Производная показательной и логарифмической функции

На странице Определение производной мы вывели формулы производной экспоненциальной функции \(y = {e^x}\) и функции натурального логарифма \(y = \ln x\). Ниже мы рассмотрим показательную и логарифмическую функцию с произвольным основанием и получим выражения для их производных. Начнем с производной логарифмической функции \(y = {\log _a}x\), где основание \(a\) больше нуля и не равно единице: \(a > 0\), \(a \ne 1\). Согласно определению производной, дадим аргументу \(x\) приращение \(\Delta x > 0\), причем предположим, что \(x + \Delta x > 0\). Логарифмическая функция получит соответствующее приращение \(\Delta y\), равное \[\Delta y = {\log _a}\left( {x + \Delta x} \right) - {\log _a}x.\] Разделим обе части равенства на \(\Delta x\): \[ {\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{1}{{\Delta x}}\left[ {{{\log }_a}\left( {x + \Delta x} \right) - {{\log }_a}x} \right] } = {\frac{1}{{\Delta x}}{\log _a}\frac{{x + \Delta x}}{x} } = {\frac{1}{{\Delta x}}{\log _a}\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right).} \] Обозначим \(\large\frac{{\Delta x}}{x}\normalsize = \large\frac{1}{n}\normalsize\). Тогда последнее соотношение можно переписать в виде \[ {\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{1}{{\Delta x}}{\log _a}\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right) } = {\frac{1}{x} \cdot n\,{\log _a}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right).} \] Используя свойство логарифма степенной функции, получаем: \[\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{1}{x}{\log _a}{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}.\] Полагая \(\Delta x \to 0\) (в этом случае \(n \to \infty\)), находим предел отношения приращений, т.е. производную логарифмической функции: \[ {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1}{x}{{\log }_a}{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}} \right] } = {\frac{1}{x}{\log _a}\left[ {\lim\limits_{n \to \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}} \right].} \] Здесь мы использовали свойство предела от сложной функции, учитывая, что логарифмическая функция является непрерывной. Предел в квадратных скобках равен знаменитому числу \(e\), которое приблизительно составляет \(2.7\color{blue}{1828}\color{red}{1828}\ldots\) (\(2.7\), затем два раза год рождения Л.Н.Толстого): \[\lim\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = e \approx 2,7\color{blue}{1828}\color{red}{1828}459 \ldots \] Следовательно, производная логарифмической функции имеет вид \[{\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{x}{\log _a}e.\] По формуле перехода к новому основанию логарифма имеем: \[{\log _a}e = \frac{{\ln e}}{{\ln a}} = \frac{1}{{\ln a}}.\] Таким образом, \[y'\left( x \right) = {\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln a}}.\] В случае \(a = e\) мы получаем натуральный логарифм, производная которого выражается формулой \({\left( {\ln x} \right)^\prime } = \large\frac{1}{x}\normalsize.\)

Отметим еще один важный частный случай − производную десятичного логарифма: \[{\left( {\text{lg}\,x} \right)^\prime } = \frac{{\text{lg}\,e}}{x} = \frac{M}{x},\] где число \(M\) равно \(M = \text{lg}\,e \approx 0.43429 \ldots \) Поскольку показательная функция с основанием \(a\) (\(a > 0\), \(a \ne 1\)) и логарифмическая функция с тем же основанием образуют пару взаимно-обратных функций, то производную показательной функции можно найти с помощью теоремы о производной обратной функции.

Пусть дана пара взаимно-обратных функций \(y = f\left( x \right) = {a^x}\) и \(x = \varphi \left( y \right) = {\log _a}y.\) Тогда \[ {\left( {{a^x}} \right)^\prime = f'\left( x \right) } = {\frac{1}{{\varphi '\left( y \right)}} } = {\frac{1}{{{{\left( {{{\log }_a}y} \right)}^\prime }}} } = {\frac{1}{{\frac{1}{{y\ln a}}}} } = {y\ln a } = {{a^x}\ln a.} \] В частном случае \(a = e\) производная равна самой функции: \[{\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}\ln e = {e^x}.\] В примерах, приведенных ниже, найти производную заданной функции.

   Пример 1

\[y = \frac{{\ln x}}{x}\] Дифференцируем как частное двух функций: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{{\ln x}}{x}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^\prime } \cdot x - \ln x \cdot x'}}{{{x^2}}} } = {\frac{{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}}{{{x^2}}} } = {\frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}},} \] где \(x > 0\).

   Пример 2

\[y = {\pi ^{\large\frac{1}{x}\normalsize}}\] Дифференцируя данную показательную функцию как сложную, находим \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{\pi ^{\large\frac{1}{x}\normalsize}}} \right)^\prime } } = {{\pi ^{\large\frac{1}{x}\normalsize}} \cdot \ln \pi \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } } = {{\pi ^{\large\frac{1}{x}\normalsize}} \cdot \ln \pi \cdot \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) } = { - \frac{{{\pi ^{\large\frac{1}{x}\normalsize}}\ln \pi }}{{{x^2}}}.} \]

   Пример 3

\[y = x\ln x - x\] Используя правила дифференцирования произведения функций и разности функций, получаем: \[\require{cancel} {y'\left( x \right) = {\left[ {x\ln x - x} \right]^\prime } } = {{\left( {x\ln x} \right)^\prime } - x' } = {x'\ln x + x{\left( {\ln x} \right)^\prime } - x' } = {1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 } = {\ln x + \cancel{1} - \cancel{1} = \ln x\;\left( {x > 0} \right).} \]

   Пример 4

\[y = {\log _2}\cos x\] Дифференцируя как сложную функцию, имеем \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{{\log }_2}\cos x} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\cos x \cdot \ln 2}} \cdot {\left( {\cos x} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\cos x \cdot \ln 2}} \cdot \left( { - \sin x} \right) } = { - \frac{{\sin x}}{{\cos x \cdot \ln 2}} = - \frac{{\tan x}}{{\ln 2}}.} \] Данная функция определена при условии \[ {\cos x > 0,}\;\; {\Rightarrow - \frac{\pi }{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi }{2} + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.} \]

   Пример 5

\[y = \sqrt {{2^x}} \] \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {{2^x}} } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{2\sqrt {{2^x}} }} \cdot {\left( {{2^x}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{2\sqrt {{2^x}} }} \cdot {2^x}\ln 2 } = {\frac{{{2^x}\ln 2}}{{2\sqrt {{2^x}} }} } = {\frac{{\sqrt {{2^x}} \ln 2}}{2}.} \]

   Пример 6

\[y = {\log _3}\frac{3}{x} + \frac{3}{x}\] Применяя линейные свойства производной и правило дифференцирования сложной функции, получаем \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{{\log }_3}\frac{3}{x} + \frac{3}{x}} \right)^\prime } } = {{\left( {{{\log }_3}\frac{3}{x}} \right)^\prime } + {\left( {\frac{3}{x}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\frac{3}{x}\ln 3}} \cdot {\left( {\frac{3}{x}} \right)^\prime } + 3 \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } } = {\frac{x}{{3\ln 3}} \cdot 3 \cdot \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 3 \cdot \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) } = { - \frac{3}{{{x^2}}}\left( {\frac{x}{{3\ln 3}} + 1} \right) } = { - \frac{3}{{{x^2}}} \cdot \frac{{x + 3\ln 3}}{{3\ln 3}} } = { - \frac{{x + 3\ln 3}}{{{x^2}\ln 3}}.} \] В данном примере функция определена при \(x > 0\).

   Пример 7

\[y = {\log _3}\left( {4{x^2}} \right)\] \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {{{\log }_3}\left( {4{x^2}} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{4{x^2}\ln 3}} \cdot {\left( {4{x^2}} \right)^\prime } } = {\frac{{8x}}{{4{x^2}\ln 3}} } = {\frac{2}{{x\ln 3}}\;\left( {x \ne 0} \right).} \]

   Пример 8

\[y = \ln \tan \frac{x}{2}\] По правилу дифференцирования сложной функции находим \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\ln \tan \frac{x}{2}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}} \cdot {\left( {\tan \frac{x}{2}} \right)^\prime }.} \] Упрощаем: \[ {y'\left( x \right) = \cot \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} \cdot {\left( {\frac{x}{2}} \right)^\prime } } = {\frac{{\cos \frac{x}{2}}}{{\sin\frac{x}{2}}} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} \cdot \frac{1}{2} } = {\frac{1}{{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}}.} \] Применив формулу двойного угла \(\sin x = 2\sin \large\frac{x}{2}\normalsize\cos\large\frac{x}{2}\normalsize\), получаем окончательный ответ \[y'\left( x \right) = \frac{1}{{\sin x}} = \csc x.\]

   Пример 9

\[y = \frac{1}{x}\left( {{{\ln }^3}x + 3{{\ln }^2}x + 6\ln x + 6} \right)\] Сначала возьмем производную от произведения функций: \[ {{y'\left( x \right) = {\left[ {\frac{1}{x}\left( {{{\ln }^3}x + 3{{\ln }^2}x + 6\ln x + 6} \right)} \right]^\prime } }}\kern0pt {= {{\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime }\left( {{{\ln }^3}x + 3{{\ln }^2}x + 6\ln x + 6} \right) + \frac{1}{x}{\left( {{{\ln }^3}x + 3{{\ln }^2}x + 6\ln x + 6} \right)^\prime }.\;\;\;\;\;}} \] Дифференцируя отдельные члены и упрощая, получаем: \[ {y'\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\left( {{{\ln }^3}x + 3{{\ln }^2}x + 6\ln x + 6} \right) + \frac{1}{x}\left( {3{{\ln }^2}x \cdot {{\left( {\ln x} \right)}^\prime } + 3 \cdot 2\ln x \cdot {{\left( {\ln x} \right)}^\prime } + 6 \cdot \frac{1}{x} + 0} \right) } = { - \frac{{{{\ln }^3}x + 3{{\ln }^2}x + 6\ln x + 6}}{{{x^2}}} + \frac{{3{{\ln }^2}x \cdot \frac{1}{x} + 6\ln x \cdot \frac{1}{x} + \frac{6}{x}}}{x} } = {\frac{{3{{\ln }^2}x + 6\ln x + 6}}{{{x^2}}} - \frac{{{{\ln }^3}x + 3{{\ln }^2}x + 6\ln x + 6}}{{{x^2}}} } = {\frac{{\cancel{\color{blue}{3{{\ln }^2}x}} + \cancel{\color{red}{6\ln x}} + \cancel{\color{maroon}{6}} - \color{green}{{{\ln }^3}x} - \cancel{\color{blue}{3{{\ln }^2}x}} - \cancel{\color{red}{6\ln x}} - \cancel{\color{maroon}{6}}}}{{{x^2}}} } = { - \frac{\color{green}{{{\ln }^3}x}}{{{x^2}}}.} \]

   Пример 10

\[y = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} } \right)\] Дифференцируя как сложную функцию и упрощая, получаем следующее выражение для производной: \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} } \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} }} \cdot {\left( {x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} }}\left[ {1 + \frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} \cdot {{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^\prime }} \right] } = {\frac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} }}\left( {1 + \frac{{\cancel{2}x}}{{\cancel{2}\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} \right) } = {\frac{\cancel{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} + x}}}{{\cancel{\left( {x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} } \right)}\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} } = {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}.} \] Отметим, что заданная функция существует при \(x > 0\).

   Пример 11

\[y = {4^x} \cdot {3^{2x}}\] Используя правила дифференцирования произведения двух функций и сложной функции, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{4^x} \cdot {3^{2x}}} \right)^\prime } } = {{\left( {{4^x}} \right)^\prime } \cdot {3^{2x}} + {4^x} \cdot {\left( {{3^{2x}}} \right)^\prime } } = {{4^x}\ln 4 \cdot {3^{2x}} + {4^x} \cdot {3^{2x}}\ln 3 \cdot {\left( {2x} \right)^\prime } } = {{4^x}\ln 4 \cdot {3^{2x}} + {4^x} \cdot {3^{2x}}\ln 3 \cdot 2 } = {{4^x} \cdot {3^{2x}}\left( {\ln 4 + 2\ln 3} \right) } = {{4^x} \cdot {3^{2x}}\left( {\ln 4 + \ln {3^2}} \right) } = {{4^x} \cdot {3^{2x}}\left( {\ln 4 + \ln 9} \right) } = {{4^x} \cdot {3^{2x}}\ln 36.} \] Можно предложить и более простой способ вычисления производной, предварительно упростив заданную функцию. Запишем ее в виде \[ {y = {4^x} \cdot {3^{2x}} = {4^x} \cdot {\left( {{3^2}} \right)^x} } = {{4^x} \cdot {9^x} } = {{\left( {4 \cdot 9} \right)^x} = {36^x}.} \] Тогда производная равна \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{4^x} \cdot {3^{2x}}} \right)^\prime } } = {{\left( {{{36}^x}} \right)^\prime } } = {{36^x}\ln 36.} \]

   Пример 12

\[y = \frac{{{x^2}}}{{{2^x}}}\] По формуле производной частного двух функций находим: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^2}}}{{{2^x}}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {{x^2}} \right)}^\prime } \cdot {2^x} - {x^2} \cdot {{\left( {{2^x}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{2^x}} \right)}^2}}} } = {\frac{{2 x \cdot {2^x} - {x^2} \cdot {2^x}\ln 2}}{{{{\left( {{2^x}} \right)}^2}}} } = {\frac{{x\cancel{2^x}\left( {2 - x\ln 2} \right)}}{{{{\left( {{2^x}} \right)}^{\cancel{2}}}}} } = {\frac{{x\left( {2 - x\ln 2} \right)}}{{{2^x}}}.\;\;} \]

   Пример 13

\[y = \frac{{{x^n}}}{{{n^x}}}\;\left( {n > 0} \right)\] Здесь в числителе и знаменателе находятся, соответственно, степенная и показательная функции. Используя правило дифференцирования частного, получаем: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^n}}}{{{n^x}}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {{x^n}} \right)}^\prime } \cdot {n^x} - {x^n} \cdot {{\left( {{n^x}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{n^x}} \right)}^2}}} } = {\frac{{n {x^{n - 1}} \cdot {n^x} - {x^n} \cdot {n^x}\ln n}}{{{{\left( {{n^x}} \right)}^2}}} } = {\frac{{{x^{n - 1}}\cancel{n^x}\left( {n - x\ln n} \right)}}{{{{\left( {{n^x}} \right)}^{\cancel{2}}}}} } = {\frac{{{x^{n - 1}}\left( {n - x\ln n} \right)}}{{{n^x}}}.\;\;\;\;\;} \]

   Пример 14

\[y = \ln \sqrt {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} \] Используем формулы производной сложной функции и производной частного. После небольших преобразований получаем вполне "приличный" ответ. \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\ln \sqrt {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} } \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\sqrt {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} }} \cdot {\left( {\sqrt {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} } \right)^\prime } } = {\sqrt {\frac{{1 + \sin x}}{{1 - \sin x}}} \cdot \frac{1}{{2\sqrt {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} }} \cdot {\left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} \right)^\prime } } = {\sqrt {\frac{{1 + \sin x}}{{1 - \sin x}}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt {\frac{{1 + \sin x}}{{1 - \sin x}}} \cdot \frac{{{{\left( {1 - \sin x} \right)}^\prime }\left( {1 + \sin x} \right) - \left( {1 - \sin x} \right){{\left( {1 + \sin x} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + \sin x} \right)}^2}}} } = {{\left( {\sqrt {\frac{{1 + \sin x}}{{1 - \sin x}}} } \right)^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{\left( { - \cos x} \right)\left( {1 + \sin x} \right) - \left( {1 - \sin x} \right)\cos x}}{{{{\left( {1 + \sin x} \right)}^2}}} } = {\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{1 - \sin x}} \cdot \frac{{\left( { - 2\cos x} \right)}}{{1 + \sin x}} } = { - \frac{{\cos x}}{{\left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right)}} } = { - \frac{{\cos x}}{{1 - {{\sin }^2}x}} } = { - \frac{\cancel{\cos x}}{{{{\cos }^{\cancel{2}}}x}} } = { - \frac{1}{{\cos x}} } = { - \sec x.} \]

   Пример 15

\[y = \ln \left( {\arccos \frac{1}{x}} \right)\] Дважды применяем правило дифференцирования сложной функции: \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\ln \left( {\arccos \frac{1}{x}} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{\arccos \frac{1}{x}}} \cdot {\left( {\arccos \frac{1}{x}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\arccos \frac{1}{x}}} \cdot \left( { - \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2}} }}} \right) \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\arccos \frac{1}{x}}} \cdot \left( { - \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{x}} \right)}^2}} }}} \right) \cdot \left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) } = {\frac{1}{{\arccos \frac{1}{x}}} \cdot \frac{1}{{{x^2}\sqrt {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}} }} } = {\frac{{\left| x \right|}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} - 1} \arccos \frac{1}{x}}} } = {\frac{1}{{\left| x \right|\sqrt {{x^2} - 1} \arccos \frac{1}{x}}}.} \] Область определения данной функции и производной имеет следующий вид: \[ {\left\{ \begin{array}{l} \arccos \frac{1}{x} > 0\\ \left| {\frac{1}{x}} \right| \le 1\\ x \ne 0\\ {x^2} - 1 > 0 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} \ne 1\\ \left| x \right| \ge 1\\ x \ne 0\\ \left| x \right| > 1 \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \;\left| x \right| > 1.} \]

   Пример 16

\[y = \ln \left( {\ln \cot x} \right)\] Дифференцируя дважды как сложную функцию, получаем \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\ln \left( {\ln \cot x} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{\ln \cot x}} \cdot {\left( {\ln \cot x} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\ln \cot x}} \cdot \frac{1}{{\cot x}} \cdot {\left( {\cot x} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\ln \cot x}} \cdot \frac{1}{{\cot x}} \cdot \left( { - \cot x \cdot \csc x} \right) } = { - \frac{{\csc x}}{{\ln \cot x}}.} \] Найдем область определения заданной функции и ее производной. Соответствующая система неравенств записывается в виде \[ {\left\{ \begin{array}{l} \ln \cot x > 0\\ \cot x > 0\\ x \ne \pi n,\;n \in \mathbb{Z} \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cot x > 1\\ \cot x > 0\\ x \ne \pi n,\;n \in \mathbb{Z} \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \pi n < x < \frac{\pi }{4} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.} \]

   Пример 17

\[y = \frac{{{{\log }_2}\left( {{x^2}} \right)}}{{{x^2}}}\] По формуле производной частного находим: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{{\log }_2}\left( {{x^2}} \right)}}{{{x^2}}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {{{\log }_2}\left( {{x^2}} \right)} \right)}^\prime } \cdot {x^2} - {{\log }_2}\left( {{x^2}} \right) \cdot {{\left( {{x^2}} \right)}^\prime }}}{{{x^4}}} } = {\frac{{\frac{1}{{{x^2}\ln 2}} \cdot {{\left( {{x^2}} \right)}^\prime } \cdot {x^2} - {{\log }_2}\left( {{x^2}} \right) \cdot 2x}}{{{x^4}}} } = {\frac{{\frac{{2{x^3}}}{{{x^2}\ln 2}} - 2x{{\log }_2}\left( {{x^2}} \right)}}{{{x^4}}} } = {\frac{{2x\left[ {1 - {{\log }_2}\left( {{x^2}} \right)\ln 2} \right]}}{{{x^4}\ln 2}},} \] где \(x > 0\).

   Пример 18

Показать, что функция \(y = {e^x}\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\) является решением дифференциального уравнения \[y'' - 2y' + 5y = 0.\] Вычислим производные \(y'\) и \(y''\): \[ {y' = {\left[ {{e^x}\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)} \right]^\prime } } = {{\left( {{e^x}} \right)^\prime }\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right) + {e^x}{\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)^\prime } } = {{e^x}\left( {\color{blue}{\sin 2x} + \color{red}{\cos 2x}} \right) + {e^x}\left( {\color{red}{2\cos 2x} - \color{blue}{2\sin 2x}} \right) } = {{e^x}\left( {\color{red}{3\cos 2x} - \color{blue}{\sin 2x}} \right);} \] \[ {y'' = {\left[ {{e^x}\left( {3\cos 2x - \sin 2x} \right)} \right]^\prime } } = {{\left( {{e^x}} \right)^\prime }\left( {3\cos 2x - \sin 2x} \right) + {e^x}{\left( {3\cos 2x - \sin 2x} \right)^\prime } } = {{e^x}\left( {\color{maroon}{3\cos 2x} - \color{green}{\sin 2x}} \right) + {e^x}\left( { - \color{green}{6\sin 2x} - \color{maroon}{2\cos 2x}} \right) } = {{e^x}\left( {\color{maroon}{\cos 2x} - \color{green}{7\sin 2x}} \right).} \] Подставляем производные и саму функцию в уравнение: \[ {y'' - 2y' + 5y = 0,}\;\; {\Rightarrow {e^x}\left( {\cos 2x - 7\sin 2x} \right) - 2{e^x}\left( {3\cos 2x - \sin 2x} \right) + 5{e^x}\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \color{red}{\cos 2x} - \color{blue}{7\sin 2x} - \color{red}{6\cos 2x} + \color{blue}{2\sin 2x} + \color{blue}{5\sin 2x} + \color{red}{5\cos 2x} = 0,}\;\; {\Rightarrow 0 \equiv 0.} \] Следовательно, данная функция является решением дифференциального уравнения.

   Пример 19

Показать, что функция \(y = {e^{ - 2x}}\left( {\sin 3x + \cos 3x} \right)\) является решением дифференциального уравнения \[y'' + 4y' + 13y = 0.\] Найдем первую и вторую производные заданной функции: \[ {y' = {\left[ {{e^{ - 2x}}\left( {\sin 3x + \cos 3x} \right)} \right]^\prime } } = {{\left( {{e^{ - 2x}}} \right)^\prime }\left( {\sin 3x + \cos 3x} \right) + {e^{ - 2x}}{\left( {\sin 3x + \cos 3x} \right)^\prime } } = { - 2{e^{ - 2x}}\left( {\color{blue}{\sin 3x} + \color{red}{\cos 3x}} \right) + {e^{ - 2x}}\left( {\color{red}{3\cos 3x} - \color{blue}{3\sin 3x}} \right) } = {{e^{ - 2x}}\left( {\color{red}{\cos 3x} - \color{blue}{5\sin 3x}} \right);} \] \[ {y'' = {\left[ {{e^{ - 2x}}\left( {\cos 3x - 5\sin 3x} \right)} \right]^\prime } } = {{\left( {{e^{ - 2x}}} \right)^\prime }\left( {\cos 3x - 5\sin 3x} \right) + {e^{ - 2x}}{\left( {\cos 3x - 5\sin 3x} \right)^\prime } } = { - 2{e^{ - 2x}}\left( {\color{maroon}{\cos 3x} - \color{green}{5\sin 3x}} \right) + {e^{ - 2x}}\left( { - \color{green}{3\sin 3x} - \color{maroon}{15\cos 3x}} \right) } = {{e^{ - 2x}}\left( {\color{green}{7\sin 3x} - \color{maroon}{17\cos 3x}} \right).} \] Подставляем производные и функцию в уравнение: \[ {y'' + 4y' + 13y = 0,}\;\; {\Rightarrow {e^{ - 2x}}\left( {7\sin 3x - 17\cos 3x} \right) + 4{e^{ - 2x}}\left( {\cos 3x - 5\sin 3x} \right) + 13{e^{ - 2x}}\left( {\sin 3x + \cos 3x} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \color{blue}{7\sin 3x} - \color{red}{17\cos 3x} + \color{red}{4\cos 3x} - \color{blue}{20\sin 3x} + \color{blue}{13\sin 3x} + \color{red}{13\cos 3x} = 0,}\;\; {\Rightarrow 0 \equiv 0.} \] Как видно, указанная функция является решением дифференциального уравнения.

   Пример 20

\[y = \ln \left( {\tan x + \sec x} \right)\] \[ {y'\left( x \right) = {\left[ {\ln \left( {\tan x + \sec x} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{{\tan x + \sec x}} \cdot {\left( {\tan x + \sec x} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{\tan x + \sec x}} \cdot \left( {{{\sec }^2}x + \tan x \cdot \sec x} \right) } = {\frac{{\sec x \cancel{\left( {\tan x + \sec x} \right)}}}{{\cancel{\tan x + \sec x}}} = \sec x.} \] Рассмотрим область определения заданной функции: \[ {\left\{ \begin{array}{l} \tan x + \sec x > 0\\ x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \large\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\normalsize + \large\frac{1}{{\cos x}}\normalsize > 0\\ x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \large\frac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}}\normalsize > 0\\ x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n \end{array} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x + \cos x > 0}\\ {\cos x > 0} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x + \cos x < 0}\\ {\cos x < 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\tan x + 1 > 0}\\ {\cos x > 0} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\tan x + 1 < 0}\\ {\cos x < 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\tan x > - 1}\\ {\cos x > 0} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\tan x < - 1}\\ {\cos x < 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..} \] Случай, описываемый первой системой неравенств, имеет решение в виде \[- \frac{\pi }{4} + \pi n < x < \frac{\pi }{2} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\] Во втором случае система неравенств является несовместной. Таким образом, область определения представляется в виде \[- \frac{\pi }{4} + \pi n < x < \frac{\pi }{2} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]