Пусть действительная функция \(f\left( x \right)\) определена и ограничена на отрезке \(\left[ {a,b} \right]\). Разобьем данный отрезок на \(n\) частичных интервалов. В каждом интервале выберем произвольную точку \({\xi_i}\) и составим интегральную сумму \(\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{\xi _i}} \right)\Delta {x_i}} \), где \(\Delta {x_i}\) − длина \(i\)-го интервала. Определенным интегралом от функции \(f\left( x \right)\) на отрезке \(\left[ {a,b} \right]\) называется предел интегральной суммы (суммы Римана) при стремлении максимальной длины частичного интервала к нулю. \(\require{AMSmath.js}\large\int\limits_a^b\normalsize {f\left( x \right)dx} = \lim\limits_{\substack{ n \to \infty\\ \text{max}\,\Delta {x_i} \to 0}} \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{\xi _i}} \right)\Delta {x_i}} ,\;\;\text{где}\;\;\Delta {x_i} = {x_i} - {x_{i - 1}},\;\;{x_{i - 1}} \le {\xi _i} \le {x_i}.\)

Определенный интеграл от единицы равен длине интервала интегрирования:
\(\large\int\limits_a^b\normalsize {1\,dx} = b - a\)

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
\(\large\int\limits_a^b\normalsize {kf\left( x \right)dx} = k\large\int\limits_a^b\normalsize {f\left( x \right)dx} \)

Определенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:
\(\large\int\limits_a^b\normalsize {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \large\int\limits_a^b\normalsize {f\left( x \right)dx} + \large\int\limits_a^b\normalsize {g\left( x \right)dx} \)

Определенный интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций:
\(\large\int\limits_a^b\normalsize {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \large\int\limits_a^b\normalsize {f\left( x \right)dx} - \large\int\limits_a^b\normalsize {g\left( x \right)dx} \)

Если верхний предел равен нижнему, то определенный интеграл равен нулю:
\(\large\int\limits_a^a\normalsize {f\left( x \right)dx} = 0\)

При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл изменяет знак на противоположный:
\(\large\int\limits_a^b\normalsize {f\left( x \right)dx} = -\large\int\limits_b^a\normalsize {f\left( x \right)dx}\)

Пусть точка \(c\) принадлежит отрезку \(\left[ {a,b} \right]\). Тогда определенный интеграл от функции \(f\left( x \right)\) на отрезке \(\left[ {a,b} \right]\) равен сумме интегралов на частичных промежутках \(\left[ {a,c} \right]\) и \(\left[ {c,b} \right]\):
\(\large\int\limits_a^b\normalsize {f\left( x \right)dx} = \large\int\limits_a^c\normalsize {f\left( x \right)dx} + \large\int\limits_c^b\normalsize {f\left( x \right)dx}\)

Определенный интеграл от неотрицательной функции всегда больше или равен нулю:
\(\large\int\limits_a^b\normalsize {f\left( x \right)dx} \ge 0\;\;\text{если}\;\;f\left( x \right) \ge 0 \;\;\text{на}\;\left[ {a,b} \right].\)

Определенный интеграл от неположительной функции всегда меньше или равен нулю:
\(\large\int\limits_a^b\normalsize {f\left( x \right)dx} \le 0\;\;\text{если}\;\;f\left( x \right) \le 0 \;\;\text{на}\;\left[ {a,b} \right].\)

Формула Ньютона-Лейбница 
\(\large\int\limits_a^b\normalsize {f\left( x \right)dx} = \large\left. \normalsize{F\left( x \right)} \large\right|_a^b\normalsize = F\left( b \right) - F\left( a \right),\;\;\text{если}\;\;F'\left( x \right) = f\left( x \right).\)

Метод подстановки для определенного интеграла
Если  \(x = g\left( t \right)\),  то  \(\large\int\limits_a^b\normalsize {f\left( x \right)dx} = \large\int\limits_c^d\normalsize {f\left( {g\left( t \right)} \right)g'\left( t \right)dt} \),  где  \(c = {g^{ - 1}}\left( a \right)\), \(d = {g^{ - 1}}\left( b \right)\).

Интегрирование по частям  
\(\large\int\limits_a^b\normalsize {udv} = \large\left. \normalsize{\left( {uv} \right)}\large \right|_a^b\normalsize - \large\int\limits_a^b\normalsize {vdu} \)

Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций  
\(\large\int\limits_a^b\normalsize {f\left( x \right)dx} = \large\frac{{b - a}}{{2n}}\normalsize\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_n}} \right) + 2\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {f\left( {{x_i}} \right)} } \right]\)

Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона (метод парабол)  
\(\large\int\limits_a^b\normalsize {f\left( x \right)dx} = \large\frac{{b - a}}{{3n}}\normalsize\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 4f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + 4f\left( {{x_3}} \right) + 2f\left( {{x_4}} \right) + \ldots + 4f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right]\),
где  \({x_i} = a + \large\frac{{b - a}}{n}\normalsize i,\;\) \(\;i = 0,1,2, \ldots ,n\).

Площадь криволинейной трапеции  
\(S = \large\int\limits_a^b\normalsize {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\),   где  \(F^{\,\prime}\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Площадь между двумя кривыми  
\(S = \large\int\limits_a^b\normalsize {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = F\left( b \right) - G\left( b \right) - F\left( a \right) + G\left( a \right)\),   где  \(F^{\,\prime}\left( x \right) = f\left( x \right)\),  \(G^{\,\prime}\left( x \right) = g\left( x \right)\).