Ряд Тейлора
Если функция \(f\left( x \right)\) имеет непрерывные производные до \(\left( {n + 1} \right)\)-го порядка включительно, то ее можно разложить в степенной ряд в точке \(x = a\) по формуле Тейлора:
\(f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{f^{\left( n \right)}}\left( a \right)\large\frac{{{{\left( {x - a} \right)}^n}}}{{n!}}\normalsize} = f\left( a \right) + f'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + \large\frac{{f''\left( a \right){{\left( {x - a} \right)}^2}}}{{2!}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( a \right){{\left( {x - a} \right)}^n}}}{{n!}}\normalsize + {R_n},\)
где остаточный член \({R_n}\) в форме Лагранжа определяется выражением
\({R_n} = \large\frac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( \xi \right){{\left( {x - a} \right)}^{n + 1}}}}{{\left( {n + 1} \right)!}}\normalsize,\;\;a < \xi < x.\)

Если данное разложение сходится в некотором интервале \(x\) с центром в точке \(a\), т.е. \(\lim\limits_{n \to \infty } {R_n} = 0\), то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции \(f\left( x \right)\) в окрестности точки \(a\).

Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора, когда разложение в степенной ряд производится в точке \(a = 0\):
\(f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{f^{\left( n \right)}}\left( 0 \right)\large\frac{{{x^n}}}{{n!}}}\normalsize = f\left( 0 \right) + f'\left( 0 \right)x + \large\frac{{f''\left( 0 \right){x^2}}}{{2!}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( 0 \right){x^n}}}{{n!}}\normalsize + {R_n}.\)

Ниже приводятся разложения некоторых функций в ряд Маклорена.

\({e^x} = 1 + x + \large\frac{{{x^2}}}{{2!}}\normalsize + \large\frac{{{x^3}}}{{3!}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{{x^n}}}{{n!}}\normalsize + \ldots \)  

\({a^x} = 1 + \large\frac{{x\ln a}}{{1!}}\normalsize + \large\frac{{{{\left( {x\ln a} \right)}^2}}}{{2!}}\normalsize + \large\frac{{{{\left( {x\ln a} \right)}^3}}}{{3!}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{{{\left( {x\ln a} \right)}^n}}}{{n!}}\normalsize + \ldots \)  

\(\ln \left( {1 + x} \right) = x - \large\frac{{{x^2}}}{2}\normalsize + \large\frac{{{x^3}}}{3}\normalsize - \large\frac{{{x^4}}}{4}\normalsize + \ldots + \large\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\normalsize \pm \ldots ,\;\; - 1 < x \le 1\)  

\(\ln \large\frac{{1 + x}}{{1 - x}}\normalsize = 2\left( {x + \large\frac{{{x^3}}}{3}\normalsize + \large\frac{{{x^5}}}{5}\normalsize + \large\frac{{{x^7}}}{7}\normalsize + \ldots } \right),\;\;\left| x \right| < 1\)  

\(\ln x = 2\left[ {\large\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\normalsize + \large\frac{1}{3}\normalsize {{\left( {\large\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\normalsize} \right)}^3} + \large\frac{1}{5}\normalsize{{\left( {\large\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\normalsize} \right)}^5} + \ldots } \right],\;\;x > 0\)  

\(\cos x = 1 - \large\frac{{{x^2}}}{{2!}}\normalsize + \large\frac{{{x^4}}}{{4!}}\normalsize - \large\frac{{{x^6}}}{{6!}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{2n}}}}{{\left( {2n} \right)!}}\normalsize \pm \ldots \)  

\(\sin x = x - \large\frac{{{x^3}}}{{3!}}\normalsize + \large\frac{{{x^5}}}{{5!}}\normalsize - \large\frac{{{x^7}}}{{7!}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{2n + 1}}}}{{\left( {2n + 1} \right)!}}\normalsize \pm \ldots \)  

\(\tan x = x + \large\frac{{{x^3}}}{3}\normalsize + \large\frac{{2{x^5}}}{{15}}\normalsize + \large\frac{{17{x^7}}}{{315}}\normalsize + \large\frac{{62{x^9}}}{{2835}}\normalsize + \ldots ,\;\;\left| x \right| < \large\frac{\pi }{2}\normalsize\) 

\(\cot x = \large\frac{1}{x}\normalsize - \left( {\large\frac{x}{3}\normalsize + \large\frac{{{x^3}}}{{45}}\normalsize + \large\frac{{2{x^5}}}{{945}}\normalsize + \large\frac{{2{x^7}}}{{4725}}\normalsize + \ldots } \right),\;\;\left| x \right| < \pi \)  

\(\arcsin x = x + \large\frac{{{x^3}}}{{2 \cdot 3}}\normalsize + \large\frac{{1 \cdot 3{x^5}}}{{2 \cdot 4 \cdot 5}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots \left( {2n - 1} \right){x^{2n + 1}}}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots \left( {2n} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\normalsize + \ldots ,\;\;\left| x \right| < 1\) 

\(\arccos x = \large\frac{\pi }{2}\normalsize - \left( {x + \large\frac{{{x^3}}}{{2 \cdot 3}}\normalsize + \large\frac{{1 \cdot 3{x^5}}}{{2 \cdot 4 \cdot 5}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots \left( {2n - 1} \right){x^{2n + 1}}}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots \left( {2n} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\normalsize + \ldots} \right) ,\;\;\left| x \right| < 1\) 

\(\arctan x = x - \large\frac{{{x^3}}}{3}\normalsize + \large\frac{{{x^5}}}{5}\normalsize - \large\frac{{{x^7}}}{7}\normalsize + \ldots + \large\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{2n + 1}}}}{{2n + 1}}\normalsize \pm \ldots ,\;\;\left| x \right| \le 1\)  

\(\cosh x = 1 + \large\frac{{{x^2}}}{{2!}}\normalsize + \large\frac{{{x^4}}}{{4!}}\normalsize + \large\frac{{{x^6}}}{{6!}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{{x^{2n}}}}{{\left( {2n} \right)!}}\normalsize + \ldots \) 

\(\sinh x = x + \large\frac{{{x^3}}}{{3!}}\normalsize + \large\frac{{{x^5}}}{{5!}}\normalsize + \large\frac{{{x^7}}}{{7!}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{{x^{2n + 1}}}}{{\left( {2n + 1} \right)!}}\normalsize + \ldots \)