Производная произведения и частного функций

Пусть \(u\left( x \right)\) и \(v\left( x \right)\) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций \(u\left( x \right)v\left( x \right)\) также дифференцируемо и \[{\left( {uv} \right)^\prime } = u'v + uv'.\] Докажем приведенную формулу, используя определение производной. Для этого найдем приращение произведения функций \({uv}\), считая, что аргумент изменяется на величину \(\Delta x\): \[\Delta \left( {uv} \right) = u\left( {x + \Delta x} \right)v\left( {x + \Delta x} \right) - u\left( x \right)v\left( x \right).\] Учтем, что \[ {u\left( {x + \Delta x} \right) = u\left( x \right) + \Delta u,}\;\; {v\left( {x + \Delta x} \right) = v\left( x \right) + \Delta v,} \] где \(\Delta u\) и \(\Delta v\) − приращения, соответственно, функций \(u\) и \(v\). Опуская для краткости аргумент \(x\) у функций \(u\) и \(v\), запишем приращение \(\Delta \left( {uv} \right)\) в следующем виде: \[\require{cancel} {\Delta \left( {uv} \right) = \left( {u + \Delta u} \right)\left( {v + \Delta v} \right) - uv } = {\cancel{uv} + u\Delta v + v\Delta u + \Delta u\Delta v - \cancel{uv} } = {u\Delta v + v\Delta u + \Delta u\Delta v.} \] Перейдем к вычислению производной произведения, используя свойства пределов: \[ {{\left( {uv} \right)^\prime } = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta \left( {uv} \right)}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{u\Delta v + v\Delta u + \Delta u\Delta v}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{u\Delta v}}{{\Delta x}} + \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{v\Delta u}}{{\Delta x}} + \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta u}}{{\Delta x}} \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta v.} \] В первом пределе функция \(u\) не зависит от приращения \(\Delta x\). Поэтому ее можно вынести за знак предела. То же самое относится и к функции \(v\) во втором слагаемом. Вычислим отдельно предел \(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta v:\) \[ {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta v = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\frac{{\Delta v}}{{\Delta x}} \cdot \Delta x} \right) } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta v}}{{\Delta x}} \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta x = v' \cdot 0 = 0.} \] Таким образом, производная произведения выражается формулой \[ {{\left( {uv} \right)^\prime } = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{u\Delta v}}{{\Delta x}} + \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{v\Delta u}}{{\Delta x}} + \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta u}}{{\Delta x}} \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta v } = {u\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta v}}{{\Delta x}} + v\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta u}}{{\Delta x}} + \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta u}}{{\Delta x}} \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta v } = {uv' + vu' + u' \cdot 0 } = {u'v + uv'.} \] Внимание:
Производная произведения двух функций НЕ РАВНА произведению производных этих функций!

Из данной формулы легко получить выражение для производной функции \(kf\left( x \right)\), где \(k\) − некоторая константа: \[ {{\left( {kf\left( x \right)} \right)^\prime } = k'f\left( x \right) + kf'\left( x \right) } = {0 \cdot f\left( x \right) + kf'\left( x \right) } = {kf'\left( x \right),} \] то есть постоянный сомножитель можно выносить за знак производной. Снова предположим, что \(u\left( x \right)\) и \(v\left( x \right)\) - дифференцируемые функции. Если \(v\left( x \right) \ne 0\), то производная частного этих функций вычисляется по формуле \[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}.\] Эта формула доказывается аналогичным образом. Приращение частного можно записать в виде \[ {\Delta \left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{u + \Delta u}}{{v + \Delta v}} - \frac{u}{v} } = {\frac{{\left( {u + \Delta u} \right)v - u\left( {v + \Delta v} \right)}}{{v\left( {v + \Delta v} \right)}} } = {\frac{{\cancel{uv} + v\Delta u - \cancel{uv} - u\Delta v}}{{v\left( {v + \Delta v} \right)}} } = {\frac{{v\Delta u - u\Delta v}}{{v\left( {v + \Delta v} \right)}}.} \] Производная частного выражается через предел следующим образом: \[ {{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta \left( {\frac{u}{v}} \right)}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\frac{{v\Delta u - u\Delta v}}{{{v^2} + v\Delta v}}}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{v\frac{{\Delta u}}{{\Delta x}} - u\frac{{\Delta v}}{{\Delta x}}}}{{{v^2} + v\Delta v}}.} \] Используя далее свойства пределов, находим: \[ {{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{v\frac{{\Delta u}}{{\Delta x}} - u\frac{{\Delta v}}{{\Delta x}}}}{{{v^2} + v\Delta v}} } = {\frac{{v\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta u}}{{\Delta x}} - u\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta v}}{{\Delta x}}}}{{\lim\limits_{\Delta x \to 0} {v^2} + \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left( {v\Delta v} \right)}} } = {\frac{{u'v - uv'}}{{{v^2} + v\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta v}}.} \] Учитывая, что \({\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta v} = 0\), получаем окончательное выражение для производной частного двух функций: \[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}.\]

   Пример 1

Найти производную функции \({y = \large\frac{2}{x}\normalsize}\). Используем правило для вычисления производной частного. \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{x}} \right)^\prime } } = {\frac{{2' \cdot x - 2 \cdot x'}}{{{x^2}}} } = {\frac{{0 \cdot x - 2 \cdot 1}}{{{x^2}}} } = { - \frac{2}{{{x^2}}}.} \]

   Пример 2

Найти производную cтепенной функции с отрицательным показателем \(y = {x^{ - n}}\). Запишем функцию в виде \(y\left( x \right) = \large\frac{1}{{{x^n}}}\normalsize\) и воспользуемся формулой для производной частного. Получаем \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{{x^n}}}} \right)^\prime } } = {\frac{{1' \cdot {x^n} - 1 \cdot {{\left( {{x^n}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^n}} \right)}^2}}} } = {\frac{{0 \cdot {x^n} - n{x^{n - 1}}}}{{{x^{2n}}}} } = { - \frac{n}{{{x^{2n - n + 1}}}} } = { - \frac{n}{{{x^{n + 1}}}}.} \]

   Пример 3

Вычислить производную \(y = \tan x\), используя формулу производного частного. Представим тангенс в виде \(\tan x = \large\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\normalsize\). Тогда \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\tan x} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {\sin x} \right)}^\prime }\cos x - \sin x{{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {\cos x} \right)}^2}}}.} \] Поскольку \({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\), \({\left( {\cos x} \right)^\prime } = -\sin x,\) производная равна \[ {{\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \left( { - \sin x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} } = {\frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.} \]

   Пример 4

Пусть \(y = {\sin ^2}x\). Продифференцировать данную функцию, не используя производную сложной функции. Представим функцию в виде \(y\left( x \right) = \sin x\sin x\). По формуле производной произведения \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\sin x\sin x} \right)^\prime } } = {{\left( {\sin x} \right)^\prime }\sin x + \sin x{\left( {\sin x} \right)^\prime }.} \] Так как \({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\), в результате получаем \[ {y'\left( x \right) = \cos x\sin x + \sin x\cos x } = {2\sin x\cos x = \sin 2x.} \]

   Пример 5

Найти производную функции \(y = \large\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\normalsize\). Используя правила дифференцирования степенной функции и частного, находим следующее выражение для производной: \[\require{cancel} {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^\prime }\left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x + 1} \right){{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{2{x^3} + {x^2} - 2{x^2} - x + 2x + 1 - \left( {2{x^3} - {x^2} + 2{x^2} - x + 2x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{\cancel{\color{blue}{2{x^3}}} - \color{maroon}{x^2} + \cancel{\color{red}{x}} + \color{green}{1} - \cancel{\color{blue}{2{x^3}}} - \color{maroon}{x^2} - \cancel{\color{red}{x}} + \color{green}{1}}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{\color{green}{2} - \color{maroon}{2{x^2}}}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}}.} \]

   Пример 6

Найти производную функции секанс \(y = \sec x\). Производную секанса можно вычислить, используя формулу для производной частного: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\sec x} \right)^\prime } } = {{\left( {\frac{1}{{\cos x}}} \right)^\prime } } = {\frac{{1' \cdot \cos x - 1 \cdot {{\left( {\cos x} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}x}} } = {\frac{{0 \cdot \cos x - 1 \cdot \left( { - \sin x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} } = {\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}} } = {\frac{{\sin x}}{{\cos x}} \cdot \frac{1}{{\cos x}} } = {\tan x\sec x.} \]

   Пример 7

Найти производную функции \(y = {e^x}\cos x\). Дифференцируя данную функцию как произведение, находим: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{e^x}\cos x} \right)^\prime } } = {{\left( {{e^x}} \right)^\prime }\cos x + {e^x}{\left( {\cos x} \right)^\prime } } = {{e^x}\cos x + {e^x}\left( { - \sin x} \right) } = {{e^x}\left( {\cos x - \sin x} \right).} \]

   Пример 8

Найти производную функции \(y = \large\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^x} + 1}}\normalsize\) и вычислить ее значение при \(x = 0\). По правилу дифференцирования частного находим: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^x} + 1}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {{e^x} - 1} \right)}^\prime }\left( {{e^x} + 1} \right) - \left( {{e^x} - 1} \right){{\left( {{e^x} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{{e^x}\left( {{e^x} + 1} \right) - \left( {{e^x} - 1} \right){e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{\cancel{e^{2x}} + {e^x} - \cancel{e^{2x}} + {e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{2{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}.} \] В точке \(x = 0\) производная равна \[ {y'\left( 0 \right) = \frac{{2 \cdot {e^0}}}{{{{\left( {{e^0} + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{2 \cdot 1}}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}.} \]

   Пример 9

Найти производную функции \(y = {x^2}\sin x\). По формуле производной произведения получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{x^2}\sin x} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^2}} \right)^\prime }\sin x + {x^2}{\left( {\sin x} \right)^\prime } } = {2x\sin x + {x^2}\cos x } = {x\left( {2\sin x + x\cos x} \right).} \]

   Пример 10

Дана функция \(z = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\). Найти значение ее производной в точке \(x = -1\). Используем формулу производной произведения: \[ {z'\left( x \right) = {\left[ {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \right]^\prime } } = {{\left( {{x^2} + 1} \right)^\prime }\left( {x - 1} \right) + \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {x - 1} \right)^\prime } } = {2x \cdot \left( {x - 1} \right) + \left( {{x^2} + 1} \right) \cdot 1 } = {\color{blue}{2{x^2}} - 2x + \color{blue}{x^2} + 1 = \color{blue}{3{x^2}} - 2x + 1.} \] В точке \(x = -1\) производная будет равна \[ {z'\left( { - 1} \right) = 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 } = {3 + 2 + 1 = 6.} \]

   Пример 11

Найти формулу для производной произведения трех функций. Пусть \(f\left( x \right) = u\left( x \right)v\left( x \right)w\left( x \right)\). Предварительно сгруппировав, применим формулу производной произведения двух функций: \[ {f'\left( x \right) = {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)w\left( x \right)} \right]^\prime } } = {{\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]^\prime }w\left( x \right) + \left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]w'\left( x \right).} \] Поскольку \({\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]^\prime } = u'v + uv',\) получаем \[ {f'\left( x \right) = {\left( {uvw} \right)^\prime } } = {\left( {u'v + uv'} \right)w + uvw' } = {u'vw + uv'w + uvw'.} \]

   Пример 12

Найти производную функции \(y = \large\frac{{2x}}{{1 - {x^2}}}\normalsize\). Применяя формулу производной частного двух функций, получаем \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{{2x}}{{1 - {x^2}}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {2x} \right)}^\prime }\left( {1 - {x^2}} \right) - 2x{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}} } = {\frac{{2\left( {1 - {x^2}} \right) - 2x \cdot \left( { - 2x} \right)}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}} } = {\frac{{2 - \color{blue}{2{x^2}} + \color{blue}{4{x^2}}}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}} } = {\frac{{2 + \color{blue}{2{x^2}}}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}} } = {\frac{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}.} \]

   Пример 13

Вычислить производную функции \(y = \large\frac{{1 + \cos x}}{{\sin x}}\normalsize\). По формуле производной частного находим \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{{1 + \cos x}}{{\sin x}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^\prime }\sin x - \left( {1 + \cos x} \right){{\left( {\sin x} \right)}^\prime }}}{{{{\sin }^2}x}} } = {\frac{{\left( { - \sin x} \right)\sin x - \left( {1 + \cos x} \right)\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} } = {\frac{{ - {{\sin }^2}x - \cos x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} } = {\frac{{ - \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}} } = {\frac{{ - 1 - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - 1 - \cos x}}{{1 - {{\cos}^2}x}} } = {\frac{{ - \cancel{\left( {1 + \cos x} \right)}}}{{\left( {1 - \cos x} \right)\cancel{\left( {1 + \cos x} \right)}}} } = {\frac{{ - 1}}{{1 - \cos x}} = \frac{1}{{\cos x - 1}}.} \] Заметим, что окончательное выражение для производной имеет область определения, отличную от области определения исходной функции. Это связано с потерей корня при сокращении числителя и знаменателя на \({\left( {1 + \cos x} \right)}\). На самом деле, область определения как исходной функции, так и ее производной представляет собой все множество действительных чисел \(\mathbb{R}\), исключая точки, в которых \[\sin x = 0\;\;\text{или}\;\;x = \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

   Пример 14

Продифференцировать функцию \(y = \left( {3 - 2x} \right)\left( {2 - 3x} \right)\). \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\left( {3 - 2x} \right)\left( {2 - 3x} \right)} \right]^\prime } } = {{\left( {3 - 2x} \right)^\prime }\left( {2 - 3x} \right) + \left( {3 - 2x} \right){\left( {2 - 3x} \right)^\prime } } = {- 2\left( {2 - 3x} \right) + \left( {3 - 2x} \right)\left( { - 3} \right) } = {-\color{red}{4} + \color{blue}{6x} -\color{red}{9} + \color{blue}{6x} = \color{blue}{12x} - \color{red}{13}.} \]

   Пример 15

Продифференцировать функцию \(y = {x^3}{2^x}\). По правилу дифференцирования произведения получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{x^3}{2^x}} \right)^\prime } } = {{\left( {{x^3}} \right)^\prime }{2^x} + {x^3}{\left( {{2^x}} \right)^\prime } } = {3{x^2} \cdot {2^x} + {x^3} \cdot {2^x}\ln 2 } = {{x^2}{2^x}\left( {3 + x\ln 2} \right).} \]

   Пример 16

Найти производную дробно-линейной функции \(y = \large\frac{{ax + b}}{{cx + d}}\normalsize\). По правилу дифференцирования частного получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^\prime }\left( {cx + d} \right) - \left( {ax + b} \right){{\left( {cx + d} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} } = {\frac{{a\left( {cx + d} \right) - c\left( {ax + b} \right)}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} = \frac{{\cancel{\color{blue}{acx}} + ad - \cancel{\color{blue}{acx}} - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} } = {\frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}.} \] Заметим, что числитель можно записать через определитель: \[ad - bc = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b\\ c & d \end{array}} \right|.\] Окончательное выражение для производной выглядит так: \[y'\left( x \right) = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b\\ c & d \end{array}} \right|}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}.\]

   Пример 17

Вычислить производную функции \(y = \large\frac{{3x - 1}}{{{x^4}}}\normalsize\). \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{{3x - 1}}{{{x^4}}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {3x - 1} \right)}^\prime }{x^4} - \left( {3x - 1} \right){{\left( {{x^4}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^4}} \right)}^2}}} } = {\frac{{3 \cdot {x^4} - \left( {3x - 1} \right) \cdot 4{x^3}}}{{{x^8}}} } = {\frac{{\color{blue}{3{x^4}} - \color{blue}{12{x^4}} + 4{x^3}}}{{{x^8}}} } = {\frac{{4{x^3} - \color{blue}{9{x^4}}}}{{{x^8}}} } = {\frac{{{x^3}\left( {4 - 9x} \right)}}{{{x^8}}} } = {\frac{{4 - 9x}}{{{x^5}}}.} \]

   Пример 18

Найти производную функции \(y = \left( {1 + n{x^m}} \right)\left( {1 + m{x^n}} \right)\). По правилу дифференцирования произведения функций получаем следующее выражение для производной: \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\left( {1 + n{x^m}} \right)\left( {1 + m{x^n}} \right)} \right]^\prime } } = {{\left( {1 + n{x^m}} \right)^\prime }\left( {1 + m{x^n}} \right) + \left( {1 + n{x^m}} \right){\left( {1 + m{x^n}} \right)^\prime } } = {nm{x^{m - 1}}\left( {1 + m{x^n}} \right) + \left( {1 + n{x^m}} \right)mn{x^{n - 1}} } = {nm\left[ {{x^{m - 1}}\left( {1 + m{x^n}} \right) + \left( {1 + n{x^m}} \right){x^{n - 1}}} \right] } = {nm\left[ {{x^{m - 1}} + \color{blue}{m{x^{n + m - 1}}} + {x^{n - 1}} + \color{blue}{n{x^{n + m - 1}}}} \right] } = {nm\left[ {{x^{m - 1}} + \color{blue}{\left( {n + m} \right){x^{n + m - 1}}} + {x^{n - 1}}} \right].} \]

   Пример 19

Вычислить производную следующей функции: \(y = \large\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\normalsize\). Используя формулу дифференцирования частного, имеем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^\prime }\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{\large\frac{1}{{2\sqrt x }}\normalsize\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x - 1} \right)\large\frac{1}{{2\sqrt x }}\normalsize}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{\large\frac{1}{{2\sqrt x }}\normalsize\left( {\cancel{\color{blue}{\sqrt x}} + \color{red}{1} - \cancel{\color{blue}{\sqrt x}} + \color{red}{1}} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{{\large\frac{1}{{2\sqrt x }}\normalsize \cdot \color{red}{2}}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} } = {\frac{1}{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.} \]

   Пример 20

Вывести формулу производной функции \(f\left( x \right) = \large\frac{{u\left( x \right)v\left( x \right)}}{{w\left( x \right)}}\normalsize\). Сначала дифференцируем данную функцию по формуле производной частного: \[ {f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{uv}}{w}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {uv} \right)}^\prime } \cdot w - uv \cdot w'}}{{{w^2}}}.} \] Далее, используя формулу производной произведения двух функций, получаем: \[ {f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {uv} \right)}^\prime } \cdot w - uv \cdot w'}}{{{w^2}}} } = {\frac{{\left( {u'v + uv'} \right)w - uvw'}}{{{w^2}}} } = {\frac{{u'vw + uv'w - uvw'}}{{{w^2}}}.} \]