Реактивное движение

В данном разделе мы будем рассматривать движение тел переменной массы. Такой вид движения часто встречается в природе и в технических системах. В качестве примеров, можно упомянуть:

• Падение испаряющейся капли;

• Перемещение тающего айсберга по поверхности океана;

• Движение кальмара или медузы;

• Полет ракеты.

Ниже мы выведем простое дифференциальное уравнение, описывающее движение тела переменной массы, рассматривая полет ракеты. Реактивное движение основано на третьем законе Ньютона, в соответствии с которым "сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия". Горячие газы, вырываясь из сопла ракеты, образуют силу действия. Сила реакции, действующая в противоположном направлении, называется силой тяги. Эта сила как раз и обеспечивает ускорение ракеты.

Пусть начальная масса ракеты равна \(m,\) а ее начальная скорость составляет \(v.\) Через некоторое время \(dt\) масса ракеты уменьшится на величину \(dm\) в результате сгорания топлива. Это приведет к увеличению скорости ракеты на \(dv.\) Применим закон сохранения импульса к системе "ракета + поток газа". В начальный момент времени импульс системы равен \(mv.\) Через малое время \(dt\) импульс ракеты будет составлять \[{p_1} = \left( {m - dm} \right)\left( {v + dv} \right),\] а импульс, связанный с выхлопными газами, в системе координат относительно Земли будет равен \[{p_2} = dm\left( {v - u} \right),\] где \(u\) − скорость истечения газов относительно Земли. Здесь мы учли, что скорость истечения газов направлена в сторону, противоположную скорости движения ракеты (рисунок \(1\)). Поэтому, перед \(u\) поставлен знак "минус".

В соответствии с законом о сохранении полного импульса системы, можно записать: \[ {p = {p_1} + {p_2},}\;\; {\Rightarrow mv = \left( {m - dm} \right)\left( {v + dv} \right) + dm\left( {v - u} \right).} \] Преобразуя данное уравнение, получаем: \[\require{cancel} \cancel{\color{blue}{mv}} = \cancel{\color{blue}{mv}} - \cancel{\color{red}{vdm}} + mdv - dmdv + \cancel{\color{red}{vdm}} - udm. \] В последнем уравнении можно пренебречь слагаемым \(dmdv,\) рассматривая малые изменения этих величин. В результате уравнение запишется в виде \[mdv = udm.\] Разделим обе части на \(dt,\) чтобы преобразовать уравнение в форму второго закона Ньютона: \[m\frac{{dv}}{{dt}} = u\frac{{dm}}{{dt}}.\] Данное уравнение называется дифференциальным уравнением реактивного движения. Правая часть уравнения представляет собой силу тяги \(T:\) \[T = u\frac{{dm}}{{dt}}.\] Из полученной формулы видно, что силя тяги пропорциональна скорости истечения газов и скорости сгорания топлива. Конечно, это дифференциальное уравнение описывает идеальный случай. Оно не учитывает силу тяжести и аэродинамическую силу. Их учет приводит к значительному усложнению дифференциального уравнения. Если мы проинтегрируем выведенное выше дифференциальное уравнение, то получим зависимость скорости ракеты от массы сгоревшего топлива. Результирующая формула называется идеальным уравнением реактивного движения или формулой Циолковского, который вывел ее в \(1897\) году.

Чтобы получить указанную формулу, удобно переписать дифференциальное уравнение в следующем виде: \[mdv = udm.\] Разделяя переменные и интегрируя, находим: \[ {dv = u\frac{{dm}}{m},}\;\; {\Rightarrow \int\limits_{{v_0}}^{{v_1}} {dv} = \int\limits_{{m_0}}^{{m_1}} {u\frac{{dm}}{m}} .} \] Заметим, что \(dm\) обозначает уменьшение массы. Поэтому, возьмем приращение \(dm\) с отрицательным знаком. В результате, уравнение принимает вид: \[ {\left. v \right|_{{v_0}}^{{v_1}} = - u\left. {\left( {\ln m} \right)} \right|_{{m_0}}^{{m_1}},}\;\; {\Rightarrow {v_1} - {v_0} = u\ln \frac{{{m_0}}}{{{m_1}}}.} \] где \({v_0}\) и \({v_1}\) − начальная и конечная скорость ракеты, а \({m_0}\) и \({m_1}\) − начальная и конечная масса ракеты, соответственно.

Полагая \({v_0} = 0,\) получим формулу, выведенную Циолковским: \[v = u\ln \frac{{{m_0}}}{m}.\] Данная формула определяет скорость ракеты в зависимости от изменения ее массы по мере сгорания топлива. С помощью этой формулы можно грубо оценить запас топлива, необходимый для ускорения ракеты до определенной скорости.

   Пример 1

Оценить массу топлива, необходимую для запуска небольшого "наноспутника" массой \(50\;\text{кг}\) на низкую орбиту с помощью одноступенчатой ракеты. Удельный импульс ракеты равен \(3000\,\large\frac{\text{м}}{\text{с}}\normalsize.\) Для грубой оценки можно воспользоваться формулой Циолковского: \[v = u\ln \frac{{{m_0}}}{m}.\] Скорость истечения газов приблизительно равна удельному импульсу, так что можно положить: \[u = 3000\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.\] Конечная масса спутника составляет \(m = 50\,\text{кг}.\) Начальная масса \({m_0}\) включает массу самого спутника \(m\) и массу топлива \({m_p}:\) \[{m_0} = m + {m_p}.\] Предположим, что скорость спутника \(v\) на низкой околоземной орбите равна первой космической скорости \(7.91\,{\large\frac{\text{км}}{\text{с}}\normalsize} = 7910\,{\large\frac{\text{м}}{\text{с}}\normalsize}.\)

Выразим необходимую массу топлива \({m_p}\) через остальные параметры и вычислим ее значение: \[ {v = u\ln \frac{{m + {m_p}}}{m},}\;\; {\Rightarrow \frac{v}{u} = \ln \left( {1 + \frac{{{m_p}}}{m}} \right),}\;\; {\Rightarrow 1 + \frac{{{m_p}}}{m} = {e^{\large\frac{v}{u}\normalsize}},}\;\; {\Rightarrow {m_p} = m\left( {{e^{\large\frac{v}{u}\normalsize}} - 1} \right) } = {50\left( {{e^{\large\frac{{7910}}{{3000}}\normalsize}} - 1} \right) } \approx {50\left( {13.97 - 1} \right) } \approx {700\left[ \text{кг} \right].} \] Таким образом, масса топлива, необходимая для запуска нашего спутника будет равна примерно \(700\,\text{кг}\) (в \(14\) раз больше массы самого спутника). Конечно, это скорее оценка нижней границы массы, поскольку она основана на идеальном уравнении реактивного движения.

   Пример 2

Оценить ускорение ракеты в момент времени, когда космический корабль достигает орбиты. Принять следующие значения параметров: удельный импульс (скорость истечения газов) \(u = 3000\,{\large\frac{\text{м}}{\text{с}}\normalsize},\) масса космического корабля на орбите \(m = 5000\,\text{кг},\) скорость сгорания топлива в ракете \(\mu = 100\,{\large\frac{\text{кг}}{\text{с}}\normalsize}.\) Снова применим формулу Циолковского: \[v = u\ln \frac{{{m_0}}}{m}.\] В этой формуле скорость ракеты \(v\) зависит от ее массы \(m\left( t \right),\) которая уменьшается по мере сгорания топлива. Для простоты предположим, что скорость сгорания топлива является постоянной, так что зависимость массы ракеты от времени будет описываться линейной функцией: \[m\left( t \right) = {m_0} - \mu t.\] Конечная масса космического корабля \(m\) известна в данной задаче. Полагая, что скорость истечения газов также является постоянной, можно записать следующее выражение на основе формулы Циолковского: \[v\left( t \right) = u\ln \frac{{{m_0}}}{{{m_0} - \mu t}}.\] Дифференцируя по времени \(t,\) найдем ускорение ракеты: \[ {\frac{{dv}}{{dt}} = a\left( t \right) } = {u\frac{1}{{\frac{{{m_0}}}{{{m_0} - \mu t}}}} \cdot \frac{{\left( { - {m_0}} \right)\left( { - \mu } \right)}}{{{{\left( {{m_0} - \mu t} \right)}^2}}} } = {\frac{{u\cancel{\left( {{m_0} - \mu t} \right)}\cancel{m_0}\mu }}{{\cancel{m_0}{{\left( {{m_0} - \mu t} \right)}^{\cancel{2}}}}} } = {\frac{{u\mu }}{{{m_0} - \mu t}}.} \] Таким образом, мы получили формулу для ускорения ракеты: \[a\left( t \right) = \frac{{u\mu }}{{{m_0} - \mu t}}.\] Интересно, что ускорение ракеты \(a\) увеличивается при увеличении любого из трех параметров (времени \(t,\) скорости сгорания топлива \(\mu\) и скорости истечения газов \(u\)). Это легко доказать, вычислив частные производные по каждой переменной. Например, частная производная по времени \(t\) определяется выражением: \[ {\frac{{\partial a}}{{\partial t}} = - \frac{{u\mu }}{{{{\left( {{m_0} - \mu t} \right)}^2}}} \cdot \left( { - \mu } \right) } = {\frac{{u{\mu ^2}}}{{{{\left( {{m_0} - \mu t} \right)}^2}}} > 0.} \] Аналогично, частная производная по \(\mu\) имеет вид: \[ {\frac{{\partial a}}{{\partial \mu }} } = {\frac{{u\left( {{m_0} - \mu t} \right) - u\mu \left( { - t} \right)}}{{{{\left( {{m_0} - \mu t} \right)}^2}}} } = {\frac{{u{m_0} - \cancel{u\mu t} + \cancel{u\mu t}}}{{{{\left( {{m_0} - \mu t} \right)}^2}}} = \frac{{u{m_0}}}{{{{\left( {{m_0} - \mu t} \right)}^2}}} > 0.} \] Оценим ускорение ракеты в момент, когда она достигает орбиты, полагая что ее масса равна \(m = 5000\,\text{кг}:\) \[ {a = \frac{{u\mu }}{{{m_0} - \mu t}} } = {\frac{{u\mu }}{m} } = {\frac{{3000 \cdot 100}}{{5000}} } = {60\,\frac{\text{м}}{{{\text{с}^2}}} \approx 6\,g.} \] Итак, на финальном участке траектории ракета может испытывать большое ускорение. Поскольку она представляет собой неинерциальную систему отсчета, то на космонавтов будет действовать соответствующая сила инерции, направленная противоположно ускорению (т.е. в сторону Земли). Как видно, перегрузки, испытываемые космонавтами, могут достигать несколько единиц \(g.\)