Трехмерная прямоугольная система координат представляет собой совокупность точки, которая называется началом координат (обозначается точкой \(O\)), и базиса, образованного тремя взаимно перпендикулярными векторами. Эти векторы задают три координатных оси: \(Ox\) − ось абсцисс, \(Oy\) − ось ординат и \(Oz\) − ось аппликат. Координата любой точки в пространстве определяется тремя действительными числами: \(x\), \(y\), \(z\).

Расстояние между двумя точками \(A\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\) и \(B\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\) в пространстве находится по формуле
\(d = \left| {AB} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} \)

Деление отрезка в отношении \(\lambda\)
Предположим, что точка \(C\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(\lambda\). Координаты точки \(C\) определяются выражениями
\({x_0} = \large\frac{{{x_1} + \lambda {x_2}}}{{1 + \lambda }}\normalsize,\;\;{y_0} = \large\frac{{{y_1} + \lambda {y_2}}}{{1 + \lambda }}\normalsize,\;\;{z_0} = \large\frac{{{z_1} + \lambda {z_2}}}{{1 + \lambda }}\normalsize\),  где  \(\lambda = \large\frac{{AC}}{{CB}}\normalsize,\;\;\lambda \ne - 1,\)
где \({x_1}\), \({y_1}\), \({z_1}\) − координаты точки \(A\), \({x_2}\), \({y_2}\), \({z_2}\) − координаты точки \(B\).

Координаты середины отрезка определяются из предыдущих формул при \(\lambda = 1\) и равны
\({x_0} = \large\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\normalsize,\;\;{y_0} = \large\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}\normalsize,\;\;{z_0} = \large\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}\normalsize\),  где  \(\lambda = \large\frac{{AC}}{{CB}}\normalsize = 1.\)

Площадь треугольника
Площадь треугольника с вершинами \({P_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\), \({P_2}\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\), \({P_3}\left( {{x_3},{y_3},{z_3}} \right)\) находится по формуле
\(S = \large\frac{1}{2}\normalsize\sqrt {{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}} & {{z_1}} & 1\\ {{y_2}} & {{z_2}} & 1\\ {{y_3}} & {{z_3}} & 1 \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1}} & {{x_1}} & 1\\ {{z_2}} & {{x_2}} & 1\\ {{z_3}} & {{x_3}} & 1 \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} & {{y_1}} & 1\\ {{x_2}} & {{y_2}} & 1\\ {{x_3}} & {{y_3}} & 1 \end{array}} \right|}^2}} .\)

Объем пирамиды
Объем пирамиды, вершины которой имеют координаты \({P_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\), \({P_2}\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\), \({P_3}\left( {{x_3},{y_3},{z_3}} \right)\), \({P_4}\left( {{x_4},{y_4},{z_4}} \right)\) определяется выражением
\(V = \pm \large\frac{1}{6}\normalsize\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} & {{y_1}} & {{z_1}} & 1\\ {{x_2}} & {{y_2}} & {{z_2}} & 1\\ {{x_3}} & {{y_3}} & {{z_3}} & 1\\ {{x_4}} & {{y_4}} & {{z_4}} & 1 \end{array}} \right|\)  или  \(V = \pm \large\frac{1}{6}\normalsize\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} - {x_4}} & {{y_1} - {y_4}} & {{z_1} - {z_4}}\\ {{x_2} - {x_4}} & {{y_2} - {y_4}} & {{z_2} - {z_4}}\\ {{x_3} - {x_4}} & {{y_3} - {y_4}} & {{z_3} - {z_4}} \end{array}} \right|.\)

Знак в правой части данных формул выбирается таким, чтобы объем был положительным.