Свойства пределов

Предел функции обозначается как \(f\left( x \right) \to L\) при \(x \to a\) или через символ предела: \(\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) = L\).

Всюду ниже предполагается, что пределы функций \(\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)\), \(\lim\limits_{x \to a} g\left( x \right)\), \(\lim\limits_{x \to a} {f_1}\left( x \right)\), \(\ldots\), \(\lim\limits_{x \to a} {f_n}\left( x \right)\) существуют.

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций: \[\lim\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) + \lim\limits_{x \to a} g\left( x \right).\] \[\lim\limits_{x \to a} \left[ {{f_1}\left( x \right) + \ldots + {f_n}\left( x \right)} \right] = {\lim\limits_{x \to a} {f_1}\left( x \right) + \ldots + \lim\limits_{x \to a} {f_n}\left( x \right).} \] Предел постоянной величины равен самой постоянной величине: \[\lim\limits_{x \to a} C = C.\] Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела: \[\lim\limits_{x \to a} kf\left( x \right) = k\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right).\] Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют): \[\lim\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = \lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) \cdot \lim\limits_{x \to a} g\left( x \right).\] \[\lim\limits_{x \to a} \left[ {{f_1}\left( x \right){f_2}\left( x \right) \cdots {f_n}\left( x \right)} \right] = {\lim\limits_{x \to a} {f_1}\left( x \right) \cdot \lim\limits_{x \to a} {f_2}\left( x \right) \cdots \lim\limits_{x \to a} {f_n}\left( x \right).} \] Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю: \[ {\lim\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}{{\lim\limits_{x \to a} g\left( x \right)}},}\;\; {\text{если}\;\;\lim\limits_{x \to a} g\left( x \right) \ne 0.} \] \[\lim\limits_{x \to a} {\left[ {f\left( x \right)} \right]^p} = {\left[ {\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)} \right]^p},\] где степень \(p\) - действительное число. В частности, \[\lim\limits_{x \to a} \sqrt[\large p\normalsize]{{f\left( x \right)}} = \sqrt[\large p\normalsize]{{\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}.\] Если \(f\left( x \right) = x^n\), то \[ {\lim\limits_{x \to a} {x^n} = {a^n},\;n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots} \;\; {\text{и}\;\;a \ne 0,\;\;\text{если}\;\;n \le 0.} \] \[\lim\limits_{x \to a} {a^{f\left( x \right)}} = {a^{\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)}},\] где основание \(a > 0\).

\[\lim\limits_{x \to a} \left[ {{{\log }_a}f\left( x \right)} \right] = {\log _a}\left[ {\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)} \right],\] где основание \(a > 0\).

Предположим, что \(g\left( x \right) \le f\left( x \right) \le h\left( x \right)\) для всех \(x\), близких к \(a\), за исключением, быть может, самой точки \(x =a\). Тогда, если \[\lim\limits_{x \to a} g\left( x \right) = \lim\limits_{x \to a} h\left( x \right) = L,\] то \[\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) = L.\] То есть функция \(f\left( x \right)\) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу \(L\).

   Пример 1

Найти предел \(\lim\limits_{x \to 10} \left( {2x\lg {x^3}} \right)\). \[\lim\limits_{x \to 10} \left( {2x\lg {x^3}} \right) = {\lim\limits_{x \to 10} 2x \cdot \lim\limits_{x \to 10} \lg {x^3} } = {2\lim\limits_{x \to 10} x \cdot \lg \left( {\lim\limits_{x \to 10} {x^3}} \right) } = {2 \cdot 10 \cdot \lg 1000 = 20 \cdot 3 = 60. } \]

   Пример 2

Найти предел \(\lim\limits_{x \to 9} \large\frac{{4{x^2}}}{{1 + \sqrt x }}\normalsize\). Используя основные свойства пределов (правило суммы, правило частного и предел степенной функции), получаем \[\lim\limits_{x \to 9} \frac{{4{x^2}}}{{1 + \sqrt x }} = {\frac{{\lim\limits_{x \to 9} 4{x^2}}}{{\lim\limits_{x \to 9} \left( {1 + \sqrt x } \right)}} } = {\frac{{4\lim\limits_{x \to 9} {x^2}}}{{\lim\limits_{x \to 9} 1 + \lim\limits_{x \to 9} \sqrt x }} } = {\frac{{4 \cdot {9^2}}}{{1 + \sqrt 9 }} = 81.} \]

   Пример 3

Зная, что \(\lim\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 2\) и \(\lim\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 3\), вычислить предел \(\lim\limits_{x \to 1} \large\frac{{g\left( x \right) - 3f\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right) + g\left( x \right)}}\normalsize\). \[\lim\limits_{x \to 1} \frac{{g\left( x \right) - 3f\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right) + g\left( x \right)}} = {\frac{{\lim\limits_{x \to 1} \left[ {g\left( x \right) - 3f\left( x \right)} \right]}}{{\lim\limits_{x \to 1} \left[ {{f^2}\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]}} } = {\frac{{\lim\limits_{x \to 1} g\left( x \right) - \lim\limits_{x \to 1} \left[ {3f\left( x \right)} \right]}}{{\lim\limits_{x \to 1} {f^2}\left( x \right) + \lim\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}} } = {\frac{{\lim\limits_{x \to 1} g\left( x \right) - 3\lim\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{{{\left[ {\lim\limits_{x \to 1} f\left( x \right)} \right]}^2} + \lim\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}} } = {\frac{{3 - 3 \cdot 2}}{{{2^2} + 3}} = - \frac{3}{7}.} \]

   Пример 4

Вычислить предел \(\lim\limits_{x \to \infty } \large\frac{{3x + \cos x}}{{2x - 7}}\normalsize\). Известно, что \( - 1 \le \cos x \le 1\) для всех \(x\). Тогда можно записать \[3x - 1 \le 3x + \cos x \le 3x + 1.\] Разделив это неравенство на \(2x - 7 > 0\), получаем \[\frac{{3x - 1}}{{2x - 7}} \le \frac{{3x + \cos x}}{{2x - 7}} \le \frac{{3x + 1}}{{2x - 7}}.\] (Поскольку мы рассматриваем большие и положительные значения \(x\), и следовательно, \(2x - 7 > 0\), то знаки неравенства при делении не изменяются.) Выполняя предельный переход, получаем \[\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{3x - 1}}{{2x - 7}} {\le \lim\limits_{x \to \infty } \frac{{3x + \cos x}}{{2x - 7}} } {\le \lim\limits_{x \to \infty } \frac{{3x + 1}}{{2x - 7}}.} \] Вычислим левый и правый пределы: \[ {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{3x - 1}}{{2x - 7}} = \lim\limits_{x \to \infty } \frac{{3 - \large\frac{1}{x}\normalsize}}{{2 - \large\frac{7}{x}\normalsize}} = \frac{3}{2},\;\;\;} {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{3x + 1}}{{2x - 7}} = \lim\limits_{x \to \infty } \frac{{3 + \large\frac{1}{x}\normalsize}}{{2 - \large\frac{7}{x}\normalsize}} = \frac{3}{2}.} \] Отсюда, по теореме о "двух милиционерах" следует, что \[\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{3x + \cos x}}{{2x - 7}} = \frac{3}{2}.\]

   Пример 5

Вычислить предел \(\lim\limits_{x \to \infty } \large\frac{{2\sin x - 5x}}{{3x + 1}}\normalsize\). Известно, что \( - 1 \le \sin x \le 1\) для всех \(x\). Тогда \[ - 2 \le 2\sin x \le 2.\] Вычтем \(5x\) из всех частей неравенства. \[ - 2 - 5x \le 2\sin x - 5x \le 2 - 5x.\] Разделив на \(3x + 1\), получаем \[\frac{{ - 2 - 5x}}{{3x + 1}} \le \frac{{2\sin x - 5x}}{{3x + 1}} \le \frac{{2 - 5x}}{{3x + 1}}.\] (Знаки неравенства при этом не меняются, поскольку \(3x + 1\) является положительным числом при \(x \to \infty.\))
Вычислим левый и правый пределы. \[ {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{ - 2 - 5x}}{{3x + 1}} = \lim\limits_{x \to \infty } \frac{{ - \large\frac{2}{x}\normalsize - 5}}{{3 + \large\frac{1}{x}\normalsize}} = - \frac{5}{3},\;\;\;} {\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{2 - 5x}}{{3x + 1}} = \lim\limits_{x \to \infty } \frac{{\large\frac{2}{x}\normalsize - 5}}{{3 + \large\frac{1}{x}\normalsize}} = - \frac{5}{3}.} \] Как видно, оба предела равны друг другу. Следовательно, по теореме "o двух милиционерах" \[\lim\limits_{x \to \infty } \frac{{2\sin x - 5x}}{{3x + 1}} = - \frac{5}{3}.\]