Определителем квадратной матрицы \(\left( {{a_{ij}}} \right)\) порядка \(n\) называется многочлен, составленный из элементов матрицы и содержащий \(n!\) членов вида \({\left( { - 1} \right)^s}{a_{1{k_1}}}{a_{2{k_2}}} \cdots {a_{n{k_n}}}\). Каждое такое слагаемое соответствует одному из \(n!\) различных упорядоченных множеств \({k_1},{k_2}, \ldots {k_n}\), которые получаются в результате \(s\) попарных перестановок элементов из множества \(1,2, \ldots ,n\). Значение определителя сохраняется при линейных комбинациях строк или столбцов или при транспонировании матрицы.

Определитель матрицы n-го порядка записывается в виде

\(\det A = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1j}}}& \ldots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2j}}}& \ldots &{{a_{2n}}}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {{a_{i1}}}&{{a_{i2}}}& \ldots &{{a_{ij}}}& \ldots &{{a_{in}}}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \ldots &{{a_{nj}}}& \ldots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right|\)

Определитель матрицы второго порядка
Определитель второго порядка состоит из \(2\) слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение \(2\) элементов:
\(\det A = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| = {a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}\)

Определитель матрицы третьего порядка
Определитель третьего порядка включает \(6\) слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение \(3\) элементов:
\(\det A = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right| = {a_{11}}{a_{22}}{a_{33}} + {a_{12}}{a_{23}}{a_{31}} + {a_{13}}{a_{21}}{a_{32}} - {a_{11}}{a_{23}}{a_{32}} - {a_{12}}{a_{21}}{a_{33}} - {a_{13}}{a_{22}}{a_{31}}\)

Определитель матрицы третьего порядка можно также вычислить с помощью правила Сарруса.
Три из шести слагаемых входят в определитель со знаком "плюс" и три − со знаком "минус". Соответствующие тройки элементов схематически показаны на рисунке.

Минор
Дополнительным минором \({M_{ij}}\), ассоциированным с элементом \({a_{ij}}\) квадратной матрицы \(A\) \(n\)-го порядка, называется определитель \(\left( {n - 1} \right)\)-го порядка, соответствующий матрице с вычеркнутыми \(i\)-ой строкой и \(j\)-ым столбцом.

Алгебраическое дополнение
Алгебраическое дополнение \({A_{ij}}\) связано с минором \({M_{ij}}\) соотношением
\({A_{ij}} = {\left( { - 1} \right)^{i + j}}{M_{ij}}\)

Теорема Лапласа
Определитель n-го порядка можно вычислить с помощью формул Лапласа.
Разложение определителя по элементам i-ой строке имеет вид
\(\det A = \sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}{A_{ij}}} ,\;\;i = 1,2, \ldots ,n\)

Разложение определителя по элементам j-го столбца выражается формулой
\(\det A = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ij}}{A_{ij}}} ,\;\;j = 1,2, \ldots ,n\)

Определитель транспонированной матрицы
Значение определителя не изменится, если строки и столбцы в матрице поменять местами (т.е. при транспонировании матрицы):
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|\)

Перестановка строк и столбцов в определителе
Если две строки (или два столбца) поменять местами, то знак определителя изменится на противоположный:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right| = -\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{b_2}}\\ {{a_1}}&{{b_1}} \end{array}} \right|\)

Определитель с одинаковыми строками или столбцами
Если две строки (или два столбца) определителя одинаковы, то определитель равен нулю:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_1}}\\ {{a_2}}&{{a_2}} \end{array}} \right| = 0\)

Умножение строки или столбца определителя на постоянное число
Умножение элементов любой строки (или столбца) на одно и то же число эквивалентно умножению определителя на это число. Иначе говоря, постоянный сомножитель элементов любой строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {k{a_1}}&{k{b_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right| = k\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|\)

Линейная комбинация элементов определителя
Если к элементам любой строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на постоянный коэффициент, то значение определителя не изменится:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} + k{b_1}}&{{b_1}}\\ {{a_2} + k{b_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|\)