Двойной интеграл от функции \(f\left( {x,y} \right)\) в прямоугольной области \(\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right]\) определяется как предел интегральной суммы (суммы Римана):
\(\require{AMSmath.js}\large\iint\limits_{\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right]}\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA} = \lim\limits_{\substack{ \text{max}\,\Delta {x_i} \to 0\\ \text{max}\,\Delta {y_j} \to 0}} \sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n {f\left( {{u_i},{v_j}} \right)\Delta {x_i}\Delta {y_j}} } ,\)

где \({\left( {{u_i},{v_j}} \right)}\) обозначает некоторую точку в прямоугольнике \(\left( {{x_{i - 1}},{x_i}} \right) \times \left( {{y_{j - 1}},{y_j}} \right)\) и \(\Delta {x_i} = {x_i} - {x_{i - 1}}\), \(\Delta {y_j} = {y_j} - {y_{j - 1}}\).

Двойной интеграл от функции \(f\left( {x,y} \right)\) в произвольной области \(R\) определяется как \(\large\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA} = \large\iint\limits_{\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right]}\normalsize {g\left( {x,y} \right)dA},\)

где прямоугольник \(\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right]\) содержит область \(R\), функция \(g\left( {x,y} \right) = f\left( {x,y} \right)\), если \(f\left( {x,y} \right)\) находится в \(R\), и \(g\left( {x,y} \right) = 0\) в противном случае.

Двойной интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:
\(\large\iint\limits_R\normalsize {\left[ {f\left( {x,y} \right) + g\left( {x,y} \right)} \right]dA} = \large\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA} + \large\iint\limits_R\normalsize {g\left( {x,y} \right)dA} \)

Двойной интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций:
\(\large\iint\limits_R\normalsize {\left[ {f\left( {x,y} \right) - g\left( {x,y} \right)} \right]dA} = \large\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA} - \large\iint\limits_R\normalsize {g\left( {x,y} \right)dA} \)

Постоянный коэффициент можно выносить за знак двойного интеграла:
\(\large\iint\limits_R\normalsize {kf\left( {x,y} \right)dA} = k\large\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA} \)

Если \(f\left( {x,y} \right) \le g\left( {x,y} \right)\) в области \(R\), то справедливо неравенство
\(\large\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA} \le \large\iint\limits_R\normalsize {g\left( {x,y} \right)dA} \)

Если \(f\left( {x,y} \right) \ge 0\) в области \(R\) и \(S \subset R\), то
\(\large\iint\limits_S\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA} \le \large\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA} \)

Если \(f\left( {x,y} \right) \ge 0\) в области \(R\), а \(R\) и \(S\) − непересекающиеся области, то
\(\large\iint\limits_{R \cup S}\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA} = \large\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA} + \large\iint\limits_S\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA} \)

Здесь \({R \cup S}\) является объединением областей интегрирования \(R\) и \(S\).

Повторный интеграл в области типа I
\(\large\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA} = \large\int\limits_a^b\normalsize {\large\int\limits_{p\left( x \right)}^{q\left( x \right)}\normalsize {f\left( {x,y} \right)dy\,dx} } \)

где область интегрирования \(R\) определяется неравенствами
\(R = \left\{ \left( {x,y} \right) \mid a \le x \le b,\;p \left( x \right) \le y \le q\left( x \right)\right\}\).

Повторный интеграл в области типа II
\(\large\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA} = \large\int\limits_c^d\normalsize {\large\int\limits_{u\left( y \right)}^{v\left( y \right)}\normalsize {f\left( {x,y} \right)dx\,dy} } \),

где область интегрирования \(R\) определяется неравенствами
\(R = \left\{ \left( {x,y} \right) \mid u\left( y \right) \le x \le v\left( y \right),\;c \le y \le d \right\}\).

Двойной интеграл в прямоугольной области
Если \(R\) является прямоугольной областью \(\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right]\), то
\(\large\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA} = \large\int\limits_a^b\normalsize {\left( {\large\int\limits_c^d\normalsize {f\left( {x,y} \right)dy} } \right)dx} = \large\int\limits_c^d\normalsize {\left( {\large\int\limits_a^b\normalsize {f\left( {x,y} \right)dx} } \right)dy} \)

В частном случае, когда подынтегральная функция \(f\left( {x,y} \right)\) представляет собой произведение \(g\left( x \right) h\left( y \right)\), двойной интеграл можно записать в виде
\(\large\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dxdy} = \large\iint\limits_R\normalsize {g\left( x \right)h\left( y \right)dxdy} = \left( {\large\int\limits_a^b\normalsize {g\left( x \right)dx} } \right)\left( {\large\int\limits_c^d\normalsize {h\left( y \right)dy} } \right)\)

Замена переменных
\(\large\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dxdy} = \large\iint\limits_S\normalsize {f\left[ {x\left( {u,v} \right),y\left( {u,v} \right)} \right]\left| {\large\frac{{\partial \left( {x,y} \right)}}{{\partial \left( {u,v} \right)}}\normalsize} \right|dudv}, \)

где \(\left|\large\frac{{\partial \left( {x,y} \right)}}{{\partial \left( {u,v} \right)}}\normalsize\right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\large\frac{{\partial x}}{{\partial u}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial x}}{{\partial v}}\normalsize}\\ {\large\frac{{\partial y}}{{\partial u}}\normalsize} & {\large\frac{{\partial y}}{{\partial v}}\normalsize} \end{array}} \right| \ne 0\) − якобиан преобразования \(\left( {x,y} \right) \to \left( {u,v} \right)\), а \(S\) является образом области \(R\) и вычисляется подстановкой \(x = x\left( {u,v} \right)\), \(y = y\left( {u,v} \right)\) в определение \(R\).

Полярные координаты
\(x = r\cos \theta, y = r\sin \theta \)

Двойной интеграл в полярных координатах
Дифференциал \(dxdy\) в полярных координатах определяется выражением
\(dxdy = \left| {\large\frac{{\partial \left( {x,y} \right)}}{{\partial \left( {r,\theta } \right)}}\normalsize} \right|drd\theta = rdrd\theta \)

Пусть область интегрирования \(R\) определяется соотношениями \(0 \le g\left( \theta \right) \le r \le h\left( \theta \right)\), \(\alpha \le \theta \le \beta \), где \(\beta - \alpha \le 2\pi \). Тогда
\(\large\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dxdy} = \large\int\limits_\alpha ^\beta\normalsize {\large\int\limits_{g\left( \theta \right)}^{h\left( \theta \right)}\normalsize {f\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta } \right)rdrd\theta } } \)

Двойной интеграл в полярном прямоугольнике
Если область интегрирования \(R\) представляет собой полярный прямоугольник, заданный неравенствами \(0 \le a \le r \le b\), \(\alpha \le \theta \le \beta\), где \(\beta - \alpha \le 2\pi \), то двойной интеграл равен
\(\large\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dxdy} = \large\int\limits_\alpha ^\beta\normalsize {\large\int\limits_a^b\normalsize {f\left( {r\cos \theta ,r\sin \theta } \right)rdrd\theta } } \)

Площадь области типа \(I\)  
\(A = \large\int\limits_a^b\normalsize {\large\int\limits_{g\left( x \right)}^{f\left( x \right)}\normalsize {dydx} } \)

Площадь области типа \(II\)  
\(A = \large\int\limits_c^d\normalsize {\large\int\limits_{p\left( y \right)}^{q\left( y \right)}\normalsize {dxdy} } \)

Объем тела  
\(V = \large\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA} \)

Если \(R\) является областью типа \(I\), ограниченная линиями \(x = a\), \(x = b\), \(y = h\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), то
\(V = \large\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA} = \large\int\limits_a^b\normalsize {\large\int\limits_{h\left( x \right)}^{g\left( x \right)}\normalsize {f\left( {x,y} \right)dydx} } \)

Если \(R\) является областью типа \(II\) и ограничена линиями \(y = c\), \(y = d\), \(x = q\left( y \right)\), \(x = p\left( y \right)\), то
\(V = \large\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA} = \large\int\limits_c^d\normalsize {\large\int\limits_{p\left( y \right)}^{q\left( y \right)}\normalsize {f\left( {x,y} \right)dxdy} } \)

Объем тела между двумя поверхностями
Если \(f\left( {x,y} \right) \ge g\left( {x,y} \right)\) в области \(R\), то объем тела между поверхностями \({z_1}\left( {x,y} \right)\) и \({z_2}\left( {x,y} \right)\) в данной области равен
\(V = \large\iint\limits_R\normalsize {\left[ {f\left( {x,y} \right) - g\left( {x,y} \right)} \right]dA} \)

Площадь и объем в полярных координатах
Пусть область \(S\) задана в полярных координатах в плоскости \(Oxy\) и ограничена линиями \(\theta = \alpha\), \(\theta = \beta\), \(r = h\left( \theta \right)\), \(r = g\left( \theta \right)\). Пусть также в области \(S\) задана функция \(f\left( {r,\theta} \right)\). Тогда площадь области \(S\) и объем тела, ограниченного поверхностью \(f\left( {r,\theta} \right)\), определяются формулами
\(A = \large\iint\limits_S\normalsize {dA} = \large\int\limits_\alpha ^\beta\normalsize {\large\int\limits_{h\left( \theta \right)}^{g\left( \theta \right)}\normalsize {rdrd\theta } } ,\;\;V = \large\iint\limits_S\normalsize {f\left( {r,\theta } \right)rdrd\theta } \)

Площадь поверхности  
\(S = \large\iint\limits_R\normalsize {\sqrt {1 + {{\left( {\large\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\normalsize} \right)}^2} + {{\left( {\large\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\normalsize} \right)}^2}} dxdy} \)

Масса пластины  
\(m = \large\iint\limits_R\normalsize {\rho \left( {x,y} \right)dA} \)
Пластина расположена в области \(R\) и ее плотность в точке \({\left( {x,y} \right)}\) равна \({\rho \left( {x,y} \right)}\).

Статические моменты пластины
Момент пластины относительно оси \(Ox\) определяется формулой
\({M_x} = \large\iint\limits_R\normalsize {y\rho \left( {x,y} \right)dA} \)

Аналогично, момент пластины относительно оси \(Oy\) выражается в виде
\({M_y} = \large\iint\limits_R\normalsize {x\rho \left( {x,y} \right)dA} \)

Моменты инерции пластины
Момент инерции пластины относительно оси \(Ox\) вычисляется по формуле
\({I_x} = \large\iint\limits_R\normalsize {{y^2}\rho \left( {x,y} \right)dA} \)

Момент инерции пластины относительно оси \(Oy\) равен
\({I_y} = \large\iint\limits_R\normalsize {{x^2}\rho \left( {x,y} \right)dA} \)

Полярный момент инерции определяется выражением
\({I_0} = \large\iint\limits_R\normalsize {\left({x^2} + {y^2}\right) \rho \left( {x,y} \right)dA} \)

Координаты центра масс пластины  
\(\bar x = \large\frac{{{M_y}}}{m}\normalsize = \large\frac{1}{m}\normalsize \large\iint\limits_R\normalsize {x\rho \left( {x,y} \right)dA} = \large\frac{{\iint\limits_R {x\rho \left( {x,y} \right)dA} }}{{\iint\limits_R {\rho \left( {x,y} \right)dA} }}\normalsize,\;\) \(\bar y = \large\frac{{{M_x}}}{m}\normalsize = \large\frac{1}{m}\normalsize \large\iint\limits_R\normalsize {y\rho \left( {x,y} \right)dA} = \large\frac{{\iint\limits_R {y\rho \left( {x,y} \right)dA} }}{{\iint\limits_R {\rho \left( {x,y} \right)dA} }}\normalsize \).

Заряд пластины  
\(Q = \large\iint\limits_R\normalsize {\sigma \left( {x,y} \right)dA} \),
где электрический заряд распределен по области \(R\) и его плотность в точке \({\left( {x,y} \right)}\) равна \({\sigma \left( {x,y} \right)}\).

Среднее значение функции  
\(\mu = \large\frac{1}{S}\iint\limits_R\normalsize {f\left( {x,y} \right)dA},\;\) где  \(S = \large\iint\limits_R\normalsize {dA} \).