Суммой двух векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) называется третий вектор \(\mathbf{w}\), проведенный из начала \(\mathbf{u}\) к концу \(\mathbf{v}\), если начало вектора \(\mathbf{v}\) совпадает с концом вектора \(\mathbf{u}\). Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
\(\mathbf{w} = \mathbf{u} + \mathbf{v}\)

Суммой нескольких векторов \(\mathbf{u_1}\),\(\mathbf{u_2}\), \(\mathbf{u_3},\;\ldots\) называется вектор \(\mathbf{w}\), получающийся в результате последовательного сложения данных векторов. Такая операция выполняется по правилу многоугольника.
\(\mathbf{w} = \mathbf{u_1} + \mathbf{u_2} + \mathbf{u_3} + \ldots + \mathbf{u_n}\)

Коммутативный закон сложения  
\(\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}\)

Ассоциативный закон сложения  
\(\left( {\mathbf{u} + \mathbf{v}} \right) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + \left( {\mathbf{v} + \mathbf{w}} \right)\)

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
\(\mathbf{u} + \mathbf{v} = \left( {{X_1} + {X_2},{Y_1} + {Y_2},{Z_1} + {Z_2}} \right)\)

Разностью двух векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) называется вектор \(\mathbf{w}\) при условии:
\(\mathbf{w} = \mathbf{u} - \mathbf{v}\),  если  \(\mathbf{w} + \mathbf{v} = \mathbf{u}\)

Разность векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) равна сумме вектора \(\mathbf{u}\) и противоположного вектора \(-\mathbf{v}\):
\(\mathbf{u} - \mathbf{v} = \mathbf{u} + \left( -\mathbf{v} \right) \)

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору:  
\(\mathbf{u} - \mathbf{u} = \mathbf{0} \)

Длина нулевого вектора равна нулю:
\(\left| \mathbf{0} \right| = 0\)

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
\(\mathbf{u} - \mathbf{v} = \left( {{X_1} - {X_2},{Y_1} - {Y_2},{Z_1} - {Z_2}} \right)\)