Степенные ряды

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом: \[ {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}{x^n}} } = {{a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_n}{x^n} + \ldots } \] Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням \(\left( {x - {x_0}} \right),\) то есть ряд вида \[ {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^n}} } = {{a_0} + {a_1}\left( {x - {x_0}} \right) + {a_2}{\left( {x - {x_0}} \right)^2} } + { \ldots + {a_n}{\left( {x - {x_0}} \right)^n} + \ldots ,} \] где \({x_0}\) − действительное число. Рассмотрим функцию \(f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^n}}.\) Ее областью определения является множество тех значений \(x,\) при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.

Если интервал сходимости представляется в виде \(\left( {{x_0} - R,{x_0} + R} \right),\) где \(R > 0,\) то величина \(R\) называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.


Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле \[R = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\sqrt[\large n\normalsize]{{{a_n}}}}}\] или на основе признака Даламбера: \[R = \lim\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_n}}}{{{a_{n + 1}}}}} \right|.\]

   Пример 1

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\large\frac{{{{\left( {x + 3} \right)}^n}}}{{n!}}\normalsize}.\) Сделаем замену: \(u = x + 3.\) Тогда ряд принимает вид \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\large\frac{{{u^n}}}{{n!}}\normalsize}.\) Вычислим радиус сходимости: \[ {R = \lim\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_n}}}{{{a_{n + 1}}}}} \right| } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{n!}}}}{{\frac{1}{{\left( {n + 1} \right)!}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{n!}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left( {n + 1} \right) = \infty .} \] Соответственно, интервал сходимости равен \(\left( { - \infty ,\infty } \right).\)

   Пример 2

Определить радиус и интервал сходимости степенного ряда \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {n{x^n}}.\) Вычислим радиус сходимости: \[ {R = \lim\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_n}}}{{{a_{n + 1}}}}} \right| } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{n}{{n + 1}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{1 + \frac{1}{n}}} = 1.} \] Рассмотрим сходимость в конечных точках.
Если \(x = -1,\) то мы имеем расходящийся ряд \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}n}.\) Если \(x = 1,\) то ряд \(\sum\limits_{n = 0}^\infty n \) также расходится.
Следовательно, исходный ряд \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {n{x^n}}\) сходится на открытом интервале \(\left( { -1, 1} \right).\)

   Пример 3

Найти радиус и интервал сходимости ряда \[\frac{x}{1} + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} + \ldots + \frac{{{x^n}}}{n} + \ldots \] Здесь \({a_n} = \large\frac{1}{n}\normalsize\) и \({a_{n + 1}} = \large\frac{1}{{n + 1}}\normalsize.\) Радиус сходимости будет равен \[ {R = \lim\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_n}}}{{{a_{n + 1}}}}} \right| } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{n}}}{{\frac{1}{{n + 1}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 1}}{n} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = 1.} \] В точке \(x = -1\) мы имеем сходящийся ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\normalsize}.\) При \(x = 1\) получаем расходящийся гармонический ряд \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\large\frac{1}{n}\normalsize}.\) Таким образом, заданный ряд сходится на полуоткрытом интервале \(\left[ { -1, 1} \right).\)

   Пример 4

При каких значениях \(x\) ряд \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\large\frac{{{x^n}}}{{n + 1}}\normalsize}\) сходится? Найдем радиус и интервал сходимости данного ряда. \[\require{cancel} {R = \lim\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_n}}}{{{a_{n + 1}}}}} \right| } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{n + 1}}}}{{\frac{1}{{n + 2}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{n + 2}}{{n + 1}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{\cancel{n}}{\cancel{n}} + \frac{2}{n}}}{{\frac{\cancel{n}}{\cancel{n}} + \frac{1}{n}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + \frac{2}{n}}}{{1 + \frac{1}{n}}} = 1.} \] Если \(x = -1,\) то получаем ряд \[\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n + 1}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 1}}} ,\] который сходится по признаку Лейбница.

Если же \(x = 1,\) то мы имеем расходящийся ряд \[\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n + 1}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{n + 1}}} .\] Таким образом, интервал сходимости заданного ряда равен \(\left[ { -1, 1} \right).\)

   Пример 5

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\large\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{{\left( {x - 2} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\normalsize} .\) Сделаем замену: \(u = x - 2.\) Тогда ряд запишется в виде \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\large\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{u^n}}}{{{n^2}}}\normalsize}.\) Вычислим радиус сходимости: \[ {R = \lim\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_n}}}{{{a_{n + 1}}}}} \right| } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{{n^2}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)^2} } = {\lim\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^2} = 1.} \] Исследуем сходимость в конечных точках интервала.

Если \(u = -1,\) то такой ряд \[ {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{u^n}}}{{{n^2}}}} } = {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}} } = {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{2n}}}}{{{n^2}}}} } = {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{{n^2}}}} } \] будет сходиться как обощенный гармонический ряд с показателем степени \(p = 2 > 1.\)

Если \(u = 1,\) то получаем знакочередующийся ряд \[ {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{u^n}}}{{{n^2}}}} } = {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{1^n}}}{{{n^2}}}} } = {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}},} \] который также сходится по признаку Лейбница.
Таким образом, интервал сходимости для ряда \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\large\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{u^n}}}{{{n^2}}}\normalsize}\) равен \(\left[ { -1, 1} \right].\) Поскольку новая и старая переменные связаны соотношением \(u = x - 2,\) то интервал сходимости исходного ряда будет равен \[ - 1 \le x - 2 \le 1\;\;\text{или}\;\;1 \le x \le 3.\] Ответ: исходный ряд сходится в интервале \(\left[ {1, 3} \right].\)

   Пример 6

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда \[1 + \frac{{2x}}{{\sqrt {5 \cdot 5} }} + \frac{{4{x^2}}}{{\sqrt {9 \cdot {5^2}} }} + \frac{{8{x^3}}}{{\sqrt {13 \cdot {5^3}} }} + \ldots \] Общий член данного степенного ряда (начиная с \(n = 0\)), выражается формулой \[{w_n} = {a_n}{x^n} = \frac{{{2^n}{x^n}}}{{\sqrt {\left( {4n + 1} \right) \cdot {5^n}} }}.\] Здесь \({a_n} = \large\frac{{{2^n}}}{{\sqrt {\left( {4n + 1} \right) \cdot {5^n}} }}\normalsize\) и \({a_{n + 1}} = \large\frac{{{2^{n + 1}}}}{{\sqrt {\left( {4n + 5} \right) \cdot {5^{n + 1}}} }}\normalsize.\)
Определим радиус сходимости: \[ {R = \lim\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_n}}}{{{a_{n + 1}}}}} \right| } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\frac{{{2^n}}}{{\sqrt {\left( {4n + 1} \right) \cdot {5^n}} }}}}{{\frac{{{2^{n + 1}}}}{{\sqrt {\left( {4n + 5} \right) \cdot {5^{n + 1}}} }}}}} \right| } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^n}}}{{{2^{n + 1}}}}\sqrt {\frac{{\left( {4n + 5} \right) \cdot {5^{n + 1}}}}{{\left( {4n + 1} \right) \cdot {5^n}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{{\cancel{2^n}}}{{2 \cdot \cancel{2^n}}}\sqrt {\frac{{\left( {4n + 1 + 4} \right) \cdot 5 \cdot \cancel{5^n}}}{{\left( {4n + 1} \right) \cdot \cancel{5^n}}}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{2}\sqrt {\left( {1 + \frac{4}{{4n + 1}}} \right) \cdot 5} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}.} \] Исследуем сходимости в конечных точках интервала.
При \(x = -\large\frac{{\sqrt 5 }}{2}\normalsize\) получаем \[ {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{2^n}{x^n}}}{{\sqrt {\left( {4n + 1} \right) \cdot {5^n}} }}} } = {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{2^n}{{\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)}^n}}}{{\sqrt {\left( {4n + 1} \right) \cdot {5^n}} }}} } = {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\cancel{2^n}{{\left( { - 1} \right)}^n}\cancel{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^n}}}{{\cancel{2^n}\sqrt {\left( {4n + 1} \right)} \cancel{\sqrt {{5^n}}} }}} } = {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{\sqrt {\left( {4n + 1} \right)} }}} .} \] Этот ряд сходится по признаку Лейбница.
При \(x = \large\frac{{\sqrt 5 }}{2}\normalsize,\) соответственно, имеем ряд \[ {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{2^n}{x^n}}}{{\sqrt {\left( {4n + 1} \right) \cdot {5^n}} }}} } = {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{2^n}{{\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)}^n}}}{{\sqrt {\left( {4n + 1} \right) \cdot {5^n}} }}} } = {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\cancel{2^n}\cancel{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^n}}}{{\cancel{2^n}\sqrt {\left( {4n + 1} \right)} \cancel{\sqrt {{5^n}}} }}} } = {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {\left( {4n + 1} \right)} }}} .} \] Применим для его анализа интегральный признак сходимости: \[ {\int\limits_0^\infty {\frac{{dx}}{{\sqrt {4x + 1} }}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \int\limits_0^n {\frac{{dx}}{{\sqrt {4x + 1} }}} } = {\frac{1}{2}\lim\limits_{n \to \infty } \int\limits_0^n {\frac{{d\left( {4x + 1} \right)}}{{2\sqrt {4x + 1} }}} } = {\frac{1}{2}\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\left. {\left( {\sqrt {4x + 1} } \right)} \right|_0^n} \right] } = {\frac{1}{2}\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\sqrt {4n + 1} - 1} \right] = \infty .} \] Следовательно, ряд \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {\large\frac{1}{{\sqrt {4n + 1} }}\normalsize} \) расходится. Поэтому, интервал сходимости исходного ряда равен \(\left[ { - \large\frac{{\sqrt 5 }}{2}\normalsize,\large\frac{{\sqrt 5 }}{2}\normalsize} \right).\)