Поверхностный интеграл первого рода
Пусть поверхность \(S\) задана вектором
\(\mathbf{r}\left( {u,v} \right) = x\left( {u,v} \right)\mathbf{i} + y\left( {u,v} \right)\mathbf{j} + z\left( {u,v} \right)\mathbf{k},\) где \(\left( {u,v} \right)\) принимает значения из некоторой области определения \(D\left( {u,v} \right)\) в плоскости \(Ouv\). Поверхностный интеграл первого рода от скалярной функции \(f\left( {x,y,z} \right)\) по поверхности \(S\) определяется в виде \(\large\iint\limits_S\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dS} = \large\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)}\normalsize {f\left( {x\left( {u,v} \right),y\left( {u,v} \right),z\left( {u,v} \right)} \right)\left| {\large\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial u}}\normalsize \times \large\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial v}}\normalsize} \right|dudv} ,\)
где частные производные \(\partial \mathbf{r}/\partial u\) и \(\partial \mathbf{r}/\partial v\) выражаются формулами
\(\large\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial u}}\normalsize = \large\frac{{\partial x}}{{\partial u}}\normalsize\left( {u,v} \right)\mathbf{i} + \large\frac{{\partial y}}{{\partial u}}\normalsize\left( {u,v} \right)\mathbf{j} + \large\frac{{\partial z}}{{\partial u}}\normalsize\left( {u,v} \right)\mathbf{k},\)
\(\large\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial v}}\normalsize = \large\frac{{\partial x}}{{\partial v}}\normalsize\left( {u,v} \right)\mathbf{i} + \large\frac{{\partial y}}{{\partial v}}\normalsize\left( {u,v} \right)\mathbf{j} + \large\frac{{\partial z}}{{\partial v}}\normalsize\left( {u,v} \right)\mathbf{k},\)
а \({\large\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial u}}\normalsize \times \large\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial v}}\normalsize}\) представляет собой векторное произведение.

Если поверхность \(S\) задана явным уравнением \(z = z\left( {x,y} \right)\), где \(z\left( {x,y} \right)\) − дифференцируемая функция в области \(D\left( {x,y} \right)\), то поверхностный интеграл (первого рода) записывается как
\(\large\iint\limits_S\normalsize {f\left( {x,y,z} \right)dS} = \large\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)}\normalsize {f\left( {x,y,z\left( {x,y} \right)} \right)\sqrt {1 + {{\left( {\large\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\normalsize} \right)}^2} + {{\left( {\large\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\normalsize} \right)}^2}} dxdy} .\)

Поверхностный интеграл второго рода от векторного поля \(\mathbf{F}\) по поверхности \(S\)
 •  Если поверхность \(S\) ориентирована внешней нормалью, то
\(\large\iint\limits_S\normalsize {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot d\mathbf{S}} = \large\iint\limits_S\normalsize {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot \mathbf{n}dS} = \large\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)}\normalsize {\mathbf{F}\left( {x\left( {u,v} \right),y\left( {u,v} \right),z\left( {u,v} \right)} \right) \cdot \left[ {\large\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial u}}\normalsize \times \large\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial v}}\normalsize} \right]dudv} ;\)

 •  Если поверхность \(S\) ориентирована внутренней нормалью, то
\(\large\iint\limits_S\normalsize {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot d\mathbf{S}} = \large\iint\limits_S\normalsize {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot \mathbf{n}dS} = \large\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)}\normalsize {\mathbf{F}\left( {x\left( {u,v} \right),y\left( {u,v} \right),z\left( {u,v} \right)} \right) \cdot \left[ {\large\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial v}}\normalsize \times \large\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial u}}\normalsize} \right]dudv}.\)

Здесь величина \(d\mathbf{S} = \mathbf{n}dS\) называется векторным элементом поверхности. Точка в подынтегральном выражении означает скалярное произведение соответствующих векторов. Частные производные \(\partial \mathbf{r}/\partial u\) и \(\partial \mathbf{r}/\partial v\) определяются формулами
\(\large\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial u}}\normalsize = \large\frac{{\partial x}}{{\partial u}}\normalsize\left( {u,v} \right)\mathbf{i} + \large\frac{{\partial y}}{{\partial u}}\normalsize\left( {u,v} \right)\mathbf{j} + \large\frac{{\partial z}}{{\partial u}}\normalsize\left( {u,v} \right)\mathbf{k},\)
\(\large\frac{{\partial \mathbf{r}}}{{\partial v}}\normalsize = \large\frac{{\partial x}}{{\partial v}}\normalsize\left( {u,v} \right)\mathbf{i} + \large\frac{{\partial y}}{{\partial v}}\normalsize\left( {u,v} \right)\mathbf{j} + \large\frac{{\partial z}}{{\partial v}}\normalsize\left( {u,v} \right)\mathbf{k}.\)

Если поверхность \(S\) задана явным уравнением \(z = z\left( {x,y} \right)\), где \(z\left( {x,y} \right)\) является дифференцируемой функцией в области \(D\left( {x,y} \right)\), то поверхностный интеграл (второго рода) записывается следующим образом:
 •  Если поверхность \(S\) ориентирована внешней нормалью (\(k\)-компонент вектора нормали является положительным), то
\(\large\iint\limits_S\normalsize {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot d\mathbf{S}} = \large\iint\limits_S\normalsize {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot \mathbf{n}dS} = \large\iint\limits_{D\left( {x,y} \right)}\normalsize {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot \left( { - \large\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\normalsize \mathbf{i} - \large\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\normalsize \mathbf{j} + \mathbf{k}} \right)dxdy} ;\)

 •  Если поверхность \(S\) ориентирована внутренней нормалью (\(k\)-компонент вектора нормали является отрицательным), то
\(\large\iint\limits_S\normalsize {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot d\mathbf{S}} = \large\iint\limits_S\normalsize {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot \mathbf{n}dS} = \large\iint\limits_{D\left( {x,y} \right)}\normalsize {\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) \cdot \left( { \large\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\normalsize \mathbf{i} + \large\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\normalsize \mathbf{j} - \mathbf{k}} \right)dxdy} .\)

Поверхностный интеграл второго рода в координатной форме
\(\large\iint\limits_S\normalsize {\left( {\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}} \right)dS} = \large\iint\limits_S\normalsize {Pdydz + Qdzdx + Rdxdy} = \large\iint\limits_S\normalsize {\left( {P\cos \alpha + Q\cos \beta + R\cos \gamma } \right)dS} ,\)
где \(P\left( {x,y,z} \right)\), \(Q\left( {x,y,z} \right)\), \(R\left( {x,y,z} \right)\) − компоненты векторного поля \(\mathbf{F}\), а \(\cos \alpha\), \(\cos \beta\), \(\cos \gamma\) − направляющие косинусы внешней нормали \(\mathbf{n}\) к поверхности \(S\).

Поверхностный интеграл второго рода в параметрической форме
Если поверхность \(S\) задана в параметрической форме вектором \(\mathbf{r}\left( {x\left( {u,v} \right),y\left( {u,v} \right),z\left( {u,v} \right)} \right)\), то поверхностный интеграл записывается в виде
\(\large\iint\limits_S\normalsize {\left( {\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}} \right)dS} = \large\iint\limits_S\normalsize {Pdydz + Qdzdx + Rdxdy} = \large\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)}\normalsize {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} P & Q & R\\ {\large\frac{{\partial x}}{{\partial u}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial y}}{{\partial u}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial z}}{{\partial u}}\normalsize}\\ {\large\frac{{\partial x}}{{\partial v}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial y}}{{\partial v}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial z}}{{\partial v}}\normalsize} \end{array}} \right|} dudv,\)
где \(\left( {u,v} \right)\) принимает значения в области \(D\left( {u,v} \right)\) в плоскости \(Ouv\).

Теорема Остроградского-Гаусса
\(\large\iint\limits_S\normalsize {\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}} = \large\iiint\limits_G\normalsize {\left( {\nabla \cdot \mathbf{F}} \right)dV} ,\)
где \(\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) = \left( {P\left( {x,y,z} \right),Q\left( {x,y,z} \right),R\left( {x,y,z} \right)} \right)\) − векторное поле, компоненты \(P\), \(Q\), \(R\) которого имеют непрерывные частные производные, а через
\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \large\frac{{\partial P}}{{\partial x}}\normalsize + \large\frac{{\partial Q}}{{\partial y}}\normalsize + \large\frac{{\partial R}}{{\partial z}}\normalsize\)
обозначена дивергенция поля \(\mathbf{F}\). В формуле Остроградского-Гаусса поверхностный интеграл вычисляется по замкнутой поверхности.

Формула Остроградского-Гаусса в координатной форме  
\(\large\iint\limits_S\normalsize {Pdydz + Qdzdx + Rdxdy} = \large\iiint\limits_G\normalsize {\left( {\large\frac{{\partial P}}{{\partial x}}\normalsize + \large\frac{{\partial Q}}{{\partial y}}\normalsize + \large\frac{{\partial R}}{{\partial z}}\normalsize} \right)dxdydz} \)

Теорема Стокса
\(\large\oint\limits_C\normalsize {\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}} = \iint\limits_S {\left( {\nabla \times \mathbf{F}} \right) \cdot d\mathbf{S}} ,\)
где \(\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) = \left( {P\left( {x,y,z} \right),Q\left( {x,y,z} \right),R\left( {x,y,z} \right)} \right)\) является векторным полем, компоненты \(P\), \(Q\), \(R\) которого имеют непрерывные частные производные, а через
\(\nabla \times \mathbf{F} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ {\large\frac{\partial }{{\partial x}}\normalsize} & {\large\frac{\partial }{{\partial y}}\normalsize} & {\large\frac{\partial }{{\partial z}}\normalsize}\\ P & Q & R \end{array}} \right| = \left( {\large\frac{{\partial R}}{{\partial y}}\normalsize - \large\frac{{\partial Q}}{{\partial z}}\normalsize} \right)\mathbf{i} + \left( {\large\frac{{\partial P}}{{\partial z}}\normalsize - \large\frac{{\partial R}}{{\partial x}}\normalsize} \right)\mathbf{j} + \left( {\large\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\normalsize - \large\frac{{\partial P}}{{\partial y}}\normalsize} \right)\mathbf{k}\)
обозначен ротор векторного поля \(\mathbf{F}\). Криволинейный интеграл в левой части формулы Стокса вычисляется по замкнутому контуру.

Формула Стокса в координатной форме  
\(\large\oint\limits_C\normalsize {Pdx + Qdy + Rdz} = \large\iint\limits_S\normalsize {\left( {\large\frac{{\partial R}}{{\partial y}}\normalsize - \large\frac{{\partial Q}}{{\partial z}}\normalsize} \right)dydz + \left( {\large\frac{{\partial P}}{{\partial z}}\normalsize - \large\frac{{\partial R}}{{\partial x}}\normalsize} \right)dzdx + \left( {\large\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\normalsize - \large\frac{{\partial P}}{{\partial y}}\normalsize} \right)dxdy} \)

Площадь поверхности  
\(A = \large\iint\limits_S\normalsize {dS} \)

Если поверхность \(S\) задана в параметрической форме вектором \(\mathbf{r}\left( {u,v} \right) = x\left( {u,v} \right)\mathbf{i} + y\left( {u,v} \right)\mathbf{j} + z\left( {u,v} \right)\mathbf{k},\) то площадь поверхности выражается формулой
\(A = \large\iint\limits_{D\left( {u,v} \right)}\normalsize {\left| {\large\frac{{\partial r}}{{\partial u}}\normalsize \times \large\frac{{\partial r}}{{\partial v}}\normalsize} \right|dudv} ,\)
где \(D\left( {u,v} \right)\) является областью, в которой задана поверхность \(\mathbf{r}\left( {u,v} \right)\).

Если поверхность \(S\) задана в явном виде функцией \(z\left( {x,y} \right)\), то площадь поверхности равна
\(A = \large\iint\limits_{D\left( {x,y} \right)}\normalsize {\sqrt {1 + {{\left( {\large\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\normalsize} \right)}^2} + {{\left( {\large\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\normalsize} \right)}^2}} dxdy} ,\)
где \(D\left( {x,y} \right)\) является проекцией поверхности \(S\) на плоскость \(Oxy\).

Масса поверхности  
\(m = \large\iint\limits_S\normalsize {\mu \left( {x,y,z} \right)dS} ,\)
где \({\mu \left( {x,y,z} \right)}\) − масса на единицу площади (функция плотности).

Координаты центра масс поверхности  
\({x_C} = \large\frac{{{M_{yz}}}}{m}\normalsize\),  \({y_C} = \large\frac{{{M_{xz}}}}{m}\normalsize\), \({z_C} = \large\frac{{{M_{xy}}}}{m}\normalsize\),  где
\({M_{yz}} = \large\iint\limits_S\normalsize {x\mu \left( {x,y,z} \right)dS} \),  \({M_{xz}} = \large\iint\limits_S\normalsize {y\mu \left( {x,y,z} \right)dS} \),  \({M_{xy}} = \large\iint\limits_S\normalsize {z\mu \left( {x,y,z} \right)dS} \)
− первые моменты поверхности относительно координатных плоскостей \(x = 0\), \(y = 0\), \(z = 0\), соответственно, \({\mu \left( {x,y,z} \right)}\) − функция плотности.

Моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей
Моменты инерции относительно плоскостей \(Oxy\) (или \(z = 0\)), \(Oyz\) (\(x = 0\)), \(Oxz\) (\(y = 0\)) выражаются, соответственно, формулами
\({I_{xy}} = \large\iint\limits_S\normalsize {{z^2}\mu \left( {x,y,z} \right)dS} \),  \({I_{yz}} = \large\iint\limits_S\normalsize {{x^2}\mu \left( {x,y,z} \right)dS} \),  \({I_{xz}} = \large\iint\limits_S\normalsize {{y^2}\mu \left( {x,y,z} \right)dS}.\)

Моменты инерции поверхности относительно координатных осей
Моменты инерции поверхности относительно осей \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) вычисляются по формулам
\({I_x} = \large\int\limits_S\normalsize {\left( {{y^2} + {z^2}} \right)\mu \left( {x,y,z} \right)dS} \),  \({I_y} = \large\int\limits_S\normalsize {\left( {{x^2} + {z^2}} \right)\mu \left( {x,y,z} \right)dS} \),  \({I_z} = \large\int\limits_S\normalsize {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\mu \left( {x,y,z} \right)dS}. \)

Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью  
\(V = \large\frac{1}{3}\normalsize\left| {\large\iint\limits_S\normalsize {xdydz + ydxdz + zdxdy} } \right|\)

Сила притяжения между поверхностью и точечным телом  
\(\vec{F} = Gm\large\iint\limits_S\normalsize {\mu \left( {x,y,z} \right)\large\frac{\mathbf{r}}{{{r^3}}}\normalsize dS} ,\)
где \(m\) − масса точечного тела, \({\mu \left( {x,y,z} \right)}\) − функция плотности, \(G\) − гравитационная постоянная, \(\mathbf{r} = \left( {x - {x_0},y - {y_0},z - {z_0}} \right)\).

Сила давления  
\(\vec{F} = \large\iint\limits_S\normalsize {p\left( \mathbf{r} \right)d\mathbf{S}} ,\)
где давление \(p\left( \mathbf{r} \right)\) действует на поверхность \(S\), заданную позиционным вектором \(\mathbf{r}\).

Поток жидкости через замкнутую поверхность \(S\)
\(\Phi = \large\iint\limits_S\normalsize {\mathbf{v}\left( \mathbf{r} \right) \cdot d\mathbf{S}} ,\)
где \(\mathbf{v}\left( \mathbf{r} \right)\) − скорость жидкости.

Поток вещества через замкнутую поверхность \(S\)
\(\Phi = \large\iint\limits_S\normalsize {\rho\mathbf{v}\left( \mathbf{r} \right) \cdot d\mathbf{S}} ,\)
где \(\mathbf{F} = \rho \mathbf{v}\) − векторное поле, \(\rho\) − плотность вещества.

Заряд поверхности
\(Q = \large\iint\limits_S\normalsize {\sigma \left( {x,y} \right)dS} ,\)
где \({\sigma \left( {x,y} \right)}\) − поверхностная плотность заряда.

Теорема Гаусса
Поток электрического поля через любую замкнутую поверхность пропорционален величине заряда, ограниченного данной поверхностью:
\(\Phi = \large\iint\limits_S\normalsize {\mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}} = \large\frac{Q}{{{\varepsilon _0}}}\normalsize,\)
где \(\mathbf{E}\)− напряженность электрического поля, \(\Phi\) − поток электрического поля, \({\varepsilon_0} = 8,85 \times 10^{-12} \text{Ф/м}\)  − диэлектрическая проницаемость вакуума.