Функция \(f\left( x \right)\) имеет предел \(L\) при \(x\), стремящемся к \(a\), если для любого положительного числа \(\varepsilon\) существует положительное число \(\delta\), такое, что при условии \(0 < \left| {x - a} \right| < \delta \) функция \(f\left( x \right)\) определена и удовлетворяет неравенству \(\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon \). Предел функции обозначается в виде
\(\lim\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = L\).

Рассмотрим далее свойства пределов.

Предел постоянной величины равен самой этой величине:
\(\lim\limits_{x \to a} C = C\)

Предел суммы функций равен сумме их пределов (при условии, что эти пределы существуют. Данное замечание относится и другим формулам, приведенным ниже):
\(\lim\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) + \lim\limits_{x \to a} g\left( x \right)\)

Предел разности функций равен разности пределов:
\(\lim\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) - \lim\limits_{x \to a} g\left( x \right)\)

Предел произведения функций равен произведению их пределов:
\(\lim\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right] = \lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) \cdot \lim\limits_{x \to a} g\left( x \right)\)

Предел частного двух функций равен отношению пределов, если предел в знаменателе не равен нулю:
\(\lim\limits_{x \to a} \large\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\normalsize = \large\frac{{\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}{{\lim\limits_{x \to a} g\left( x \right)}}\normalsize,\;\text{если}\;\lim\limits_{x \to a} g\left( x \right) \ne 0.\)

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:
\(\lim\limits_{x \to a} \left[ {kf\left( x \right)} \right] = k\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)\)

Предел сложной функции
\(\lim\limits_{x \to a} f\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( {\lim\limits_{x \to a} g\left( x \right)} \right)\)

Предел непрерывной функции
Если функция \(f{\left( x \right)}\) является непрерывной при \(x=a\), то
\(\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).

Первый замечательный предел  
\(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\sin x}}{x}\normalsize = 1\)

\(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\tan x}}{x}\normalsize = 1\) 

\(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\arcsin x}}{x}\normalsize = 1\) 

\(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\arctan x}}{x}\normalsize = 1\) 

\(\lim\limits_{x \to 0} \large\frac{{\ln\left( {1 + x} \right)}}{x}\normalsize = 1\) 

Второй замечательный предел  
\(\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \large\frac{1}{x}}\normalsize \right)^x} = e\)

\(\lim\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \large\frac{k}{x}}\normalsize \right)^x} = e^k\) 

\(\lim\limits_{x \to 0} {a^x} = 1\)