Производная функции, заданной параметрически

Зависимость между аргументом \(x\) и функцией \(y\) может быть задана в параметрическом виде с помощью двух уравнений \[ \left\{ \begin{aligned} x &= x\left( t\right) \\ y &= y\left( t\right) \end{aligned} \right., \] где переменная \(t\) называется параметром. Так, например, две функции \[ \left\{ \begin{aligned} x &= R \cos t \\ y &= R \sin t \end{aligned} \right. \] описывают в параметрическом виде уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом \(R\). Параметр \(t\) при этом изменяется от \(0\) до \(2 \pi\).

Найдем выражение для производной параметрически заданной функции. Предположим, что функции \(x = x\left( t \right)\) и \(y = y\left( t \right)\) дифференцируемы в интервале \(\alpha < t < \beta \), причем \(x'\left( t \right) \ne 0.\) Кроме того, будем считать, что функция \(x = x\left( t \right)\) имеет обратную функцию \(t = \varphi \left( x \right).\)

По теореме о производной обратной функции можно записать \[\frac{{dt}}{{dx}} = {t'_x} = \frac{1}{{{x'_t}}}.\] Исходную функцию \(y\left( x \right)\) можно рассматривать как сложную функцию: \[y\left( x \right) = y\left( {t\left( x \right)} \right).\] Тогда ее производная равна \[ {{y'_x} = {y'_t} \cdot {t'_x} } = {{y'_t} \cdot \frac{1}{{{x'_t}}} } = {\frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}}.} \] Данная формула позволяет находить производную параметрически заданной функции, не выражая зависимость \(y\left( x \right)\) в явном виде.

В приведенных ниже примерах найти производную параметрически заданной функции.

   Пример 1

\[x = {t^2},\;\;y = {t^3}.\] Находим производные \(x\) и \(y\) по параметру \(t\): \[ {{x'_t} = {\left( {{t^2}} \right)^\prime } = 2t,}\;\; {{y'_t} = {\left( {{t^3}} \right)^\prime } = 3{t^2}.} \] Следовательно, \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{3{t^2}}}{{2t}} } = {\frac{{3t}}{2}\;\left( {t \ne 0} \right).} \]

   Пример 2

\[x = 2t + 1,\;\;y = 4t - 3.\] \[ {{x'_t} = \left( {2t + 1} \right) = 2,}\;\; {{y'_t} = {\left( {4t - 3} \right)^\prime } = 4.} \] Следовательно, \[\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} = \frac{4}{2} = 2.\]

   Пример 3

\[x = {e^{2t}},\;\;y = {e^{3t}}.\] \[ {{x'_t} = {\left( {{e^{2t}}} \right)^\prime } = 2{e^{2t}},}\;\; {{y'_t} = {\left( {{e^{3t}}} \right)^\prime } = 3{e^{3t}}.} \] Следовательно, производная \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\) равна \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{3{e^{3t}}}}{{2{e^{2t}}}} } = {\frac{3}{2}{e^{3t - 2t}} } = {\frac{3}{2}{e^t}.} \]

   Пример 4

\[x = at,\;\;y = b{t^2}.\] В этом примере производные по \(t\) равны \[ {{x'_t} = {\left( {at} \right)^\prime } = a,}\;\; {{y'_t} = {\left( {b{t^2}} \right)^\prime } = 2bt.} \] Следовательно, \[ \frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} = \frac{{2bt}}{a}. \]

   Пример 5

\[x = {\sin ^2}t,\;\;y = {\cos ^2}t.\] Дифференцируем по параметру \(t\): \[ {{x'_t} = {\left( {{{\sin }^2}t} \right)^\prime } = {2\sin t \cdot \cos t} = {\sin 2t,}}\;\; {{y'_t} = {\left( {{{\cos }^2}t} \right)^\prime } = {2\cos t \cdot \left( { - \sin t} \right)} = {- 2\sin t\cos t} = {- \sin 2t.}} \] Тогда \[\require{cancel} {\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{ - \cancel{\sin 2t}}}{{\cancel{\sin 2t}}} = - 1,}\;\; {\text{где}\;\;t \ne \frac{{\pi n}}{2},\;n \in \mathbb{Z}.} \]

   Пример 6

\[x = \sinh t,\;\;y = \cosh t.\] Вычислим производные: \[ {{x'_t} = {\left( {\sinh t} \right)^\prime } = \cosh t,}\;\; {{y'_t} = {\left( {\cosh t} \right)^\prime } = \sinh t.} \] Тогда производная \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\) равна \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{\sinh t}}{{\cosh t}} } = {\tanh t.} \]

   Пример 7

\[x = a\cos t,\;\;y = b\sin t.\] Данные уравнения описывают эллипс с центром в начале координат и полуосями \(a\) и \(b\). Продифференцируем переменные \(x\) и \(y\) по параметру \(t\): \[ {{x'_t} = {\left( {a\cos t} \right)^\prime } = - a\sin t,}\;\; {{y'_t} = {\left( {b\sin t} \right)^\prime } = b\cos t.} \] Производная \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\) зависит от \(t\) следующим образом: \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{b\cos t}}{{\left( { - a\sin t} \right)}} } = { - \frac{b}{a}\cot t.} \] Здесь параметр \(t\) изменяется в пределах от \(-\pi\) до \(\pi\). Однако производная \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\) обращается в бесконечность в точках \(t = 0, \pm \pi .\) Поэтому область допустимых значений можно представить как \(0 < \left| t \right| < \pi .\)

   Пример 8

\[ {x = 2{t^2} + t + 1,}\;\; {y = 8{t^3} + 3{t^2} + 2.} \] Дифференцируем оба уравнения по параметру \(t\): \[ {{x'_t} = {\left( {2{t^2} + t + 1} \right)^\prime } = 4t + 1,}\;\; {{y'_t} = {\left( {8{t^3} + 3{t^2} + 2} \right)^\prime } = 24{t^2} + 6t.} \] Следовательно, производная \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\) выражается формулой \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{24{t^2} + 6t}}{{4t + 1}} } = {\frac{{6t\cancel{\left( {4t + 1} \right)}}}{{\cancel{4t + 1}}} = 6t.} \]

   Пример 9

\[x = \sqrt {1 - {t^2}} ,\;\;y = \arcsin t.\] \[ {{x'_t} = {\left( {\sqrt {1 - {t^2}} } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt {1 - {t^2}} }} \cdot {\left( {\sqrt {1 - {t^2}} } \right)^\prime } } = {\frac{{ - \cancel{2}t}}{{\cancel{2}\sqrt {1 - {t^2}} }} } = { - \frac{t}{{\sqrt {1 - {t^2}} }},}\;\; {{y'_t} = {\left( {\arcsin t} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}.} \] Производная \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\) выражается формулой \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{\frac{1}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}}}{{\frac{{ - t}}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}}} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 - {t^2}} }} \cdot \frac{{\sqrt {1 - {t^2}} }}{{\left( { - t} \right)}} } = { - \frac{1}{t},} \] где параметр \(t\) может принимать значения, удовлетворяющие условиям \(\left| t \right| < 1,\;t \ne 0.\)

   Пример 10

\[x = {\sin ^3}t,\;\;y = {\cos ^3}t.\] Вычислим производные \(x'_t\), \(y'_t\): \[ {{x'_t} = {\left( {{{\sin }^3}t} \right)^\prime } = 3\,{\sin ^2}t\cos t,}\;\; {{y'_t} = {\left( {{{\cos }^3}t} \right)^\prime } = - 3\,{\cos ^2}t\sin t.} \] Производная \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\) равна \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{ - \cancel{3}{{\cos }^{\cancel{2}}}t\cancel{\sin t}}}{{\cancel{3}{{\sin }^{\cancel{2}}}t\cancel{\cos t}}} } = { - \frac{{\cos t}}{{\sin t}} = - \cot t,} \] где \(t \ne \large\frac{{\pi n}}{2}\normalsize,\;n \in \mathbb{Z}.\) Ограничения на возможные значения \(t\) вытекают из условия \({x'_t} \ne 0\).

   Пример 11

\[x = \frac{{t + 1}}{{t - 1}},\;\;y = \frac{{t - 1}}{{t + 1}}.\] Вычислим производные \(x\) и \(y\) по параметру \(t\): \[ {{x'_t} = {\left( {\frac{{t + 1}}{{t - 1}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {t + 1} \right)}^\prime }\left( {t - 1} \right) - \left( {t + 1} \right){{\left( {t - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{1 \cdot \left( {t - 1} \right) - \left( {t + 1} \right) \cdot 1}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{\cancel{\color{blue}{t}} - \color{red}{1} - \cancel{\color{blue}{t}} - \color{red}{1}}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{ - \color{red}{2}}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}};} \] \[ {{y'_t} = {\left( {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {t - 1} \right)}^\prime }\left( {t + 1} \right) - \left( {t - 1} \right){{\left( {t + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{1 \cdot \left( {t + 1} \right) - \left( {t - 1} \right) \cdot 1}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{\cancel{\color{blue}{t}} + \color{red}{1} - \cancel{\color{blue}{t}} + \color{red}{1}}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{\color{red}{2}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}.} \] Тогда производная \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\) равна: \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{\frac{2}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}}}{{\frac{{\left( { - 2} \right)}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}}} } = { - \frac{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} } = { - {\left( {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right)^2}.} \] Здесь параметр \(t\) может принимать любые значения, исключая точки \(t = \pm 1\), в которых переменные \(x\) и \(y\) терпят разрыв.

   Пример 12

\[x = \sqrt {{t^2} + 1} ,\;\;y = \ln \left( {{t^2} + 1} \right).\] Дифференцируя по \(t\), находим: \[ {{x'_t} = {\left( {\sqrt {{t^2} + 1} } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt {{t^2} + 1} }} \cdot {\left( {{t^2} + 1} \right)^\prime } } = {\frac{{\cancel{2}t}}{{\cancel{2}\sqrt {{t^2} + 1} }} } = {\frac{t}{{\sqrt {{t^2} + 1} }};} \] \[ {{y'_t} = {\left( {\ln \left( {{t^2} + 1} \right)} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{{t^2} + 1}} \cdot {\left( {{t^2} + 1} \right)^\prime } } = {\frac{{2t}}{{{t^2} + 1}}.} \] Следовательно, \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{\frac{{2t}}{{{t^2} + 1}}}}{{\frac{t}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}}} } = {\frac{{2t}}{{{t^2} + 1}} \cdot \frac{{\sqrt {{t^2} + 1} }}{t} } = {\frac{2}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}.} \]

   Пример 13

\[x = {e^t}\sin t,\;\;y = {e^{ - t}}\cos t.\] Находим производные \(x\) и \(y\) по параметру \(t\): \[ {{x'_t} = {\left( {{e^t}\sin t} \right)^\prime } } = {{\left( {{e^t}} \right)^\prime }\sin t + {e^t}{\left( {\sin t} \right)^\prime } } = {{e^t}\sin t + {e^t}\cos t = {e^t}\left( {\sin t + \cos t} \right);} \] \[ {{y'_t} = {\left( {{e^{ - t}}\cos t} \right)^\prime } } = {{\left( {{e^{ - t}}} \right)^\prime }\cos t + {e^{ - t}}{\left( {\cos t} \right)^\prime } } = { - {e^{ - t}}\cos t + {e^{ - t}}\left( { - \sin t} \right) } = { - {e^{ - t}}\left( {\cos t + \sin t} \right).} \] В результате получаем: \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{ - {e^{ - t}}\cancel{\left( {\cos t + \sin t} \right)}}}{{{e^t}\cancel{\left( {\sin t + \cos t} \right)}}} } = { - {e^{ - 2t}}.} \] Заметим, что производная существует при условии \[ {\sin t + \cos t \ne 0,}\;\; {\Rightarrow \tan t + 1 \ne 0,}\;\; {\Rightarrow \tan t \ne - 1,}\;\; {\Rightarrow t \ne - \frac{\pi }{4} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.} \]

   Пример 14

\[x = t - \sin t,\;\;y = 1 - \cos t.\] Производные \(x\) и \(y\) по параметру \(t\) имеют такой вид: \[ {{x'_t} = {\left( {t - \sin t} \right)^\prime } = 1 - \cos t;}\;\; {{y'_t} = {\left( {1 - \cos t} \right)^\prime } = \sin t.} \] Запишем производную \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\): \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{\sin t}}{{1 - \cos t}}.} \] Используя в числителе и знаменателе формулы двойного угла, получаем: \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\sin t}}{{1 - \cos t}} } = {\frac{{\cancel{2}\cancel{\sin \frac{t}{2}}\cos \frac{t}{2}}}{{\cancel{2}{{\sin }^{\cancel{2}}}\frac{t}{2}}} } = {\frac{{\cos \frac{t}{2}}}{{\sin \frac{t}{2}}} } = {\cot \frac{t}{2},} \] где \(t \ne 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\)

   Пример 15

\[ {x = 1 + \sqrt t ,}\;\; {y = t - \frac{1}{{\sqrt t }},}\;\; {\left( {t > 0} \right).} \] Дифференцируем функции \(x\left( t \right)\) и \(y\left( t \right)\) по параметру \(t\): \[ {{x'_t} = {\left( {1 + \sqrt t } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt t }};}\;\; {{y'_t} = {\left( {t - \frac{1}{{\sqrt t }}} \right)^\prime } } = {{\left( {t - {t^{ - \large\frac{1}{2}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {1 + \frac{1}{2}{t^{ - \large\frac{3}{2}\normalsize}} } = {1 + \frac{1}{{2\sqrt {{t^3}} }}.} \] Тогда производная \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\) выражается формулой \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{1 + \frac{1}{{2\sqrt {{t^3}} }}}}{{\frac{1}{{2\sqrt t }}}} } = {\frac{{\frac{{2\sqrt {{t^3}} + 1}}{{2\sqrt {{t^3}} }}}}{{\frac{1}{{2\sqrt t }}}} } = {\frac{{\left( {2\sqrt {{t^3}} + 1} \right) \cdot 2\sqrt t }}{{2\sqrt {{t^3}} }} } = {\frac{{2\sqrt {{t^3}} + 1}}{{\sqrt {{t^2}} }} } = {\frac{{2\sqrt {{t^3}} + 1}}{{\left| t \right|}} } = {\frac{{2\sqrt {{t^3}} + 1}}{t},}\;\; {\text{где}\;\;t > 0.} \]

   Пример 16

\[x = {\tan ^2}t,\;\;y = {\cos ^2}t.\] \[ {{x'_t} = {\left( {{{\tan }^2}t} \right)^\prime } } = {2\tan t \cdot {\left( {\tan t} \right)^\prime } } = {2\tan t \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}t}} } = {\frac{{2\sin t}}{{\cos t}} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}t}} } = {\frac{{2\sin t}}{{{{\cos }^3}t}};} \] \[ {{y'_t} = {\left( {{{\cos }^2}t} \right)^\prime } } = {2\cos t \cdot {\left( {\cos t} \right)^\prime } } = {2\cos t \cdot \left( { - \sin t} \right) } = { - 2\sin t\cos t.} \] В результате имеем \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{ - \cancel{2\sin t}\cos t}}{{\frac{{\cancel{2\sin t}}}{{{{\cos }^3}t}}}} } = { - \cos t \cdot {\cos ^3}t } = { - {\cos^4}t.} \] В данном случае \(t \ne \large\frac{{\pi n}}{2}\normalsize,\;n \in \mathbb{Z}.\)

   Пример 17

\[x = \arccos \left( {1 - t} \right),\;\;y = \sqrt {2t - {t^2}} .\] Находим производные \(x'_t\), \(y'_t\): \[ {{x'_t} = {\left( {\arccos \left( {1 - t} \right)} \right)^\prime } } = { - \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {1 - t} \right)}^2}} }} \cdot {\left( {1 - t} \right)^\prime } } = { - \frac{1}{{\sqrt {1 - \left( {1 - 2t + {t^2}} \right)} }} \cdot \left( { - 1} \right) } = {\frac{1}{{\sqrt {\cancel{1} - \cancel{1} + 2t - {t^2}} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {2t - {t^2}} }};} \] \[ {{y'_t} = {\left( {\sqrt {2t - {t^2}} } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{2\sqrt {2t - {t^2}} }} \cdot {\left( {2t - {t^2}} \right)^\prime } } = {\frac{{2 - 2t}}{{2\sqrt {2t - {t^2}} }} } = {\frac{{1 - t}}{{\sqrt {2t - {t^2}} }}.} \] Теперь можно легко записать выражение для производной \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\): \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{\frac{{1 - t}}{{\sqrt {2t - {t^2}} }}}}{{\frac{1}{{\sqrt {2t - {t^2}} }}}} } = {\frac{{1 - t}}{{\cancel{\sqrt {2t - {t^2}}} }} \cdot \frac{{\cancel{\sqrt {2t - {t^2}}} }}{1} } = {1 - t.} \] Допустимые значения параметра \(t\) определяются следующей системой неравенств: \[ {\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le 1 - t \le 1\\ 2t - {t^2} > 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1 - t \ge - 1}\\ {1 - t \le 1}\\ {t\left( {2 - t} \right) > 0} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - t \ge - 2}\\ { - t \le 0}\\ {0 < t < 2} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t \le 2}\\ {t \ge 0}\\ {0 < t < 2} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow 0 < t < 2.} \]

   Пример 18

\[x = {\sin ^4}2t,\;\;y = {\cos ^4}2t.\] Производные \(x\) и \(y\) по параметру \(t\) имеют такой вид: \[ {{x'_t} = {\left( {{{\sin }^4}2t} \right)^\prime } } = {4\,{\sin ^3}2t \cdot {\left( {\sin 2t} \right)^\prime } } = {4\,{\sin ^3}2t \cdot 2\cos 2t } = {8\,{\sin ^3}2t\cos 2t;} \] \[ {{y'_t} = {\left( {{{\cos }^4}2t} \right)^\prime } } = {4\,{\cos ^3}2t \cdot {\left( {\cos 2t} \right)^\prime } } = {4\,{\cos ^3}2t \cdot \left( { - 2\sin 2t} \right) } = { - 8\,{\cos ^3}2t\sin 2t.} \] Тогда производная \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\) равна \[ \frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} = \frac{{ - 8\,{{\cos }^3}2t\sin 2t}}{{8\,{{\sin }^3}2t\cos 2t}} = - \frac{{{{\cos }^2}2t}}{{{{\sin }^2}2t}} = - {\cot ^2}2t. \] В данном примере допустимые значения параметра \(t\) ограничены условиями \[ {{x'_t} \ne 0,\;\; \Rightarrow 8\,{\sin ^3}2t\cos 2t \ne 0,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\sin ^3}2t \ne 0\\ \cos 2t \ne 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2t \ne \pi n\\ 2t \ne \frac{\pi }{2} + \pi n \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} t \ne \frac{{\pi n}}{2}\\ t \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi n}}{2} \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow t \ne \frac{{\pi n}}{4},\;n \in \mathbb{Z}.} \]

   Пример 19

\[x = \arcsin {e^t},\;\;y = \sqrt {1 - {e^{2t}}} .\] Вычислим сначала производные \(x\) и \(y\) по переменной \(t\): \[ {{x'_t} = {\left( {\arcsin {e^t}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {{e^t}} \right)}^2}} }} \cdot {\left( {{e^t}} \right)^\prime } } = {\frac{{{e^t}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {{e^t}} \right)}^2}} }};} \] \[ {{y'_t} = {\left( {\sqrt {1 - {e^{2t}}} } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{2\sqrt {1 - {e^{2t}}} }} \cdot {\left( {1 - {e^{2t}}} \right)^\prime } } = {\frac{{ - \cancel{2}{e^{2t}}}}{{\cancel{2}\sqrt {1 - {e^{2t}}} }} } = { - \frac{{{e^{2t}}}}{{\sqrt {1 - {e^{2t}}} }}.} \] Отсюда находим \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{ - \frac{{{e^{2t}}}}{{\sqrt {1 - {e^{2t}}} }}}}{{\frac{{{e^t}}}{{\sqrt {1 - {e^{2t}}} }}}} } = { - \frac{{{e^{2t}}}}{{\cancel{\sqrt {1 - {e^{2t}}}} }} \cdot \frac{{\cancel{\sqrt {1 - {e^{2t}}}} }}{{{e^t}}} } = { - \frac{{{e^{2t}}}}{{{e^t}}} } = { - {e^t}.} \] Заметим, что здесь параметр \(t\) может принимать значения, определяемые неравенством \[ {1 - {e^{2t}} > 0,}\;\; {\Rightarrow {e^{2t}} < 1,}\;\; {\Rightarrow {e^{2t}} < {e^0},}\;\; {\Rightarrow 2t < 0,}\;\; {\Rightarrow t < 0,} \] т.е. допустимы лишь отрицательные значения \(t\).

   Пример 20

Найти значение производной \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\) параметрически заданной функции \(x = t + 2\sin \pi t\), \(y = 3t - \cos \pi t\) в точке \(t = \large\frac{1}{2}\normalsize.\) Найдем сначала выражения для производных \(x'_t\), \(y'_t\): \[ {{x'_t} = {\left( {t + 2\sin \pi t} \right)^\prime } = 1 + 2\pi \cos \pi t,}\;\; {{y'_t} = {\left( {3t - \cos \pi t} \right)^\prime } = 3 + \pi \sin \pi t.} \] Тогда производная \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\) описывается формулой \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = {y'_x} = \frac{{{y'_t}}}{{{x'_t}}} } = {\frac{{3 + \pi \sin \pi t}}{{1 + 2\pi \cos \pi t}}.} \] Подставляя \(t = \large\frac{1}{2}\normalsize,\) вычисляем значение производной в указанной точке: \[ {\frac{{dy}}{{dx}}\left( {t = \frac{1}{2}} \right) } = {\frac{{3 + \pi \sin \frac{\pi }{2}}}{{1 + 2\pi \cos \frac{\pi }{2}}} } = {\frac{{3 + \pi \cdot 1}}{{1 + 2\pi \cdot 0}} } = {3 + \pi .} \]