Производные гиперболических функций
Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями \({e^x}\)
и \({e^{ - x}}\). Например,
гиперболические синус и
косинус
определяются как
\[\sinh x = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2},\;\;\cosh x = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}.\]
Производные этих функций имеют вид
\[
{{\left( {\sinh x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2}} \right)^\prime } }
= {\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2} = \cosh x,}\;\;
{{\left( {\cosh x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}} \right)^\prime } }
= {\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2} = \sinh x.}
\]
Выведем производную
гиперболического тангенса:
\[
{{\left( {\tanh x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{\sinh x}}{{\cosh x}}} \right)^\prime } }
= {\frac{{{{\left( {\sinh x} \right)}^\prime }\cosh x - \sinh x{{\left( {\cosh x} \right)}^\prime }}}{{{{\cosh }^2}x}} = \frac{{\cosh x \cdot \cosh x - \sinh x \cdot \sinh x}}{{{{\cosh }^2}x}} }
= {\frac{{{{\cosh }^2}x - {{\sinh }^2}x}}{{{{\cosh }^2}x}}.}
\]
Известно, что для гиперболических синуса и косинуса справедливо соотношение
\[{\cosh ^2}x - {\sinh ^2}x = 1.\]
Поэтому производная гиперболического тангенса записывается в виде
\[
{{\left( {\tanh x} \right)^\prime } = \frac{{{{\cosh }^2}x - {{\sinh }^2}x}}{{{{\cosh }^2}x}} }
= {\frac{1}{{{{\cosh }^2}x}} }
= {{\text{sech}^2}x.}
\]
Аналогичным образом можно получить формулы производных остальных гиперболических функций:
\[
{{\left( {\coth x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{\cosh x}}{{\sinh x}}} \right)^\prime } }
= {\frac{{{{\left( {\cosh x} \right)}^\prime }\sinh x - \cosh x{{\left( {\sinh x} \right)}^\prime }}}{{{{\sinh }^2}x}} }
= { - \frac{{{{\cosh }^2}x - {{\sinh }^2}x}}{{{{\sinh }^2}x}} }
= { - \frac{1}{{{{\sinh }^2}x}} }
= { - {\text{csch}^2}x,}
\]
\[
{{\left( {\text{sech}\,x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{{\cosh x}}} \right)^\prime } }
= { - \frac{1}{{{{\cosh }^2}x}} \cdot {\left( {\cosh x} \right)^\prime } }
= { - \frac{1}{{{{\cosh }^2}x}} \cdot \sinh x }
= { - \frac{1}{{\cosh x}} \cdot \frac{{\sinh x}}{{\cosh x}} }
= { - \text{sech}\,x\tanh x,}
\]
\[
{{\left( {\text{csch}\,x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{1}{{\sinh x}}} \right)^\prime } }
= { - \frac{1}{{{\sinh^2}x}} \cdot {\left( {\sinh x} \right)^\prime } }
= { - \frac{1}{{{\sinh^2}x}} \cdot \cosh x }
= { - \frac{1}{{\sinh x}} \cdot \frac{{\cosh x}}{{\sinh x}} }
= { - \text{csch}\,x\coth x\;\;\left( {x \ne 0} \right).}
\]
Как видно, производные гиперболических функций очень похожи на
производные тригонометрических функций.
Однако важно отметить различие в знаках! Если производная косинуса равна
\[{\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x,\]
то у производной гиперболического косинуса знак "минус" отсутствует:
\[{\left( {\cosh x} \right)^\prime } = \sinh x.\]
Для функции
секанс ситуация со знаком в точности обратная:
\[
{{\left( {\sec x} \right)^\prime } = \sec x\tan x,}\;\;
{{\left( {\text{sech}\,x} \right)^\prime } = - \text{sech}\,x\tanh x.}
\]
Производные обратных гиперболических функций
Рассмотрим теперь производные \(6\)
обратных гиперболических функций.
Соответствующие формулы можно вывести, используя теорему о
производной обратной функции.
Возьмем, к примеру, функцию \(y = f\left( x \right) = \text{arcsinh}\,x\) (
обратный гиперболический синус).
Вместе с функцией \(x = \varphi \left( y \right) = \sinh y\) они образуют пару взаимно-обратных функций.
Тогда производная обратного гиперболического синуса равна
\[
{{\left( {\text{arcsinh}\,x} \right)^\prime } = f'\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} }
= {\frac{1}{{{{\left( {\sinh y} \right)}^\prime }}} }
= {\frac{1}{{\cosh y}} }
= {\frac{1}{{\sqrt {1 + {\sinh^2}y} }} }
= {\frac{1}{{\sqrt {1 + {\sinh^2}\left( {\text{arcsinh}\,x} \right)} }} }
= {\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}.}
\]
Точно также можно вывести производные
обратного гиперболического косинуса,
тангенса и
котангенса.
\[
{{\left( {\text{arccosh}\,x} \right)^\prime } = f'\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} }
= {\frac{1}{{{{\left( {\cosh y} \right)}^\prime }}} }
= {\frac{1}{{\sinh y}} }
= {\frac{1}{{\sqrt {{\cosh^2}y - 1} }} }
= {\frac{1}{{\sqrt {{\cosh^2}\left( {\text{arccosh}\,x} \right) - 1} }} }
= {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\;\;\left( {x > 1} \right),}
\]
\[
{{\left( {\text{arctanh}\,x} \right)^\prime } = f'\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} }
= {\frac{1}{{{{\left( {\tanh y} \right)}^\prime }}} }
= {\frac{1}{{\frac{1}{{{{\cosh }^2}y}}}} }
= {{\cosh ^2}y.}
\]
Из тождества \({\cosh ^2}y - {\sinh ^2}y = 1\) следует, что
\[
{1 - {\tanh ^2}y = \frac{1}{{{{\cosh }^2}y}}}\;\;
{\text{или}\;\;{\cosh ^2}y = \frac{1}{{1 - {{\tanh }^2}y}}.}
\]
Поэтому
\[
{{\left( {\text{arctanh}\,x} \right)^\prime } = {\cosh ^2}y = \frac{1}{{1 - {{\tanh }^2}y}} }
= {\frac{1}{{1 - {{\tanh }^2}\left( {\text{arctanh}\,x} \right)}} }
= {\frac{1}{{1 - {x^2}}}\;\;\left( {\left| x \right| < 1} \right).}
\]
Аналогично находим производную функции \(y = f\left( x \right) = \text{arccoth}\,x\)
(
обратный гиперболический котангенс):
\[
{{\left( {\text{arccoth}\,x} \right)^\prime } = f'\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} }
= {\frac{1}{{{{\left( {\coth y} \right)}^\prime }}} }
= {\frac{1}{{\left( { - \frac{1}{{{{\sinh }^2}y}}} \right)}} }
= { - {\sinh ^2}y.}
\]
Учитывая, что
\[
{{\coth ^2}y - 1 = \frac{1}{{{{\sinh }^2}y}},}\;\;
{\Rightarrow {\sinh ^2}y = \frac{1}{{{{\coth }^2}y - 1}},}
\]
получаем
\[
{\left( {\text{arccoth}\,x} \right)^\prime } = - {\sinh ^2}y
= - \frac{1}{{{{\coth }^2}y - 1}}
= - \frac{1}{{{{\coth }^2}\left( {\text{arccoth}\,x} \right) - 1}}
= - \frac{1}{{{x^2} - 1}}
= \frac{1}{{1 - {x^2}}}\;\;\left( {\left| x \right| > 1} \right).
\]
Как видно, производные функций \(\text{arctanh}\,x\) и \(\text{arccoth}\,x\) одинаковы, но определяются при различных значениях \(x\). Ограничения
на область определения для обратного гиперболического тангенса и котангенса следуют из множества допустимых значений функций
\(y = \tanh x\) и \(y = \coth x\), соответственно.
Выведем также производные
обратного гиперболического секанса и
косеканса,
хотя эти функции встречаются достаточно редко.
В соответствии с описанной схемой запишем две взаимно-обратные функции:
\(y = f\left( x \right) = \text{arcsech}\,x\) \(\left( {x \in \left( {0,1} \right]} \right)\) и
\(x = \varphi \left( y \right) = \text{sech}\,y\) \(\left( {y > 0} \right)\).
Вычислим производную:
\[
{{\left( {\text{arcsech}\,x} \right)^\prime } = f'\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} }
= {\frac{1}{{{{\left( {\text{sech}\,y} \right)}^\prime }}} }
= {\frac{1}{{\text{sech}\,y\tanh y}}.}
\]
Выразим \(\tanh y\) через \(\text{sech}\,y\), учитывая, что \(y > 0\):
\[
{{\cosh ^2}y - {\sinh ^2}y = 1,}\;\;
{\Rightarrow 1 - {\tanh ^2}y = \frac{1}{{{{\cosh }^2}y}} = {\text{sech}^2}y,}\;\;
{\Rightarrow {\tanh ^2}y = 1 - {\text{sech}^2}y,}\;\;
{\Rightarrow \tanh y = \sqrt {1 - {{\text{sech}}^2}y}.}
\]
В результате получаем:
\[
{{\left( {\text{arcsech}\,x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{\text{sech}\,y \tanh y}} }
= { - \frac{1}{{\text{sech}\left( {\text{arcsech}\,x} \right)\sqrt {1 - {\text{sech}^2}\left( {\text{arcsech}\,x} \right)} }} }
= { - \frac{1}{{x\sqrt {1 - {x^2}} }},\;\;x \in \left( {0,1} \right).}
\]
Аналогично можно найти производную
обратного гиперболического косеканса. Полагаем
\(y = f\left( x \right) = \text{arccsch}\,x\) \(\left( {x \in \mathbb{R},\;x \ne 0} \right)\)
и \(x = \varphi \left( y \right) = \text{csch}\,y\) \(\left( {y \ne 0} \right)\).
Рассмотрим сначала ветвь \(x > 0\). В этом случае переменная \(y\) принимает значения \(y > 0\) (графики данных функций можно посмотреть на странице
Функции и их графики).
Производная обратного гиперболического косеканса выражается в виде
\[
{{\left( {\text{arccsch}\,x} \right)^\prime } = f'\left( x \right) }
= {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} }
= {\frac{1}{{{{\left( {\text{csch}\,y} \right)}^\prime }}} }
= { - \frac{1}{{\text{csch}\,y\coth y}}.}
\]
Сделаем подстановку
\[
{{\cosh ^2}y - {\sinh ^2}y = 1,}\;\;
{\Rightarrow {\coth ^2}y - 1 = \frac{1}{{{{\sinh }^2}y}} = {\text{csch}^2}y,}\;\;
{\Rightarrow {\coth ^2}y = 1 + {\text{csch}^2}y,}\;\;
{\Rightarrow \coth y = \pm \sqrt {1 + {{\text{csch}}^2}y}.}
\]
Учитывая, что \(y > 0\), выбираем знак "\(+\)" перед корнем. Следовательно,
\[
{{\left( {\text{arccsch}\,x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{\text{csch}\,y \coth y}} }
= { - \frac{1}{{\text{csch}\left( {\text{arccsch}\,x} \right)\sqrt {1 + {{\text{csch}}^2}\left( {\text{arccsch}\,x} \right)} }} }
= { - \frac{1}{{x\sqrt {1 + {x^2}} }}\;\;\left( {x > 0} \right).}
\]
Теперь рассмотрим пару взаимно-обратных функций при \(x < 0\). В силу нечетности гиперболического косеканса это соответствует условию
\(y < 0\). Кроме того, гиперболический котангенс также отрицателен при \(y < 0\): \(\coth y < 0\), то есть в этом случае необходимо записать
\[\coth y = - \sqrt {1 + {{\text{csch}}^2}y} \;\;\left( {y < 0} \right).\]
Тогда производная обратного гиперболического косеканса при \(x < 0\) выражается формулой
\[
{{\left( {\text{arccsch}\,x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{\text{csch}\,y\coth y}} }
= { - \frac{1}{{\text{csch}\left( {\text{arccsch}\,x} \right)\left( { - \sqrt {1 + {{\text{csch}}^2}\left( {\text{arccsch}\,x} \right)} } \right)}} }
= {\frac{1}{{x\sqrt {1 + {x^2}} }}\;\;\left( {x < 0} \right).}
\]
Объединяя обе ветви решений, получаем окончательное выражение для производной
обратного гиперболического косеканса
в виде
\[{\left( {\text{arccsch}\,x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{\left| x \right|\sqrt {1 + {x^2}} }}\;\;\left( {x \ne 0} \right).\]
Таблица производных гиперболических функций
Для удобства соберем формулы производных всех гиперболических функций в одной таблице:
Производная | Область определения |
\({\left( {\sinh x} \right)^\prime } = \cosh x\) | \(- \infty < x < \infty\) |
\({\left( {\cosh x} \right)^\prime } = \sinh x\) | \(- \infty < x < \infty \) |
\({\left( {\tanh x} \right)^\prime } = \large\frac{1}{{{{\cosh }^2}x}}\normalsize = {\text{sech}^2}x\) | \(- \infty < x < \infty \) |
\({\left( {\coth x} \right)^\prime } = -\large\frac{1}{{{{\sinh }^2}x}}\normalsize = -{\text{csch}^2}x\) | \(x \ne 0\) |
\({\left( {\text{sech}\,x} \right)^\prime } = -\text{sech}\,x\tanh x\) | \(- \infty < x < \infty \) |
\({\left( {\text{csch}\,x} \right)^\prime } = -\text{csch}\,x\coth x\) | \(x \ne 0\) |
\({\left( {\text{arcsinh}\,x} \right)^\prime } = \large\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\normalsize\) | \(- \infty < x < \infty \) |
\({\left( {\text{arccosh}\,x} \right)^\prime } = \large\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\normalsize\) | \(x > 1\) |
\({\left( {\text{arctanh}\,x} \right)^\prime } = \large\frac{1}{{1 - {x^2}}}\normalsize\) | \(\left| x \right| < 1\) |
\({\left( {\text{arccoth}\,x} \right)^\prime } = \large\frac{1}{{1 - {x^2}}}\normalsize\) | \(\left| x \right| > 1\) |
\({\left( {\text{arcsech}\,x} \right)^\prime } = - \large\frac{1}{{x\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize\) | \(0 < x < 1\) |
\({\left( {\text{arccsch}\,x} \right)^\prime } = - \large\frac{1}{{\left| x \right|\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize\) | \(x \ne 0\) |
В приведенных ниже примерах найти производную заданной функции.