-
Многогранником называется объемная выпуклая фигура с плоскими гранями и прямыми ребрами. Если грани представляют собой одинаковые правильные многоугольники, то такой многогранник является правильным. Правильные многогранники известны с давних времен. Так, на территории Шотландии найдены каменные фигуры правильных многогранников, возраст которых достигает \(4000\) лет! Позже древнегреческий философ и математик Платон (\(428/427 \text{ BC}\) - \(348/347 \text{ BC}\)) подробно описал правильные многогранники, выделив \(5\) возможных типов (их называют также платоновыми телами). К правильным многогранникам относятся следующие тела: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.
-
Основные свойства платоновых тел
| Тело |
Число вершин |
Число ребер |
Число граней |
| Тетраэдр |
\(4\) |
\(6\) |
\(4\) |
| Куб |
\(8\) |
\(12\) |
\(6\) |
| Октаэдр |
\(6\) |
\(12\) |
\(8\) |
| Икосаэдр |
\(12\) |
\(30\) |
\(20\) |
| Додекаэдр |
\(20\) |
\(30\) |
\(12\) |
-
Октаэдр − правильный многогранник с \(8\) гранями в форме треугольников.
-
Радиус сферы, вписанной в октаэдр
\(r = \large\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\normalsize\)
-
Радиус сферы, описанной вокруг октаэдра
\(R = \large\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\normalsize\)
-
Площадь поверхности октаэдра
\(S = 2{a^2}\sqrt 3 \)
-
Объем октаэдра
\(V = \large\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\normalsize\)
-
Икосаэдр − правильный многогранник с \(20\) гранями, имеющих форму треугольника.
-
Радиус сферы, вписанной в икосаэдр
\(r = \large\frac{{a\sqrt 3 \left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{12}}\normalsize\)
-
Радиус сферы, описанной вокруг икосаэдра
\(R = \large\frac{a}{4}\normalsize\sqrt {2\left( {5 + \sqrt 5 } \right)} \)
-
Площадь поверхности икосаэдра
\(S = 5{a^2}\sqrt 3 \)
-
Объем икосаэдра
\(V = \large\frac{{5{a^3}\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{12}}\normalsize\)
-
Додекаэдр − правильный многогранник с \(12\) гранями, каждая из которых имеет форму правильного пятиугольника.
-
Радиус сферы, вписанной в додекаэдр
\(r = \large\frac{a}{2}\normalsize\sqrt {10\left( {25 + 11\sqrt 5 } \right)} \)
-
Радиус сферы, описанной вокруг додекаэдра
\(R = \large\frac{{a\sqrt 3 \left( {1 + \sqrt 5 } \right)}}{4}\normalsize\)
-
Площадь поверхности додекаэдра
\(S = 3{a^2}\sqrt {5\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)} \)
-
Объем додекаэдра
\(V = \large\frac{{{a^3}\left( {15 + 7\sqrt 5 } \right)}}{4}\normalsize\)
