} } = {\frac{{\int {{x^{ - 4}}dx} + C}}{{\frac{1}{{{x^4}}}}} } = {\left( { - \frac{1}{3}{x^{ - 3}} + C} \right){x^4} } = { - \frac{x}{3} + C{x^4}.} \] Теперь мы будем последовательно возвращаться к предыдущим переменным. Так как \(z = \large\frac{1}{v}\normalsize,\) то общее решение для \(z\) записывается следующим образом: \[ {\frac{1}{z} = - \frac{x}{3} + C{x^4},}\;\; {\Rightarrow z = \frac{1}{{ - \frac{x}{3} + C{x^4}}} = - \frac{3}{{x + 3C{x^4}}} } = { - \frac{3}{{x\left( {1 + 3C{x^3}} \right)}}.} \] Следовательно, \[ {y = z + \frac{2}{x} = - \frac{3}{{x\left( {1 + 3C{x^3}} \right)}} + \frac{2}{x} } = {\frac{{ - 3 + 2\left( {1 + 3C{x^3}} \right)}}{{x\left( {1 + 3C{x^3}} \right)}} } = {\frac{{ - 3 + 2 + 6C{x^3}}}{{x\left( {1 + 3C{x^3}} \right)}} } = {\frac{{6C{x^3} - 1}}{{x\left( {1 + 3C{x^3}} \right)}}.} \] Можно переименовать константу: \(3C = {C_1}\) и записать ответ в виде \[y = \frac{{2{C_1}{x^3} - 1}}{{x\left( {1 + {C_1}{x^3}} \right)}},\] где \({C_1}\) − произвольное действительное число.

   Пример 3

Найти общее решение дифференциального уравнения \({x^3}y' + {x^2}y - {y^2} = 2{x^4}.\) Приведем уравнение к стандартному виду, разделив обе части на \({x^3}:\) \[ {{x^3}y' + {x^2}y - {y^2} = 2{x^4},}\;\; {\Rightarrow y' + \frac{y}{x} - \frac{{{y^2}}}{{{x^3}}} = 2x.} \] Видно, что мы имеем дело с уравнением Риккати. Попробуем найти частное решение в форме \({y_1} = c{x^2}.\) Подставляя это в дифференциальное уравнение, можно определить коэффициент \(c:\) \[ {{\left( {c{x^2}} \right)^\prime } + \frac{{c{x^2}}}{x} - \frac{{{{\left( {c{x^2}} \right)}^2}}}{{{x^3}}} = 2x,}\;\; {\Rightarrow 2cx + cx - {c^2}x = 2x,}\;\; {\Rightarrow 3c - {c^2} = 2,}\;\; {\Rightarrow {c^2} - 3c + 2 = 0.} \] Решая квадратное уравнение, находим значение \(c:\) \[ {D = 9 - 4 \cdot 2 = 1,}\;\; {\Rightarrow {c_{1,2}} = \frac{{3 \pm \sqrt 1 }}{2} = 1,2.} \] Итак, мы получили даже два частных решения. Поскольку достаточно знать только одно, то выберем, например, \({y_1} = {x^2}.\)

В результате можно записать общее решение уравнения Риккати в форме: \[y = {y_1} + u = {x^2} + u.\] Для новой функции \(u\left( x \right)\) получаем следующее дифференциальное уравнение: \[ {{\left( {{x^2} + u} \right)^\prime } + \frac{{{x^2} + u}}{x} - \frac{{{{\left( {{x^2} + u} \right)}^2}}}{{{x^3}}} = 2x,}\;\; {\Rightarrow \cancel{2x} + u' + x + \frac{u}{x} - \frac{{{x^4} + 2u{x^2} + {u^2}}}{{{x^3}}} - \cancel{2x} = 0,}\;\; {\Rightarrow u' + \cancel{x} + \frac{u}{x} - \cancel{x} - \frac{{2u}}{x} - \frac{{{u^2}}}{{{x^3}}} = 0,}\;\; {\Rightarrow u' - \frac{u}{x} = \frac{{{u^2}}}{{{x^3}}},} \] которое представляет собой уравнение Бернулли. Подстановка \(z = {u^{ - 1}} = {\large\frac{1}{u}\normalsize}\) преобразует его в линейное дифференциальное уравнение: \[ {z' = {\left( {\frac{1}{u}} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{{u^2}}},}\;\; {\Rightarrow u' - \frac{u}{x} = \frac{{{u^2}}}{{{x^3}}},\;\; \Rightarrow \frac{{u'}}{{{u^2}}} - \frac{1}{{xu}} = \frac{1}{{{x^3}}},}\;\; {\Rightarrow - \frac{{u'}}{{{u^2}}} + \frac{1}{{xu}} = - \frac{1}{{{x^3}}},}\;\; {\Rightarrow z' + \frac{z}{x} = - \frac{1}{{{x^3}}}.} \] Чтобы решить это линейное уравнение, вычислим интегрирующий множитель: \[ {v\left( x \right) = {e^{\int {\frac{1}{x}dx} }} } = {{e^{\ln \left| x \right|}} = \left| x \right|.} \] Можно взять функцию \(v\left( x \right) = x\) в качестве интегрирующего множителя. В самом деле, можно убедиться, что после умножения на \(v\left( x \right) = x\) левая часть уравнения становится производной произведения \(z\left( x \right)v\left( x \right).\)

Общее решение линейного дифференциального уравнения имеет вид: \[ {z = \frac{{\int {v\left( x \right)f\left( x \right)dx} + C}}{{v\left( x \right)}} } = {\frac{{\int {x \cdot \left( { - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)dx} + C}}{x} } = {\frac{{ - \int {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} + C}}{x} } = {\frac{{\frac{1}{x} + C}}{x} } = {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{C}{x} } = {\frac{{Cx + 1}}{{{x^2}}}.} \] Поскольку \(z = \large\frac{1}{u}\normalsize,\) то функция \(u\left( x \right)\) определяется формулой \[u\left( x \right) = \frac{1}{z} = \frac{{{x^2}}}{{Cx + 1}}.\] Следовательно, общее решение исходного уравнения Риккати выражается функцией \[ {y = {y_1} + u = {x^2} + \frac{{{x^2}}}{{Cx + 1}} } = {\frac{{{x^2}\left( {Cx + 1} \right) + {x^2}}}{{Cx + 1}} } = {\frac{{C{x^3} + 2{x^2}}}{{Cx + 1}},} \] где \(C\) − произвольная постоянная.

   Пример 4

Решить уравнение \(y' + 6{y^2} = {\large\frac{1}{{{x^2}}}\normalsize}.\) Видно, что данное уравнение является частным случаем уравнения Риккати вида \(y' = b{y^2} + c{x^n}\) со степенью \(n = -2.\)

Сделав подстановку \(y = {\large\frac{1}{z}\normalsize},\) можно преобразовать это уравнение в однородное и затем проинтегрировать.
Пусть \(z = {\large\frac{1}{y}\normalsize},\;z' = - {\large\frac{{y'}}{{{y^2}}}\normalsize}.\) Тогда \[ {y' + 6{y^2} = \frac{1}{{{x^2}}},}\;\; {\Rightarrow y' = - 6{y^2} + \frac{1}{{{x^2}}},}\;\; {\Rightarrow - \frac{{y'}}{{{y^2}}} = 6 - \frac{1}{{{y^2}{x^2}}},}\;\; {\Rightarrow z' = 6 - \frac{{{z^2}}}{{{x^2}}},}\;\; {\Rightarrow z' = 6 - {\left( {\frac{z}{x}} \right)^2}.} \] Для решения однородного уравнения сделаем еще одну замену: \(z = tx,\;z' = t'x + t.\) Следовательно, \[ {t'x + t = 6 - {t^2},}\;\; {\Rightarrow x\frac{{dt}}{{dx}} = 6 - t - {t^2},}\;\; {\Rightarrow \frac{{dt}}{{{t^2} + t - 6}} = - \frac{{dx}}{x},}\;\; {\Rightarrow \int {\frac{{dt}}{{{t^2} + t - 6}}} = - \int {\frac{{dx}}{x}} .} \] Трехчлен в знаменателе дроби в левой части можно разложить следующим образом: \[{t^2} + t - 6 = \left( {t + 3} \right)\left( {t - 2} \right),\] и затем рациональную дробь в подынтегральном выражении с помощью метода неопределенных коэффициентов можно разложить на сумму простых дробей: \[ {\frac{1}{{{t^2} + t - 6}} = \frac{1}{{\left( {t + 3} \right)\left( {t - 2} \right)}} = \frac{A}{{t + 3}} + \frac{B}{{t - 2}},}\;\; {\Rightarrow A\left( {t - 2} \right) + B\left( {t + 3} \right) = 1,}\;\; {\Rightarrow At - 2A + Bt + 3B = 1,}\;\; {\Rightarrow \left( {A + B} \right)t + 3B - 2A = 1,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A + B = 0}\\ {3B - 2A = 1} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A = - B}\\ {5B = 1} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {A = - \frac{1}{5}}\\ {B = \frac{1}{5}} \end{array}} \right..} \] В результате мы получаем: \[ {\int {\frac{{dt}}{{\left( {t + 3} \right)\left( {t - 2} \right)}}} = - \int {\frac{{dx}}{x}} ,}\;\; {\Rightarrow - \frac{1}{5}\int {\frac{{dt}}{{t + 3}}} + \frac{1}{5}\int {\frac{{dt}}{{t - 2}}} = - \int {\frac{{dx}}{x}} ,}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{5}\ln \left| {t + 3} \right| - \frac{1}{5}\ln \left| {t - 2} \right| = \ln \left| x \right| + \ln {C_1}\;\left( {{C_1} > 0} \right),}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{5}\ln \left| {\frac{{t + 3}}{{t - 2}}} \right| = \ln \left( {{C_1}\left| x \right|} \right),}\;\; {\Rightarrow \ln \left| {\frac{{t + 3}}{{t - 2}}} \right| = \ln \left( {C_1^5{{\left| x \right|}^5}} \right),}\;\; {\Rightarrow \left| {\frac{{t + 3}}{{t - 2}}} \right| = C_1^5{\left| x \right|^5},}\;\; {\Rightarrow \frac{{t + 3}}{{t - 2}} = \pm C_1^5{x^5}.} \] Переобозначим константу: \(C = \pm C_1^5,\) так что решение для функции \(t\left( x \right)\) будет иметь вид: \[\frac{{t + 3}}{{t - 2}} = C{x^5}.\] Вспомним, что \(t = \large\frac{z}{x}\normalsize.\) Поэтому \[ {\frac{{\frac{z}{x} + 3}}{{\frac{z}{x} - 2}} = C{x^5},}\;\; {\Rightarrow \frac{{z + 3x}}{{z - 2x}} = C{x^5}.} \] Возвращаясь к переменной \(y,\) которая связана с \(z\) соотношением \(z = \large\frac{1}{y}\normalsize,\) находим: \[ {\frac{{\frac{1}{y} + 3x}}{{\frac{1}{y} - 2x}} = C{x^5},}\;\; {\Rightarrow \frac{{1 + 3xy}}{{1 - 2xy}} = C{x^5}.} \] Последнее выражение представляет собой общее решение заданного уравнения Риккати в неявной форме. Здесь постоянная \(C\) является любым действительным числом. Действительно, подставляя \(C = 0,\) мы видим, что это значение также удовлетворяет дифференциальному уравнению: \[ {C = 0,\;\; \Rightarrow 1 + 3xy = 0,}\;\; {\Rightarrow y = - \frac{1}{{3x}},}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{1}{{3{x^2}}}.} \] Следовательно, \[ {\frac{1}{{3{x^2}}} + 6{\left( { - \frac{1}{{3x}}} \right)^2} = \frac{1}{{{x^2}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{{3{x^2}}} + 6 \cdot \frac{1}{{9{x^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{{3{x^2}}} + \frac{2}{{3{x^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}},}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{{{x^2}}} \equiv \frac{1}{{{x^2}}}.} \]