Решение системы уравнений \(2\)-го порядка методом Крамера
Пусть дана система \(2\)-х уравнений с \(2\)-мя неизвестными:
\( \left\{ \begin{aligned} {a_1}x + {b_1}y &= {d_1} \\ {a_2}x + {b_2}y &= {d_2} \end{aligned} \right. \).

Решение данной системы выражается формулами
\(x = \large\frac{{{D_x}}}{D}\normalsize,\;\;y = \large\frac{{{D_y}}}{D}\normalsize\)  (формулы Крамера),
где определители \(D\), \({D_x}\), \({D_y}\) равны
\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right| = {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1},\)   \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_1}}&{{b_1}}\\ {{d_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right| = {d_1}{b_2} - {d_2}{b_1},\)   \({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{d_1}}\\ {{a_2}}&{{d_2}} \end{array}} \right| = {a_1}{d_2} - {a_2}{d_1}.\)

Различные случаи решений системы уравнений \(2\)-го порядка
•  Если \(D \ne 0\), то система совместна и имеет единственное решение \(x = \large\frac{{{D_x}}}{D}\normalsize,\;\;y = \large\frac{{{D_y}}}{D}\normalsize ;\)
•  Если \(D = 0\) и \({D_x} \ne 0\) (или \({D_y} \ne 0\)), то система несовместна (не имеет решений);
•  Если \(D = {D_x} = {D_y} = 0\), то система совместна и имеет бесконечное множество решений.

Решение системы уравнений \(3\)-го порядка методом Крамера
Рассмотрим систему \(3\)-х уравнений с \(3\)-мя неизвестными:
\( \left\{ \begin{aligned} {a_1}x + {b_1}y + {c_1}z &= {d_1} \\ {a_2}x + {b_2}y + {c_2}z &= {d_2} \\ {a_3}x + {b_3}y + {c_3}z &= {d_3} \end{aligned} \right. \).

Решение данной системы определяется формулами Крамера:
\(x = \large\frac{{{D_x}}}{D}\normalsize,\;\;y = \large\frac{{{D_y}}}{D}\normalsize,\;\;z = \large\frac{{{D_z}}}{D}\normalsize,\)
где определители \(D\), \({D_x}\), \({D_y}\), \({D_z}\) равны

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|,\)   \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{d_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{d_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|,\)   \({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{d_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{d_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{d_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|,\)   \({D_z} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{d_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{d_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{d_3}} \end{array}} \right|.\)

Различные случаи решений системы уравнений \(3\)-го порядка
•  Если \(D \ne 0\), то система совместна и имеет единственное решение \(x = \large\frac{{{D_x}}}{D}\normalsize,\;\;y = \large\frac{{{D_y}}}{D}\normalsize\;\;z = \large\frac{{{D_z}}}{D}\normalsize ;\)
•  Если \(D = 0\) и \({D_x} \ne 0\) (или \({D_y} \ne 0\) или \({D_z} \ne 0\)), то система несовместна (не имеет решений);
•  Если \(D = {D_x} = {D_y} = {D_z} = 0\), то система совместна и имеет бесконечное множество решений.

Матричная форма записи системы \(n\) уравнений c \(n\) неизвестными
Систему линейных уравнений \(n\)-го порядка

\( \left\{ \begin{aligned} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \ldots + {a_{1n}}{x_n} &= {b_1} \\ {a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \ldots + {a_{2n}}{x_n} &= {b_2} \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ {a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} + \ldots + {a_{nn}}{x_n} &= {b_n} \end{aligned} \right. \).

можно записать в матричной форме:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \ldots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right) \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ \vdots \\ {{x_n}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ {{b_2}}\\ \vdots \\ {{b_n}} \end{array}} \right),\)

или в более компактном виде:
\(AX = B\),
где используются обозначения:

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \ldots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right),\;\;X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ \vdots \\ {{x_n}} \end{array}} \right),\;\;B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ {{b_2}}\\ \vdots \\ {{b_n}} \end{array}} \right).\)

Решение системы n линейных уравнений c \(n\) неизвестными имеет вид
\(X = A^{-1}B\),
где \(A^{-1}\) − обратная матрица.