Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в виде \[y' + a\left( x \right)y = b\left( x \right){y^m},\] где \(a\left( x \right)\) и \(b\left( x \right)\) − непрерывные функции.

Если \(m = 0,\) то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когда \(m = 1,\) уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.

В общем случае, когда \(m \ne 0,1,\) уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки \[z = {y^{1 - m}}.\] Новое дифференциальное уравнение для функции \(z\left( x \right)\) имеет вид \[z' + \left( {1 - m} \right)a\left( x \right)z = \left( {1 - m} \right)b\left( x \right)\] и может быть решено способами, описанными на странице Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

   Пример 1

Найти общее решение уравнения \(y' - y = {y^2}{e^x}.\) Для заданного уравнения Бернулли \(m = 2,\) поэтому сделаем подстановку \[z = {y^{1 - m}} = \frac{1}{y}.\] Дифференцируя обе части уравнения (переменная \(y\) при этом рассматривается как сложная функция \(x\)), можно записать: \[z' = {\left( {\frac{1}{y}} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{y^2}}}y'.\] Разделим обе части исходного дифференциального уравнения на \({y^2}:\) \[ {y' - y = {y^2}{e^x},}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{{y^2}} - \frac{1}{y} = {e^x}.} \] Подставляя \(z\) и \(z',\) находим: \[ - z - z = {e^x},\;\; \Rightarrow z' + z = - {e^x}.\] Мы получили линейное уравнение для функции \(z\left( x \right).\) Решим его с помощью интегрирующего множителя: \[u\left( x \right) = {e^{\int {1dx} }} = {e^x}.\] Общее решение линейного уравнения выражается формулой \[ {z\left( x \right) = \frac{{\int {u\left( x \right)f\left( x \right)dx} + C}}{{u\left( x \right)}} } = {\frac{{\int {{e^x}\left( { - {e^x}} \right)dx} + C}}{{{e^x}}} } = {\frac{{ - x + C}}{{{e^x}}} } = {\left( {C - x} \right){e^{ - x}}.} \] Возвращаясь к функции \(y\left( x \right),\) получаем ответ в неявной форме: \[y = \frac{1}{z} = \frac{1}{{\left( {C - x} \right){e^{ - x}}}},\] который можно записать также в виде: \[y\left( {C - x} \right) = {e^x}.\] Заметим, что при делении уравнения на \({y^2}\) мы потеряли решение \(y = 0.\) В результате, полный ответ записывается в виде: \[y\left( {C - x} \right) = {e^x},\;\;y = 0.\]

   Пример 2

Решить дифференциальное уравнение \(y' + {\large\frac{y}{x}\normalsize} = {y^2}.\) Нетрудно заметить, что данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Чтобы решить его, выполним подстановку \[z = {y^{1 - m}} = \frac{1}{y}.\] После дифференцирования получаем: \[z' = {\left( {\frac{1}{y}} \right)^\prime } = - \frac{{y'}}{{{y^2}}}.\] Разделим исходное уравнение на \({y^2}\) и заменим \(y\) на \(z:\) \[\frac{{y'}}{{{y^2}}} + \frac{1}{{yx}} = 1.\] При делении на \({y^2}\) мы потеряли решение \(y = 0.\) (Это можно проверить прямой подстановкой.)

Дифференциальное уравнение для новой переменной \(z\) имеет вид: \[ - z' + \frac{z}{x} = 1\;\;\text{или}\;\;z' - \frac{z}{x} = - 1.\] Мы получили линейное уравнение для функции \(z\left( x \right),\) которое можно решить, например, с помощью интегрирующего множителя: \[ {u\left( x \right) = {e^{\int {\left( { - \frac{1}{x}} \right)dx} }} } = {{e^{ - \int {\frac{{dx}}{x}} }} } = {{e^{ - \ln \left| x \right|}} } = {{e^{\ln \frac{1}{{\left| x \right|}}}} } = {\frac{1}{{\left| x \right|}}.} \] Легко проверить, что таким интегрирующим множителем будет являться функция \(\large\frac{1}{x}\normalsize.\) В самом деле: \[ {z' \cdot \frac{1}{x} - \frac{z}{x} \cdot \frac{1}{x} } = {z' \cdot \frac{1}{x} - \frac{z}{{{x^2}}} } = {{\left( {z \cdot \frac{1}{x}} \right)^\prime }.} \] Видно, что левая часть уравнения после умножения на \(\large\frac{1}{x}\normalsize\) будет являться производной от произведения \(z\left( x \right)u\left( x \right).\)

Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения для функции \(z\left( x \right)\) определяется формулой \[ {z = \frac{{\int {u\left( x \right)f\left( x \right)dx} + C}}{{u\left( x \right)}} } = {\frac{{\int {\frac{1}{x} \cdot \left( { - 1} \right)dx} + C}}{{\frac{1}{x}}} } = {\frac{{ - \ln \left| x \right| + C}}{{\frac{1}{x}}} } = {x\left( {C - \ln \left| x \right|} \right).} \] Принимая во внимание, что \(y = {\large\frac{1}{z}\normalsize},\) записываем ответ в форме: \[y = \frac{1}{{x\left( {C - \ln \left| x \right|} \right)}},\] или в неявном виде: \[yx\left( {C - \ln \left| x \right|} \right) = 1.\] Следовательно, окончательный ответ имеет вид: \[yx\left( {C - \ln \left| x \right|} \right) = 1,\;\;y = 0.\]

   Пример 3

Найти все решения дифференциального уравнения \(y' + y\cot x = {y^4}\sin x.\) В этом примере мы имеем дело с уравнением Бернулли с параметром \(m = 4.\) Поэтому, сделаем подстановку \(z = {y^{1 - m}} = {y^{ - 3}}.\) Производная будет равна \[z' = {\left( {{y^{ - 3}}} \right)^\prime } = - 3{y^{ - 4}}y' = - \frac{{3y'}}{{{y^4}}}.\] Умножим обе части исходного уравнения на \(\left( { - 3} \right)\) и разделим на \({{y^4}}:\) \[ {y' + y\cot x = {y^4}\sin x,}\;\; {\Rightarrow - \frac{{3y'}}{{{y^4}}} - \frac{{3\cot x}}{{{y^3}}} = - 3\sin x.} \] Заметим, что при делении на \({{y^4}}\) мы потеряли решение \(y = 0.\) Записывая последнее уравнение через переменную \(z,\) получаем \[z' - 3\cot x \cdot z = - 3\sin x.\] Данное дифференциальное уравнение является линейным. Его можно решить, например, используя интегрирующий множитель: \[ {u\left( x \right) = {e^{\int {\left( { - 3} \right)\cot xdx} }} } = {{e^{ - 3\int {\cot xdx} }} } = {{e^{ - 3\int {\frac{{\cos xdx}}{{\sin x}}} }} } = {{e^{ - 3\int {\frac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{\sin x}}} }} } = {{e^{ - 3\ln \left| {\sin x} \right|}} } = {{e^{\ln \frac{1}{{{{\left| {\sin x} \right|}^3}}}}} } = {\frac{1}{{{{\left| {\sin x} \right|}^3}}}.} \] В качестве интегрирующего множителя возьмем функцию \(u\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^3}x}}.\) После умножения на \(u\left( x \right)\) левая часть уравнения будет представлять собой производную произведения \(z\left( x \right)u\left( x \right):\) \[ {z' \cdot \frac{1}{{{{\sin }^3}x}} - 3\cot x \cdot z \cdot \frac{1}{{{{\sin }^3}z}} } = {z'\frac{1}{{{{\sin }^3}z}} - \frac{{3z\cos x}}{{{{\sin }^4}x}} } = {{\left( {z\frac{1}{{{{\sin }^3}x}}} \right)^\prime }.} \] Следовательно, общее решение линейного дифференциального уравнения для функции \(z\left( x \right)\) представляется в виде: \[ {z = \frac{{\int {u\left( x \right)f\left( x \right)dx} + C}}{{u\left( x \right)}} } = {\frac{{\int {\frac{1}{{{{\sin }^3}x}}\left( { - 3\sin x} \right)dx} + C}}{{\frac{1}{{{{\sin }^3}x}}}} } = {\frac{{ - 3\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} + C}}{{\frac{1}{{{{\sin }^3}x}}}} } = {\left( {3\cot x + C} \right){\sin ^3}x.} \] Поскольку \(z = {y^{ - 3}},\) то мы получаем следующие решения исходного уравнения Бернулли: \[\frac{1}{{{y^3}}} = \left( {3\cot x + C} \right){\sin ^3}x,\;\;y = 0.\]

   Пример 4

Найти все решения дифференциального уравнения \(y' + {\large\frac{{2y}}{x}\normalsize} = 2x\sqrt y .\) Данное уравнение является уравнением Бернулли с дробным параметром \(m = \large\frac{1}{2}\normalsize.\) Его можно свести к линейному дифференциальному уравнению с помощью замены \(z = {y^{1 - m}} = \sqrt y .\) Производная новой функции \(z\left( x \right)\) будет равна \[z' = {\left( {\sqrt y } \right)^\prime } = \frac{{y'}}{{2\sqrt y }}.\] Разделим исходное уравнение Бернулли на \({2\sqrt y }.\) Аналогично другим примерам на этой веб-странице, корень \(y = 0\) также является тривиальным решением дифференциального уравнения. Поэтому можно записать: \[\require{cancel} {y' + \frac{{2y}}{x} = 2x\sqrt y ,}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{{2\sqrt y }} + \frac{{\cancel{2}y}}{{\cancel{2}x\sqrt y }} = \frac{{\cancel{2}x\sqrt y }}{{\cancel{2}\sqrt y }},}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{{2\sqrt y }} + \frac{{\sqrt y }}{x} = x.} \] Заменяя \(y\) на \(z,\) находим: \[z' + \frac{z}{x} = x.\] Итак, мы имеем линейное уравнение для функции \(z\left( x \right).\) Интегрирующий множитель здесь будет равен \[u\left( x \right) = {e^{\int {\frac{1}{x}dx} }} = {e^{\ln \left| x \right|}} = \left| x \right|.\] Выберем в качестве интегрирующего множителя функцию \(u\left( x \right) = x.\) Можно проверить, что после умножения на \(u\left( x \right)\) левая часть уравнения бедут представлять собой производную произведения \(z\left( x \right)u\left( x \right):\) \[z' \cdot x + \frac{z}{x} \cdot x = z'x + z = {\left( {zx} \right)^\prime }.\] Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения будет определяться выражением: \[ {z = \frac{{\int {u\left( x \right)f\left( x \right)dx} + C}}{{u\left( x \right)}} } = {\frac{{\int {x \cdot xdx} + C}}{x} } = {\frac{{\int {{x^2}dx} + C}}{x} } = {\frac{{\frac{{{x^3}}}{3} + C}}{x}.} \] Возвращаясь к исходной функции \(y\left( x \right),\) записываем решение в неявной форме: \[ {\sqrt y = \frac{{\frac{{{x^3}}}{3} + C}}{x}}\;\; {\text{или}\;\;x\sqrt y = \frac{{{x^3}}}{3} + C.} \] Итак, полный ответ имеет вид: \[x\sqrt y = \frac{{{x^3}}}{3} + C,\;\;y = 0.\]

   Пример 5

Найти решение дифференциального уравнения \(4xyy' = {y^2} + {x^2},\) удовлетворяющее начальному условию \(y\left( 1 \right) = 2.\) Сначала мы проверим, что заданное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли: \[ {4xyy' = {y^2} + {x^2},}\;\; {\Rightarrow \frac{{4xyy'}}{{4xy}} - \frac{{{y^2}}}{{4xy}} = \frac{{{x^2}}}{{4xy}},}\;\; {\Rightarrow y' - \frac{y}{{4x}} = \frac{x}{{4y}}.} \] Как видно, мы имеем уравнение Бернулли с параметром \(m = -1.\) Следовательно, можно сделать замену \(z = {y^{1 - m}} = {y^2}.\) Производная будет равна: \(z' = 2yy'.\) Далее, умножим обе части дифференциального уравнения на \(2y:\) \[ {2yy' - \frac{{2{y^2}}}{{4x}} = \frac{{2xy}}{{4y}},}\;\; {\Rightarrow 2yy' - \frac{{{y^2}}}{{2x}} = \frac{x}{2}.} \] Заменяя \(y\) на \(z,\) преобразуем уравнение Бернулли в линейное дифференциальное уравнение: \[z' - \frac{z}{{2x}} = \frac{x}{2}.\] Вычислим интегрирующий множитель: \[ {u\left( x \right) = {e^{\int {\left( { - \frac{1}{{2x}}} \right)dx} }} } = {{e^{ - \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{x}} }} } = {{e^{ - \frac{1}{2}\ln \left| x \right|}} } = {{e^{\ln \frac{1}{{{{\left| x \right|}^2}}}}} } = {\frac{1}{{{{\left| x \right|}^2}}} } = {\frac{1}{{{x^2}}}.} \] Найдем общее решение линейного уравнения: \[ {z = \frac{{\int {u\left( x \right)f\left( x \right)dx} + C}}{{u\left( x \right)}} } = {\frac{{\int {\frac{1}{{{x^2}}} \cdot \frac{x}{2}dx} + C}}{{\frac{1}{{{x^2}}}}} } = {\frac{{\frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{x}} + C}}{{\frac{1}{{{x^2}}}}} } = {{x^2}\left[ {\frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C} \right] } = {{x^2}\ln \sqrt x + C{x^2}.} \] Учитывая, что \(z = {y^2},\) решение можно записать в виде: \[ {y = \pm \sqrt {{x^2}\ln \sqrt x + C{x^2}} } = { \pm x\sqrt {\ln \sqrt x + C} .} \] Теперь определим константу \(C,\) соответствующую начальному условию \(y\left( 1 \right) = 2.\)
Видно, что только решение с положительным знаком удовлетворяет данному условию. Следовательно, \[ {y\left( 1 \right) = 1\sqrt {\ln \sqrt 1 + C} } = {\sqrt {\ln 1 + C} } = {\sqrt C = 2.} \] В результате получаем: \(C = 4.\)

Итак, решение задачи Коши выражается функцией \[y = x\sqrt {\ln \sqrt x + 4} .\]