Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. В общем виде функциональный ряд записывается как
\(\sum\limits_{n = 0}^\infty {{u_n}\left( x \right)} = {u_0}\left( x \right) + {u_1}\left( x \right) + {u_2}\left( x \right) + \ldots + {u_n}\left( x \right) + \ldots, \)
где \({u_i}\left( x \right)\) − функции переменной \(x\).

Функциональный ряд, членами которого являются степенные функции аргумента \(x\), называется степенным рядом:
\(\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_n}{x^n} + \ldots ,\)
где \({a_i}\) − коэффициенты степенного ряда (постоянные действительные числа).

Часто рассматривается степенной ряд, расположенный по степеням \({\left( {x - {x_0}} \right)}\):
\(\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^n}} = {a_0} + {a_1}\left( {x - {x_0}} \right) + {a_2}{\left( {x - {x_0}} \right)^2} + \ldots + {a_n}{\left( {x - {x_0}} \right)^n} + \ldots ,\)
где точка \({x_0}\) называется центром степенного ряда.

Интервал сходимости степенного ряда
Рассмотрим функцию \(f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^n}} \). Ее областью определения является множество значений \(x\), при которых ряд сходится. Данная область определения называется интервалом сходимости.

Радиус сходимости степенного ряда
Если интервал сходимости представляется в виде \(\left( {{x_0} - R,{x_0} + R} \right)\), где \(R > 0\), то величина \(R\) называется радиусом сходимости. Степенной ряд сходится абсолютно в каждой точке интервала сходимости. Сходимость в граничных точках \({{x_0} - R}\) и \({{x_0} + R}\) устанавливается отдельно.

Радиус сходимости по признаку Даламбера  
\(R = \lim\limits_{n \to \infty } \left| {\large\frac{{{a_n}}}{{{a_{n + 1}}}}\normalsize} \right|\)

Радиус сходимости по радикальному признаку Коши  
\(R = \lim\limits_{n \to \infty } \large\frac{1}{{\sqrt[n]{{{a_n}}}}\normalsize}\)

Дифференцирование степенных рядов
Пусть дан степенной ряд
\(f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots ,\)
имеющий радиус сходимости \(R > 0\). Функция \(f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}} \) является непрерывной при \(\left| x \right| < R\). Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно. Производная степенного ряда равна
\(f'\left( x \right) = \large\frac{d}{{dx}}\normalsize{a_0} + \large\frac{d}{{dx}}\normalsize{a_1}x + \large\frac{d}{{dx}}\normalsize{a_2}{x^2} + \ldots = {a_1} + 2{a_2}x + 3{a_3}{x^2} + \ldots = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{a_n}{x^{n - 1}}} .\)

Интегрирование степенных рядов
Степенной ряд можно почленно интегрировать на отрезке, расположенном внутри интервала сходимости. Если \(-R < b < x < R\), то справедливо соотношение
\(\large\int\limits_b^x\normalsize {f\left( t \right)dt} = \large\int\limits_b^x\normalsize {{a_0}dt} + \large\int\limits_b^x\normalsize {{a_1}tdt} + \large\int\limits_b^x\normalsize {{a_2}{t^2}dt} + \ldots + \large\int\limits_b^x\normalsize {{a_n}{t^n}dt} + \ldots \)

Если интегрирование выполняется на отрезке \(\left[ {0,x} \right]\), то интеграл выражается формулой
\(\large\int\limits_0^x\normalsize {f\left( t \right)dt} = \large\int\limits_0^x\normalsize {{a_0}dt} + \large\int\limits_0^x\normalsize {{a_1}tdt} + \large\int\limits_0^x\normalsize {{a_2}{t^2}dt} + \ldots + \large\int\limits_0^x\normalsize {{a_n}{t^n}dt} + \ldots \\ = {a_0}x + {a_1}\large\frac{{{x^2}}}{2}\normalsize + {a_2}\large\frac{{{x^3}}}{3}\normalsize + \ldots = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}\large\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\normalsize} + C.\)