Определенный интеграл \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}\) называется несобственным интегралом,
     •  если нижний предел интегрирования \(a\) или верхний предел \(b\) (или оба предела) являются бесконечными,
     •  или если функция \(f\left( x \right)\) имеет точки разрыва на отрезке \(\left[ {a,b} \right]\).

Таким образом, несобственный интеграл − это интеграл по неограниченному множеству или от неограниченной функции.

Если \(f\left( x \right)\) − непрерывная функция на интервале \(\left[ {a,\infty} \right)\), то несобственный интеграл выражается через предел в виде
\(\large\int\limits_a^\infty\normalsize {f\left( x \right)dx} = \lim\limits_{n \to \infty } \large\int\limits_a^n\normalsize {f\left( x \right)dx} \)

Если \(f\left( x \right)\) − непрерывная функция на интервале \(\left[ {a,\infty} \right)\), то несобственный интеграл определяется формулой
\(\large\int\limits_{-\infty}^b\normalsize {f\left( x \right)dx} = \lim\limits_{n \to -\infty } \large\int\limits_n^b\normalsize {f\left( x \right)dx} \)

Примечание: несобственные интегралы в формулах \(2\),\(3\) являются сходящимися, если верхний или нижний предел существуют и конечны. В противном случае несобственные интегралы являются расходящимися.

Несобственный интеграл с бесконечным нижним и верхним пределом.
\(\large\int\limits_{ - \infty }^\infty\normalsize {f\left( x \right)dx} = \large\int\limits_{ - \infty }^c\normalsize {f\left( x \right)dx} + \large\int\limits_c^\infty\normalsize {f\left( x \right)dx} \)

Если для некоторого действительного числа \(c\) оба интеграла в правой части сходятся, то несобственный интеграл \(\int\limits_{ - \infty }^\infty {f\left( x \right)dx}\) также сходится. В противном случаем он расходится.

Теоремы сравнения
Пусть \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\) − непрерывные функции на интервале \(\left[ {a,\infty} \right)\). Предположим, что \(0 \le g\left( x \right) \le f\left( x \right)\) для всех \(x\) на интервале \(\left[ {a,\infty} \right)\). Тогда справедливы следующие теоремы сравнения для несобственных интегралов от функций \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\):
     •  Если \(\int\limits_a^\infty {f\left( x \right)dx}\) сходится, то \(\int\limits_a^\infty {g\left( x \right)dx}\) также сходится.
     •  Если \(\int\limits_a^\infty {g\left( x \right)dx}\) расходится, то \(\int\limits_a^\infty {f\left( x \right)dx}\) также расходится.

Абсолютная сходимость
Если \(\int\limits_a^\infty {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) сходится, то несобственный интеграл \(\int\limits_a^\infty {f\left( x \right)dx} \) является абсолютно сходящимся.

Интеграл от разрывной функции (точка разрыва на границе интервала)
Пусть функция \(f\left( x \right)\) является непрерывной всюду на интервале \(\left[ {a,b} \right)\), а в точке \(x = b\) терпит разрыв. Тогда справедлива следующая предельная формула:
\(\large\int\limits_a^\infty\normalsize {f\left( x \right)dx} = \lim\limits_{\tau \to 0 + } \large\int\limits_a^{b - \tau }\normalsize {f\left( x \right)dx} \)

Интеграл от разрывной функции (точка разрыва внутри интервала)
Пусть \(f\left( x \right)\) является непрерывной функцией для всех действительных чисел \(x\) в замкнутом интервале \(\left[ {a,b} \right]\), исключая некоторую внутреннюю точку \(c \in \left( {a,b} \right)\). Тогда
\(\large\int\limits_a^b\normalsize {f\left( x \right)dx} = \lim\limits_{\tau \to 0 + } \large\int\limits_a^{c - \tau }\normalsize {f\left( x \right)dx} + \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + } \large\int\limits_{c + \varepsilon}^b\normalsize {f\left( x \right)dx}\)