Производная неявной функции

Если функция одной переменной описывается уравнением \(y = f\left( x \right)\), где переменная \(y\) находится в левой части, а правая часть зависит только от аргумента \(x\), то говорят, что функция задана в явном виде. Например, следующие функции заданы явно: \[ {y = \sin x,}\;\; {y = {x^2} + 2x + 5,}\;\; {y = \ln \cos x.} \] Во многих задачах, однако, функция может быть задана неявным образом, т.е. в виде уравнения \[F\left( {x,y} \right) = 0.\] Конечно, любую явную функцию можно записать в неявном виде. Так указанные выше функции можно представить как \[ {y - \sin x = 0,}\;\; {y - {x^2} - 2x - 5 = 0,}\;\; {y - \ln \cos x = 0.} \] Обратное преобразование можно выполнить далеко не всегда. Часто встречаются функции, заданные неявным уравнением, которые невозможно разрешить относительно переменной \(y\). Например, для приведенных ниже функций \[ {{x^3} + {y^3} - 3{x^2}{y^5} = 0,}\;\; {\frac{{x - y}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} - 4x{y^2} = 0,}\;\; {xy - \sin \left( {x + y} \right) = 0} \] невозможно получить зависимость \(y\left( x \right)\) в явном виде.

Хорошая новость состоит в том, что для нахождения производной \(y'\left( x \right)\) неявно заданной функции нет необходимости преобразовывать ее в явную форму. Для этого, зная уравнение \(F\left( {x,y} \right) = 0,\) достаточно выполнить следующие действия:

• Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по переменной \(x\), предполагая, что \(y\) − это дифференцируемая функция \(x\) и используя правило вычисления производной от сложной функции. При этом производная нуля (в правой части) также будет равна нулю.
  
  Замечание: Если правая часть отлична от нуля, т.е. неявное уравнение имеет вид \[f\left( {x,y} \right) = g\left( {x,y} \right),\] то дифференцируем левую и правую части уравнения.


• Решить полученное уравнение относительно производной \(y'\left( x \right)\).

Описанный алгоритм нахождения производной неявной функции используется в приведенных ниже примерах.

   Пример 1

Найти производную функции, заданной уравнением \({y^2} = 2px,\) где \(p\) − параметр. Данное уравнение представляет собой каноническое уравнение параболы. Дифференцируя левую и правую части по \(x\), получаем: \[ {{\left( {{y^2}} \right)^\prime } = {\left( {2px} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow 2yy' = 2p,}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{p}{y},\;\;\text{где}\;\;y \ne 0.} \]

   Пример 2

Продифференцировать функцию \(y\left( x \right)\), заданную уравнением \(y = \cos \left( {x + y} \right).\) Дифференцируем обе части уравнения по переменной \(x\): \[ {\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\cos \left( {x + y} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = - \sin \left( {x + y} \right) \cdot \left( {1 + y'} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = - \sin \left( {x + y} \right) - y'\sin \left( {x + y} \right),}\;\; {\Rightarrow y'\left( {1 + \sin \left( {x + y} \right)} \right) = - \sin \left( {x + y} \right),} \] что приводит к результату \[y' = - \frac{{\sin \left( {x + y} \right)}}{{1 + \sin \left( {x + y} \right)}}.\]

   Пример 3

Найти уравнение касательной к кривой \({x^4} + {y^4} = 2\) в точке \(\left( {1,1} \right).\) Продифференцируем обе части уравнения кривой по \(x\): \[ {\frac{d}{{dx}}\left( {{x^4} + {y^4}} \right) = \frac{d}{{dx}}\left( 2 \right),}\;\; {\Rightarrow 4{x^3} + 4{y^3}y' = 0,}\;\; {\Rightarrow {x^3} + {y^3}y' = 0.} \] Тогда \(y' = - \large\frac{{{x^3}}}{{{y^3}}}\normalsize\). В точке \(\left( {1,1} \right)\) соответственно находим, что \(y'\left( 1 \right) = - 1.\) Следовательно, уравнение касательной в данной точке имеет вид \[ {\frac{{x - 1}}{{y - 1}} = - 1}\;\; {\text{или}\;\;x + y = 2.} \]

   Пример 4

Вычислить производную функции \(y\left( x \right)\), заданной уравнением \({x^2} + 2xy + 2{y^2} = 1\) при условии \(y = 1.\) Дифференцируем обе части уравнения по \(x\) (левую часть дифференцируем как сложную функцию): \[ {\frac{d}{{dx}}\left( {{x^2} + 2xy + 2{y^2}} \right) = \frac{d}{{dx}}\left( 1 \right),}\;\; {\Rightarrow 2x + 2\left( {y + xy'} \right) + 4yy' = 0,}\;\; {\Rightarrow x + y + xy' + 2yy' = 0.} \] Если \(y = 1\), то из исходного уравнения находим \[ {{x^2} + 2x + 2 = 1,}\;\; {\Rightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 0,}\;\; {\Rightarrow x = - 1.} \] Подставив значения \(x = -1\) и \(y = 1\), получаем: \[ - 1 + 1 - y' + 2y' = 0.\] Отсюда следует, что \(y' = 0\) при \(y = 1.\)

   Пример 5

Дано уравнение окружности \({x^2} + {y^2} = {r^2}\) с центром в начале координат и радиусом \(r\). Найти производную \(y'\left( x \right).\) Продифференцируем по \(x\) обе части уравнения: \[ {\frac{d}{{dx}}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = \frac{d}{{dx}}\left( {{r^2}} \right),}\;\; {\Rightarrow 2x + 2yy' = 0,}\;\; {\Rightarrow x + yy' = 0,}\;\; {\Rightarrow yy' = - x,}\;\; {\Rightarrow y' = - \frac{x}{y}.} \] В данном случае мы можем получить и явное выражение для производной. Например, для верхней полуокружности, зависимость \(y\left( x \right)\) имеет явный вид \(y = + \sqrt {{r^2} - {x^2}} .\) Отсюда находим, что производная равна \[y' = - \frac{x}{{\sqrt {{r^2} - {x^2}} }}.\]

   Пример 6

Вычислить производную функции, заданной уравнением \({x^3} + {y^3} = 3xy.\) Дифференцируем левую и правую части уравнения по \(x\), рассматривая \(y\) как сложную функцию от \(x\): \[ {{\left( {{x^3} + {y^3}} \right)^\prime } = {\left( {3xy} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow 3{x^2} + 3{y^2}y' = {\left( {3x} \right)^\prime }y + 3xy',}\;\; {\Rightarrow 3{x^2} + 3{y^2}y' = 3y + 3xy'.} \] Из полученного соотношения найдем \(y'\): \[ {{y^2}y' - xy' = y - {x^2},}\;\; {\Rightarrow y'\left( {{y^2} - x} \right) = y - {x^2},}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{y - {x^2}}}{{{y^2} - x}}.} \] Данная производная существует при условии \[{y^2} - x \ne 0\;\;\text{или}\;\;y \ne \pm \sqrt x .\]

   Пример 7

\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\] Записанное уравнение представляет собой уравнение эллипса. Дифференцируя обе части и учитывая, что \(y\) − функция от \(x\), получаем: \[ {{\left( {\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}} \right)^\prime } = {\left( 1 \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{2x}}{{{a^2}}} + \frac{{2y}}{{{b^2}}}y' = 0,}\;\; {\Rightarrow y'\frac{y}{{{b^2}}} = - \frac{x}{{{a^2}}},}\;\; {\Rightarrow y' = - \frac{{{b^2}x}}{{{a^2}y}},\;\;\text{где}\;\;y \ne 0.} \]

   Пример 8

\[{3^x} + {3^y} = {3^{x + y}}\] Дифференцируем обе части и решаем полученное уравнение относительно \(y'\): \[ {{\left( {{3^x} + {3^y}} \right)^\prime } = {\left( {{3^{x + y}}} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow {3^x}\ln 3 + {3^y}\ln 3 \cdot y' = {3^{x + y}}\ln 3 \cdot {\left( {x + y} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow {3^x} + {3^y}y' = {3^{x + y}}\left( {1 + y'} \right),}\;\; {\Rightarrow {3^x} + {3^y}y' = {3^{x + y}} + {3^{x + y}}y',}\;\; {\Rightarrow {3^y}y' - {3^{x + y}}y' = {3^{x + y}} - {3^x},}\;\; {\Rightarrow {3^y}y'\left( {1 - {3^x}} \right) = {3^x}\left( {{3^y} - 1} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = - \frac{{{3^x}\left( {{3^y} - 1} \right)}}{{{3^y}\left( {{3^x} - 1} \right)}}.} \]

   Пример 9

Найти производную астроиды \({x^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} + {y^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} = {a^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}.\) Дифференцируем заданное уравнение по \(x\): \[ {{\left( {{x^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} + {y^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}} \right)^\prime } = {\left( {{a^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{2}{3}{x^{ - \large\frac{1}{3}\normalsize}} + \frac{2}{3}{y^{ - \large\frac{1}{3}\normalsize}}y' = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{x}}} + \frac{{y'}}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{y}}} = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'}}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{y}}} = - \frac{1}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{x}}},}\;\; {\Rightarrow y' = - \sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{y}{x}}},\;\;\text{где}\;\;x \ne 0,\;y \ne 0.} \]

   Пример 10

Найти производную \(y'\left( x \right)\) функции, описывающей общее уравнение кривой второго порядка: \[A{x^2} + 2Bxy + C{y^2} + 2Dx + 2Ey + F = 0.\] Дифференцируем данное уравнение по \(x\), принимая во внимание, что \(y\) − это функция от \(x\): \[ {{\left( {A{x^2} + 2Bxy + C{y^2} + 2Dx + 2Ey + F} \right)^\prime } = 0,}\;\; {\Rightarrow 2Ax + 2B\left( {x'y + xy'} \right) + 2Cyy' + 2D + 2Ey' = 0,}\;\; {\Rightarrow 2Ax + 2By + 2Bxy' + 2Cyy' + 2D + 2Ey' = 0,}\;\; {\Rightarrow Bxy' + Cyy' + Ey' = - \left( {Ax + By + D} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = - \frac{{Ax + By + D}}{{Bx + Cy + E}}.} \]

   Пример 11

Найти значение производной \(y'\left( x \right)\) в точке \(x = 0\) для функции, заданной уравнением \({e^y} + xy = e.\) Дифференцируя обе части, получаем следующее соотношение: \[ {{\left( {{e^y} + xy} \right)^\prime } = {\left( e \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow {e^y}y' + x'y + xy' = 0,}\;\; {\Rightarrow {e^y}y' + y + xy' = 0.} \] Отсюда находим производную: \[ {y'\left( {{e^y} + x} \right) = - y,}\;\; {\Rightarrow y' = - \frac{y}{{{e^y} + x}}.} \] Вычислим значение функции \(y\) при \(x = 0\): \[ {{e^0} + 0 \cdot y = e,}\;\; {\Rightarrow {e^y} = e,}\;\; {\Rightarrow y = 1.} \] Тогда производная в точке \(\left( {0,1} \right)\) равна \[ {y'\left( {x = 0,y = 1} \right) = - \frac{1}{{{e^1} + 0}} } = { - \frac{1}{e}.} \]

   Пример 12

\[x\sin y + y\cos x = 0\] Как обычно, дифференцируем обе части по \(x\): \[ {{\left( {x\sin y + y\cos x} \right)^\prime } = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {x\sin y} \right)^\prime } + {\left( {y\cos x} \right)^\prime } = 0.} \] Используя формулу производной произведения, находим: \[ {x'\sin y + x{\left( {\sin y} \right)^\prime } + y'\cos x + y{\left( {\cos x} \right)^\prime } = 0,}\;\; {\Rightarrow 1 \cdot \sin y + x \cdot \cos y \cdot y' + y' \cdot \cos x + y \cdot \left( { - \sin x} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \sin y + x\cos y \cdot y' + \cos x \cdot y' - y\sin x = 0,}\;\; {\Rightarrow y'\left( {x\cos y + \cos x} \right) = y\sin x - \sin y,}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{y\sin x - \sin y}}{{x\cos y + \cos x}}.} \]

   Пример 13

\[y = \sin \left( {x - y} \right)\] Дифференцируем обе части уравнения по \(x\): \[ {y' = {\left[ {\sin \left( {x - y} \right)} \right]^\prime },}\;\; {\Rightarrow y' = \cos \left( {x - y} \right) \cdot {\left( {x - y} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow y' = \cos \left( {x - y} \right) \cdot \left( {1 - y'} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = \cos \left( {x - y} \right) - \cos \left( {x - y} \right) \cdot y',}\;\; {\Rightarrow y'\left[ {1 + \cos \left( {x - y} \right)} \right] = \cos \left( {x - y} \right)}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{\cos \left( {x - y} \right)}}{{1 + \cos \left( {x - y} \right)}},} \] где производная \(y'\) определена при условии \[ {1 + \cos \left( {x - y} \right) \ne 0,}\;\; {\Rightarrow \cos \left( {x - y} \right) \ne - 1,}\;\; {\Rightarrow x - y \ne \pi + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.} \]

   Пример 14

\[y = \sin \left( {x + y} \right)\] \[ {y' = {\left[ {\sin \left( {x + y} \right)} \right]^\prime },}\;\; {\Rightarrow y' = \cos \left( {x + y} \right) \cdot {\left( {x + y} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow y' = \cos \left( {x + y} \right) \cdot \left( {1 + y'} \right),}\;\; {\Rightarrow y' = \cos \left( {x + y} \right) + \cos \left( {x + y} \right) \cdot y',}\;\; {\Rightarrow y'\left[ {1 - \cos \left( {x + y} \right)} \right] = \cos \left( {x + y} \right)}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{\cos \left( {x + y} \right)}}{{1 - \cos \left( {x + y} \right)}}.} \] Видно, что производная определена при условии \[ {1 - \cos \left( {x + y} \right) \ne 0,}\;\; {\Rightarrow \cos \left( {x + y} \right) \ne 1,}\;\; {\Rightarrow x + y \ne 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.} \]

   Пример 15

\[{2^{\large\frac{x}{y}\normalsize}} = \frac{{{x^2}}}{{{y^2}}}\;\;\left( {y \ne 0} \right).\] Следуя описанной схеме, имеем: \[ {{\left( {{2^{\large\frac{x}{y}\normalsize}}} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}}} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow {2^{\large\frac{x}{y}\normalsize}}\ln 2 \cdot {\left( {\frac{x}{y}} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2}} \right)}^\prime }{y^2} - {x^2}{{\left( {{y^2}} \right)}^\prime }}}{{{y^4}}},}\;\; {\Rightarrow {2^{\large\frac{x}{y}\normalsize}}\ln 2 \cdot \frac{{x'y - xy'}}{{{y^2}}} = \frac{{2x \cdot {y^2} - {x^2} \cdot 2y \cdot y'}}{{{y^4}}},}\;\; {\Rightarrow {2^{\large\frac{x}{y}\normalsize}}\ln 2 \cdot \frac{{y - xy'}}{{{y^2}}} = \frac{{2xy\left( {y - xy'} \right)}}{{{y^4}}},}\;\; {\Rightarrow {2^{\large\frac{x}{y}\normalsize}}\ln 2\left( {y - xy'} \right) = \frac{{2x}}{y}\left( {y - xy'} \right),}\;\; {\Rightarrow \left( {{2^{\large\frac{x}{y}\normalsize}}\ln 2 - \frac{{2x}}{y}} \right)\left( {y - xy'} \right) = 0.} \] Из последнего равенства находим производную: \[ {y - xy' = 0,}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{y}{x},\;\;\text{где}\;\;x \ne 0.} \] Заметим, что данная функция не существует при \(y = 0.\) В то же время производная не существует как при \(y = 0,\) так и при \(x = 0.\)

   Пример 16

\[{x^2} + y + \ln \left( {x + y} \right) = 0,\;\;\left( {x + y > 0} \right).\] Вычисляем производную \(y'\) по общей схеме, рассмотренной выше. В результате получаем: \[ {{\left[ {{x^2} + y + \ln \left( {x + y} \right)} \right]^\prime } = 0,}\;\; {\Rightarrow 2x + y' + \frac{1}{{x + y}} \cdot {\left( {x + y} \right)^\prime } = 0,}\;\; {\Rightarrow 2x + y' + \frac{1}{{x + y}} \cdot \left( {1 + y'} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 2x + y' + \frac{1}{{x + y}} + \frac{{y'}}{{x + y}} = 0,}\;\; {\Rightarrow y'\left( {1 + \frac{1}{{x + y}}} \right) = - \left( {2x + \frac{1}{{x + y}}} \right),}\;\; {\Rightarrow y' \cdot \frac{{x + y + 1}}{{x + y}} = - \frac{{2{x^2} + 2xy + 1}}{{x + y}},}\;\; {\Rightarrow y' = - \frac{{2{x^2} + 2xy + 1}}{{x + y + 1}}.} \]

   Пример 17

Найти производную в точке \(x = 2\) функции, заданной уравнением \[{x^2} + {y^2} + 2x - xy + 5y - 2 = 0.\] Предварительно вычислим значение функции \(y\) в точке \(x = 2\): \[ {{x^2} + {y^2} + 2x - xy + 5y - 2 = 0,}\;\; {\Rightarrow {y^2} + 3y + 6 = 0,}\;\; {\Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} = 0,}\;\; {\Rightarrow y = - 3.} \] Теперь дифференцируем заданное уравнение по \(x\): \[ {{\left( {{x^2} + {y^2} + 2x - xy + 5y - 2} \right)^\prime } = 0,}\;\; {\Rightarrow 2x + 2yy' + 2 - \left( {x'y + xy'} \right) + 5y' = 0,}\;\; {\Rightarrow 2x + 2yy' + 2 - y - xy' + 5y' = 0,}\;\; {\Rightarrow 2yy' - xy' + 5y' = y - 2x - 2,}\;\; {\Rightarrow y'\left( {2y - x + 5} \right) = y - 2x - 2,}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{y - 2x - 2}}{{2y - x + 5}}.} \] Подставляя координаты точки \(\left( {x = 2,y = - 3} \right),\) находим значение производной: \[ {y'\left( {2, - 3} \right) = \frac{{ - 3 - 2 \cdot 2 - 2}}{{2 \cdot \left( { - 3} \right) - 2 + 5}} } = {\frac{{ - 9}}{{ - 3}} = 3.} \]

   Пример 18

\[\frac{y}{x} = \ln \left( {xy} \right)\;\;\left( {xy > 0} \right).\] Используя правила дифференцирования произведения функций, частного функций и сложной функции, получаем: \[ {{\left( {\frac{y}{x}} \right)^\prime } = {\left[ {\ln \left( {xy} \right)} \right]^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'x - yx'}}{{{x^2}}} = \frac{1}{{xy}} \cdot {\left( {xy} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'x - y}}{{{x^2}}} = \frac{{x'y + xy'}}{{xy}},}\;\; {\Rightarrow \frac{{y'x - y}}{x} = \frac{{y + xy'}}{y}.} \] Разрешим это уравнение относительно \(y'\): \[ {y' - \frac{y}{x} = 1 + \frac{x}{y}y',}\;\; {\Rightarrow y' - \frac{x}{y}y' = 1 + \frac{y}{x},}\;\; {\Rightarrow y'\left( {1 - \frac{x}{y}} \right) = 1 + \frac{y}{x},}\;\; {\Rightarrow y' \cdot \frac{{y - x}}{y} = \frac{{y + x}}{x},}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{y + x}}{x} \cdot \frac{y}{{y - x}},}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{y\left( {y + x} \right)}}{{x\left( {y - x} \right)}}.} \] где предполагается, что \(y \ne x.\)

   Пример 19

Найти производную функции, заданной уравнением \(x + y = \arctan \left( {xy} \right).\) Дифференцируем обе части уравнения по \(x\): \[ {{\left( {x + y} \right)^\prime } = {\left[ {\arctan \left( {xy} \right)} \right]^\prime },}\;\; {\Rightarrow 1 + y' = \frac{1}{{1 + {{\left( {xy} \right)}^2}}} \cdot {\left( {xy} \right)^\prime }.} \] Используя формулу производной произведения, можно записать: \[ {1 + y' = \frac{1}{{1 + {{\left( {xy} \right)}^2}}} \cdot \left( {x'y + xy'} \right),}\;\; {\Rightarrow 1 + y' = \frac{y}{{1 + {x^2}{y^2}}} + \frac{{xy'}}{{1 + {x^2}{y^2}}}.} \] Следовательно, \[ {y' - \frac{{xy'}}{{1 + {x^2}{y^2}}} = \frac{y}{{1 + {x^2}{y^2}}} - 1,}\;\; {\Rightarrow y'\left( {1 - \frac{x}{{1 + {x^2}{y^2}}}} \right) = \frac{{y - 1 - {x^2}{y^2}}}{{1 + {x^2}{y^2}}},}\;\; {\Rightarrow y' \cdot \frac{{{x^2}{y^2} - x + 1}}{{1 + {x^2}{y^2}}} = - \frac{{{x^2}{y^2} - y + 1}}{{1 + {x^2}{y^2}}},}\;\; {\Rightarrow y' = - \frac{{{x^2}{y^2} - y + 1}}{{{x^2}{y^2} - x + 1}}.} \] Заметим, что в данном примере производная \(y'\) существует при условии \[ {{x^2}{y^2} - x + 1 \ne 0,}\;\; {\Rightarrow {x^2}{y^2} \ne x - 1,}\;\; {\Rightarrow {y^2} \ne \frac{{x - 1}}{{{x^2}}},}\;\; {\Rightarrow y \ne \pm \sqrt {\frac{{x - 1}}{{{x^2}}}},}\;\; {\Rightarrow y \ne \pm \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{\left| x \right|}},}\;\; {\Rightarrow y \ne \pm \frac{{\sqrt {x - 1} }}{x}\;\;\text{и}\;\;x > 1.} \]

   Пример 20

\[{x^y} = {y^x}\] Предварительно прологарифмируем обе части уравнения: \[ {\ln \left( {{x^y}} \right) = \ln \left( {{y^x}} \right),}\;\; {\Rightarrow y\ln x = x\ln y.} \] Здесь предполагается, что \(x > 0\) и \(y > 0.\) Кроме того, \(x \ne 1\) и \(y \ne 1\) как основания показательных функций.

Дифференцируя обе части равенства по \(x\) и учитывая, что \(y\) − функция от \(x\), получаем: \[ {{\left( {y\ln x} \right)^\prime } = {\left( {x\ln y} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow y' \cdot \ln x + y \cdot {\left( {\ln x} \right)^\prime } = x' \cdot \ln y + x \cdot {\left( {\ln y} \right)^\prime },}\;\; {\Rightarrow y' \cdot \ln x + y \cdot \frac{1}{x} = 1 \cdot \ln y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot y',}\;\; {\Rightarrow y'\left( {\ln x - \frac{x}{y}} \right) = \ln y - \frac{y}{x},}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{\ln y - \frac{y}{x}}}{{\ln x - \frac{x}{y}}},}\;\; {\Rightarrow y' = \frac{{y\left( {x\ln y - y} \right)}}{{x\left( {y\ln x - x} \right)}}.} \] Заметим, что помимо ограничений на допустимые значения \(x\), указанных выше, производная терпит разрыв при условии \[ {y\ln x - x = 0}\;\; {\text{или}\;\;y = \frac{x}{{\ln x}}.} \]