Некоторые определения
Говорят, что функция \(f\left( x \right),\) определенная в интервале \(\left[ {a,b} \right],\)
является
кусочно непрерывной, если она непрерывна всюду в данном интервале, за исключением конечного
числа точек разрыва (рисунок \(1\)).
Функция \(f\left( x \right),\) определенная в интервале \(\left[ {a,b} \right],\)
является
кусочно гладкой, если сама функция и ее производная кусочно непрерывны в заданном
интервале.
Частичные суммы ряда Фурье
Введем понятие
частичной суммы ряда Фурье \({f_N}\left( x \right)\)
функции \(f\left( x \right),\) заданной в интервале \(\left[ {-\pi, \pi} \right].\) Она определяется выражением
\[{f_N}\left( x \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^N {\left( {{a_n}\cos nx + {b_n}\sin nx} \right)} .\]
В комплексной форме частичная сумма \({f_N}\left( x \right)\) функции \(f\left( x \right),\) заданной в интервале \(\left[ {-\pi, \pi} \right],\)
выражается формулой
\[
{{f_N}\left( x \right) = \sum\limits_{n = - N}^N {{c_n}{e^{inx}}} }
= {\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left( {\frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{n = - N}^N {{e^{in\left( {x - y} \right)}}} } \right)f\left( y \right)dy} .}
\]
Ядро Дирихле
Функция
\[{D_N}\left( x \right) = \sum\limits_{n = - N}^N {{e^{inx}}} = \frac{{\sin \left( {N + \frac{1}{2}} \right)x}}{{\sin \frac{x}{2}}}\]
называется
ядром Дирихле. На рисунке \(2\) показан вид этой функции при
\(n = 10.\)
Частичная сумма ряда Фурье выражается через ядро Дирихле следующим образом:
\[
{{f_N}\left( x \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {{D_N}\left( {x - y} \right)f\left( y \right)dy} }
= {\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {{D_N}\left( y \right)f\left( {x - y} \right)dy} .}
\]
В данной секции мы рассмотрим три типа сходимости рядов Фурье: сходимость в точке, равномерную сходимость и сходимость в пространстве \({L_2}.\)
Сходимость ряда Фурье в точке
Пусть \(f\left( x \right)\) является кусочно гладкой функцией в интервале \(\left[ {-\pi, \pi} \right].\)
Тогда для любого \({x_0} \in \left[ { - \pi ,\pi } \right]\) выполняется условие
\[
\lim\limits_{N \to \infty } {f_N}\left( {{x_0}} \right) =
\begin{cases}
f\left( {{x_0}} \right), & \text{если}\,f\left( x \right)\,\text{непрерывна в}\, \left[ { - \pi ,\pi } \right] \\
\frac{{f\left( {{x_0} - 0} \right) + f\left( {{x_0} + 0} \right)}}{2}, & \text{если}\,f\left( x \right)\,\text{имеет разрыв при}\, {{x_0}}
\end{cases},
\]
где \({f\left( {{x_0} - 0} \right)}\) и \({f\left( {{x_0} + 0} \right)}\) представляют собой, соответственно, левосторонний и правосторонний пределы
в точке \({x_0}.\)
Равномерная сходимость ряда Фурье
Говорят, что последовательность частичных сумм ряда Фурье \(\left\{ {{f_N}\left( x \right)} \right\}\)
сходится
равномерно к функции \(f\left( x \right),\)
если скорость сходимости частичных сумм \({{f_N}\left( x \right)}\) не зависит от \(x.\) (рисунок \(3\)).
Будем говорить, что ряд Фурье функции \(f\left( x \right)\)
сходится равномерно к этой функции, если
\[\lim\limits_{N \to \infty } \left[ {\max\limits_{x \in \left[ { - \pi ,\pi } \right]} \left| {f\left( x \right) - {f_N}\left( x \right)} \right|} \right] = 0.\]
Теорема. Ряд Фурье \(2\pi\)-периодической непрерывной и кусочно
гладкой функции сходится равномерно.
Сходимость ряда Фурье в пространстве \({L_2}\)
Пространство \({L_2}\left( { - \pi ,\pi } \right)\) образовано функциями, удовлетворяющими условию
\[\int\limits_{ - \pi }^\pi {{{\left| {f\left( x \right)} \right|}^2}dx} < \infty .\]
Будем говорить, что функция \(f\left( x \right)\) является
квадратично интегрируемой,
если она принадлежит классу \({L_2}.\) Если \(f\left( x \right)\) квадратично интегрируема, то
\[\lim\limits_{N \to \infty } \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {{{\left| {f\left( x \right) - {f_N}\left( x \right)} \right|}^2}dx} = 0,\]
то есть частичные суммы \({f_N}\left( x \right)\) сходятся к \(f\left( x \right)\) в смысле среднего квадратичного.
Из равномерной сходимости ряда Фурье следует как сходимость в точке, так и сходимость в пространстве \({L_2}.\) Обратное
утверждение неверно: сходимость в пространстве \({L_2}\) не означает, что ряд Фурье сходится в точке или равномерно, и, аналогично,
из сходимости в точке не вытекает равномерная сходимость или сходимость в пространстве \({L_2}.\)
Явление Гиббса
Если функция имеет разрыв второго рода в некоторой точке, то частичные суммы ряда Фурье будут осциллировать вблизи этой точки (смотрите рисунок \(4\)). Этот эффект
называется феноменом или
явлением Гиббса. В любой точке разрыва второго рода амплитуда выбросов
примерно на \(18\%\) (при \(n \to \infty\)) превышает амплитуду скачка функции в точке разрыва.