Смешанным произведением трех векторов \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\) называется скалярное произведение вектора \(\mathbf{u}\) на векторное произведение векторов \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\):
\(\left( {\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}} \right) = \mathbf{u} \cdot \left( {\mathbf{v} \times \mathbf{w}} \right) = \mathbf{v} \cdot \left( {\mathbf{w} \times \mathbf{u}} \right) = \mathbf{w} \cdot \left( {\mathbf{u} \times \mathbf{v}} \right)\)

Перестановочные свойства смешанного произведения  
\(\left( {\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}} \right) = \left( {\mathbf{w},\mathbf{u},\mathbf{v}} \right) = \left( {\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u}} \right) = -\left( {\mathbf{v},\mathbf{u},\mathbf{w}} \right) = -\left( {\mathbf{w},\mathbf{v},\mathbf{u}} \right) = -\left( {\mathbf{u},\mathbf{w},\mathbf{v}} \right)\)

Умножение смешанного произведения векторов на число  
\(k\mathbf{u} \cdot \left( {\mathbf{v} \times \mathbf{w}} \right) = k\left( {\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}} \right)\)

Смешанное произведение в координатной форме  
\(\left( {\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}} \right) = \mathbf{u} \cdot \left( {\mathbf{v} \times \mathbf{w}} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_1}} & {{Y_1}} & {{Z_1}}\\ {{X_2}} & {{Y_2}} & {{Z_2}}\\ {{X_3}} & {{Y_3}} & {{Z_3}} \end{array}} \right|, \\ \)
где  \(\mathbf{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right)\), \(\mathbf{v} = \left( {{X_2},{Y_2},{Z_2}} \right)\), \(\mathbf{w} = \left( {{X_3},{Y_3},{Z_3}} \right)\).

Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{w}\), равен модулю смешанного произведения этих векторов:
\(V = \left| {\left( {\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}} \right)} \right| = \left| {\mathbf{u} \cdot \left( {\mathbf{v} \times \mathbf{w}} \right)} \right|\)

Объем пирамиды, построенной на трех векторах \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{w}\), выражается формулой
\(V = \large\frac{1}{6}\normalsize \left| {\left( {\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}} \right)} \right| = \large\frac{1}{6}\normalsize \left| {\mathbf{u} \cdot \left( {\mathbf{v} \times \mathbf{w}} \right)} \right|\)

Если смешанное произведение векторов \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\) равно нулю, то данные векторы являются линейно зависимыми (компланарными), то есть один из этих векторов можно выразить через два других:
\(\mathbf{w} = \lambda \mathbf{u} + \mu \mathbf{v}\),
где \(\lambda\), \(\mu\) − некоторые действительные числа.

Если смешанное произведение векторов \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\) не равно нулю, то данные векторы являются линейно независимыми.

Двойным векторным произведением трех векторов \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\) называется векторное произведение
\(\mathbf{u} \times \left( {\mathbf{v} \times \mathbf{w}} \right) = \left( {\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}} \right)\mathbf{v} - \left( {\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}} \right)\mathbf{w} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \mathbf{v} & \mathbf{w}\\ {\left( {\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}} \right)} & {\left( {\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}} \right)} \end{array}} \right|\)