Простейшие правила дифференцирования

Операция дифференцирования или нахождения производной функции обладает фундаментальным свойством линейности. Это свойство упрощает нахождение производных функций, которые образованы из основных элементарных функций с помощью операций сложения и умножения на постоянное число. Простейшие правила дифференцирования позволяют вычислять производные таких функций без использования формального определения производной. Рассмотрим эти правила более подробно. Если \(f\left( x \right) = C\), то \[f'\left( x \right) = C' = 0.\] Доказательство этого правила рассмотрено на странице Определение производной. Пусть \(k\) некоторая константа. Если \(f\left( x \right)\) - дифференцируемая функция, то произведение \(kf\left( x \right)\) также дифференцируемо и \[{\left( {kf\left( x \right)} \right)^\prime } = kf'\left( x \right).\] Пусть \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\) являются дифференцируемыми функциями. Тогда сумма двух функций также дифференцируема и \[{\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)^\prime } = f'\left( x \right) + g'\left( x \right).\] Пусть \(n\) функций \({f_1}\left( x \right)\), \({f_2}\left( x \right)\), \(\ldots\), \({f_n}\left( x \right)\) являются дифференцируемыми. Тогда их сумма также дифференцируема и \[ {{\left[ {{f_1}\left( x \right) + {f_2}\left( x \right) + \ldots + {f_n}\left( x \right)} \right]^\prime } } = {{f_1}^\prime \left( x \right) + {f_2}^\prime \left( x \right) + \ldots + {f_n}^\prime \left( x \right).} \] Из приведенных выше правил следует, что производная разности функций равна разности производных при условии дифференцируемости данных функций: \[{\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)^\prime } = f'\left( x \right) - g'\left( x \right).\] Можно сформулировать более общее свойство:

Предположим, что \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right)\) являются дифференцируемыми функциями, а \(a\) и \(b\) - произвольными действительными числами. Тогда функция \(h\left( x \right) = af\left( x \right) + bg\left( x \right)\) также дифференцируема и \[h'\left( x \right) = af'\left( x \right) + bg'\left( x \right).\] Добавим в данный список еще одно простое правило: Если \(f\left( x \right) = x\), то \[f'\left( x \right) = {\left( x \right)^\prime } = 1.\] Вывод этой формулы также приведен на странице Определение производной.

   Пример 1

Найти производную функции \(y = {x^2} - 5x\). Применяя линейные правила дифференцирования, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{x^2} - 5x} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^2}} \right)^\prime } - {\left( {5x} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^2}} \right)^\prime } - 5{\left( x \right)^\prime } } = {2x - 5 \cdot 1 = 2x - 5.} \]

   Пример 2

Найти производную функции \(y = \large\frac{{ax + b}}{{a + b}}\normalsize\), где \(a\) и \(b\) - константы. \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{{ax + b}}{{a + b}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{a + b}} \cdot {\left( {ax + b} \right)^\prime } = \frac{a}{{a + b}}.} \]

   Пример 3

Найти производную функции \(y = 2\sqrt x - 3\sin x\). Используя простейшие правила дифференцирования, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {2\sqrt x - 3\sin x} \right)^\prime } } = {{\left( {2\sqrt x } \right)^\prime } - {\left( {3\sin x} \right)^\prime } } = {2{\left( {\sqrt x } \right)^\prime } - 3{\left( {\sin x} \right)^\prime } } = {2 \cdot \frac{1}{{2\sqrt x }} - 3\cos x } = {\frac{1}{{\sqrt x }} - 3\cos x.} \]

   Пример 4

Найти производную функции \(y = 3\sin x + 2\cos x\). Данное выражение представляет собой линейную комбинацию двух тригонометрических функций. Производная имеет следующий вид: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {3\sin x + 2\cos x} \right)^\prime } } = {{\left( {3\sin x} \right)^\prime } + {\left( {2\cos x} \right)^\prime } } = {3{\left( {\sin x} \right)^\prime } + 2{\left( {\cos x} \right)^\prime } } = {3 \cdot \cos x + 2 \cdot \left( { - \sin x} \right) } = {3\cos x - 2\sin x.} \]

   Пример 5

Пусть \(y = x + \left| {{x^2} - 8} \right|\). Найти производную функции в точке \(x = 3\). Поскольку \({3^2} - 8 = 1 > 0\), то функция в точке \(x = 3\) эквивалентна \[y\left( x \right) = x + {x^2} - 8.\] Производная данной функции равна \[ {y'\left( x \right) = {\left( {x + {x^2} - 8} \right)^\prime } } = {x' + {\left( {{x^2}} \right)^\prime } - 8' } = {1 + 2x + 0 = 2x + 1.} \] В точке \(x = 3\) значение производной равно \[y'\left( 3 \right) = 2 \cdot 3 + 1 = 7.\]

   Пример 6

Найти производную функции \(y = \large\frac{2}{{3x}}\normalsize + 3{x^4}\). Применяя линейные свойства производной, получаем следующий ответ: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{{3x}} + 3{x^4}} \right)^\prime } } = {{\left( {\frac{2}{{3x}}} \right)^\prime } + {\left( {3{x^4}} \right)^\prime } } = {\frac{2}{3}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } + 3{\left( {{x^4}} \right)^\prime } } = {\frac{2}{3} \cdot \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 3 \cdot 4{x^3} } = { - \frac{2}{{3{x^2}}} + 12{x^3} = 12{x^3} - \frac{2}{{3{x^2}}}.} \]

   Пример 7

Найти производную функции \(y = \sqrt[3]{x} + 8x\). Используя приведенные выше формулы дифференцирования, имеем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\sqrt[3]{x} + 8x} \right)^\prime } } = {{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)^\prime } + {\left( {8x} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^{\frac{1}{3}}}} \right)^\prime } + 8{\left( x \right)^\prime }.} \] Здесь первое слагаемое является степенной функцией с показателем \(1/3\). Тогда для производной получаем следующее выражение: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{x^{\frac{1}{3}}}} \right)^\prime } + 8{\left( x \right)^\prime } } = {\frac{1}{3}{x^{\frac{1}{3} - 1}} + 8 \cdot 1 } = {\frac{1}{3}{x^{ - \frac{2}{3}}} + 8 } = {\frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + 8.} \]

   Пример 8

Вычислить производную следующей функции \(y = \left( {2 - \large\frac{x}{3}\normalsize} \right)\left( {\large\frac{1}{3}\normalsize + {x^2}} \right)\). Чтобы решить данный пример с помощью рассмотренных выше правил дифференцирования, перемножим обе скобки и запишем функцию в таком виде: \[ y\left( x \right) = \left( {2 - \frac{x}{3}} \right)\left( {\frac{1}{3} + {x^2}} \right) = \frac{2}{3} - \frac{x}{9} + 2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}. \] Теперь легко найти производную: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{3} - \frac{x}{9} + 2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)^\prime } } = {{\left( {\frac{2}{3}} \right)^\prime } - {\left( {\frac{x}{9}} \right)^\prime } + {\left( {2{x^2}} \right)^\prime } - {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)^\prime } } = {0 - \frac{1}{9}{\left( x \right)^\prime } + 2{\left( {{x^2}} \right)^\prime } - \frac{1}{3}{\left( {{x^3}} \right)^\prime } } = { - \frac{1}{9} \cdot 1 + 2 \cdot 2x - \frac{1}{3} \cdot 3{x^2} } = { - \frac{1}{9} + 4x - {x^2} = 4x - {x^2} - \frac{1}{9}.} \]

   Пример 9

Вычислить производную функции \(y = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}\), не используя формулу производной произведения.

Раскрывая скобки, запишем заданную функцию как \[ {y\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2} } = {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) } = {{x^3} - \color{blue}{x^2} - \color{blue}{4{x^2}} + \color{red}{4x} + \color{red}{4x} - 4 } = {{x^3} - \color{blue}{5{x^2}} + \color{red}{8x} - 4.} \] Производная этой функции равна \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{x^3} - 5{x^2} + 8x - 4} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^3}} \right)^\prime } - {\left( {5{x^2}} \right)^\prime } + {\left( {8x} \right)^\prime } - 4' } = {{\left( {{x^3}} \right)^\prime } - 5{\left( {{x^2}} \right)^\prime } + 8{\left( x \right)^\prime } - 4' } = {3{x^2} - 5 \cdot 2x + 8 \cdot 1 + 0 } = {3{x^2} - 10x + 8.} \]

   Пример 10

Найти производную функции \(y = \large\frac{{{x^2} + 3x + 1}}{x}\normalsize\), не используя формулу производной частного.

Разделив числитель на знаменатель почленно, запишем функцию в виде \[ {y\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{x} } = {\frac{{{x^2}}}{x} + \frac{{3x}}{x} + \frac{1}{x} } = {x + 3 + \frac{1}{x}.} \] Далее, применяя линейные свойства производной, находим: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {x + 3 + \frac{1}{x}} \right)^\prime } } = {{x^\prime } + 3' + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } } = {1 + 0 + \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) } = {1 - \frac{1}{{{x^2}}} } = {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}.} \]