|
|
|
Системы линейных уравнений
|
|
Матрицы и векторы: \(A\), \(B\), \(X\)
Коэффициенты уравнений: \({a_{ij}}\), \({a_i}\), \({b_i}\), \({c_i}\), \({d_i}\)
Обратная матрица: \(A^{-1}\)
|
Определители: \(D\), \({D_x}\), \({D_y}\), \({D_z}\)
Неизвестные переменные: \(x\), \(y\), \(z\), \({x_1}\), \({x_2}\), \(\ldots\)
Натуральные числа: \(n\), \(i\), \(j\)
|
-
Решение системы уравнений \(2\)-го порядка методом Крамера
Пусть дана система \(2\)-х уравнений с \(2\)-мя неизвестными:
\(
\left\{
\begin{aligned}
{a_1}x + {b_1}y &= {d_1} \\
{a_2}x + {b_2}y &= {d_2}
\end{aligned}
\right.
\).
Решение данной системы выражается формулами
\(x = \large\frac{{{D_x}}}{D}\normalsize,\;\;y = \large\frac{{{D_y}}}{D}\normalsize\) (формулы Крамера),
где определители \(D\), \({D_x}\), \({D_y}\) равны
\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}}&{{b_1}}\\
{{a_2}}&{{b_2}}
\end{array}} \right| = {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1},\)
\({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{d_1}}&{{b_1}}\\
{{d_2}}&{{b_2}}
\end{array}} \right| = {d_1}{b_2} - {d_2}{b_1},\)
\({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}}&{{d_1}}\\
{{a_2}}&{{d_2}}
\end{array}} \right| = {a_1}{d_2} - {a_2}{d_1}.\)
-
Различные случаи решений системы уравнений \(2\)-го порядка
•
Если \(D \ne 0\), то система совместна и имеет единственное решение
\(x = \large\frac{{{D_x}}}{D}\normalsize,\;\;y = \large\frac{{{D_y}}}{D}\normalsize ;\)
•
Если \(D = 0\) и \({D_x} \ne 0\) (или \({D_y} \ne 0\)), то система несовместна (не имеет решений);
•
Если \(D = {D_x} = {D_y} = 0\), то система совместна и имеет бесконечное множество решений.
-
Решение системы уравнений \(3\)-го порядка методом Крамера
Рассмотрим систему \(3\)-х уравнений с \(3\)-мя неизвестными:
\(
\left\{
\begin{aligned}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z &= {d_1} \\
{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z &= {d_2} \\
{a_3}x + {b_3}y + {c_3}z &= {d_3}
\end{aligned}
\right.
\).
Решение данной системы определяется формулами Крамера:
\(x = \large\frac{{{D_x}}}{D}\normalsize,\;\;y = \large\frac{{{D_y}}}{D}\normalsize,\;\;z = \large\frac{{{D_z}}}{D}\normalsize,\)
где определители \(D\), \({D_x}\), \({D_y}\), \({D_z}\) равны
\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\
{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\
{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}
\end{array}} \right|,\)
\({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{d_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\
{{d_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\
{{d_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}
\end{array}} \right|,\)
\({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}}&{{d_1}}&{{c_1}}\\
{{a_2}}&{{d_2}}&{{c_2}}\\
{{a_3}}&{{d_3}}&{{c_3}}
\end{array}} \right|,\)
\({D_z} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}}&{{b_1}}&{{d_1}}\\
{{a_2}}&{{b_2}}&{{d_2}}\\
{{a_3}}&{{b_3}}&{{d_3}}
\end{array}} \right|.\)
-
Различные случаи решений системы уравнений \(3\)-го порядка
•
Если \(D \ne 0\), то система совместна и имеет единственное решение
\(x = \large\frac{{{D_x}}}{D}\normalsize,\;\;y = \large\frac{{{D_y}}}{D}\normalsize\;\;z = \large\frac{{{D_z}}}{D}\normalsize ;\)
•
Если \(D = 0\) и \({D_x} \ne 0\) (или \({D_y} \ne 0\) или \({D_z} \ne 0\)), то система несовместна (не имеет решений);
•
Если \(D = {D_x} = {D_y} = {D_z} = 0\), то система совместна и имеет бесконечное множество решений.
-
Матричная форма записи системы \(n\) уравнений c \(n\) неизвестными
Систему линейных уравнений \(n\)-го порядка
\(
\left\{
\begin{aligned}
{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \ldots + {a_{1n}}{x_n} &= {b_1} \\
{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \ldots + {a_{2n}}{x_n} &= {b_2} \\
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\
{a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} + \ldots + {a_{nn}}{x_n} &= {b_n}
\end{aligned}
\right.
\).
можно записать в матричной форме:
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}\\
\vdots & \vdots &{}& \vdots \\
{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \ldots &{{a_{nn}}}
\end{array}} \right) \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}\\
{{x_2}}\\
\vdots \\
{{x_n}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{b_1}}\\
{{b_2}}\\
\vdots \\
{{b_n}}
\end{array}} \right),\)
или в более компактном виде:
\(AX = B\),
где используются обозначения:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}\\
\vdots & \vdots &{}& \vdots \\
{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \ldots &{{a_{nn}}}
\end{array}} \right),\;\;X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}\\
{{x_2}}\\
\vdots \\
{{x_n}}
\end{array}} \right),\;\;B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{b_1}}\\
{{b_2}}\\
\vdots \\
{{b_n}}
\end{array}} \right).\)
-
Решение системы n линейных уравнений c \(n\) неизвестными имеет вид
\(X = A^{-1}B\),
где \(A^{-1}\) − обратная матрица.
|
|
|
|