Общее уравнение плоскости в прямоугольной системе координат определяется линейным уравнением
\(Ax + By + Cz + D =0.\)

Координаты нормального вектора \(\mathbf{n}\left( {A,B,C} \right)\) к плоскости представляют собой коэффициенты в общем уравнении этой плоскости
\(Ax + By + Cz + D =0.\)

Частные случаи уравнения плоскости  
\(Ax + By + Cz + D =0\)

Если \(A = 0\), то плоскость параллельна оси \(Ox\);
Если \(B = 0\), то плоскость параллельна оси \(Oy\);
Если \(C = 0\), то плоскость параллельна оси \(Oz\);
Если \(D = 0\), то плоскость проходит через начало координат.

Если \(A = B = 0\), то плоскость параллельна плоскости \(Oxy\);
Если \(B = C = 0\), то плоскость параллельна плоскости \(Oyz\);
Если \(A = C = 0\), то плоскость параллельна плоскости \(Oxz\).

Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\),
где точка \(P\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) принадлежит плоскости, а вектор \(\mathbf{n}\left( {A,B,C} \right)\) является вектором нормали.

Уравнение плоскости в отрезках
\(\large\frac{x}{a}\normalsize + \large\frac{y}{b}\normalsize + \large\frac{z}{c}\normalsize = 1\),
где \(a\), \(b\), \(c\) − отрезки, отсекаемые плоскостью, соответственно, на координатных осях \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\).

Уравнение плоскости по трем точкам
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x - {x_3}} & {y - {y_3}} & {z - {z_3}}\\ {{x_1} - {x_3}} & {{y_1} - {y_3}} & {{z_1} - {z_3}}\\ {{x_2} - {x_3}} & {{y_2} - {y_3}} & {{z_2} - {z_3}} \end{array}} \right| = 0\)  или  \(\left| {\begin{array}{*{20}{l}} x & y & z & 1\\ {{x_1}} & {{y_1}} & {{z_1}} & 1\\ {{x_2}} & {{y_2}} & {{z_2}} & 1\\ {{x_3}} & {{y_3}} & {{z_3}} & 1 \end{array}} \right| = 0,\\\)
где точки \(A\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\), \(C\left( {{x_3},{y_3},{z_3}} \right)\) лежат в данной плоскости.

Нормальное уравнение плоскости
\(x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma - p = 0\)
Здесь \(p\) представляет собой расстояние от начала координат до плоскости, а \(\cos \alpha\), \(\cos \beta\), \(\cos \gamma\) являются направляющими косинусами любой прямой, перпендикулярной к данной плоскости.

Параметрическое уравнение плоскости
\( \left\{ \begin{aligned} x &= {x_1} + {a_1}s + {a_2}t \\ y &= {y_1} + {b_1}s + {b_2}t \\ z &= {z_1} + {c_1}s + {c_2}t \end{aligned} \right.,\\\)
где \(\left( {x,y,z} \right)\) − координаты произвольной точки плоскости, точка \(P\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\) лежит в этой плоскости, и векторы \(\mathbf{u}\left( {{a_1},{b_1},{c_1}} \right)\), \(\mathbf{v}\left( {{a_2},{b_2},{c_2}} \right)\) параллельны ей.

Двугранный угол между плоскостями
Пусть две плоскости заданы уравнениями
\({A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\),
\({A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\).
Тогда двугранный угол между ними выражается формулой
\(\cos \varphi = \large\frac{{{\mathbf{n_1}} \cdot {\mathbf{n_2}}}}{{\left| {{\mathbf{n_1}}} \right| \cdot \left| {{\mathbf{n_2}}} \right|}}\normalsize = \large\frac{{{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}\normalsize.\)

Параллельные плоскости
Две плоскости \({A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\) и \({A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\) параллельны, если
\(\large\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}}\normalsize = \large\frac{{{B_1}}}{{{B_2}}}\normalsize = \large\frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}\normalsize.\)

Перпендикулярные плоскости
Две плоскости \({A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\) и \({A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\) перпендикулярны, если
\({A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0.\)

Уравнение плоскости по точке и двум векторам
Плоскость, проходящая через точку \(P\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\) и параллельная двум неколлинеарным векторам \(\mathbf{u}\left( {{a_1},{b_1},{c_1}} \right)\) и \(\mathbf{v}\left( {{a_2},{b_2},{c_2}} \right)\), определяется уравнением
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x - {x_1}} & {y - {y_1}} & {z - {z_1}}\\ {{a_1}} & {{b_1}} & {{c_1}}\\ {{a_2}} & {{b_2}} & {{c_2}} \end{array}} \right| = 0.\)

Уравнение плоскости по двум точкам и вектору
Плоскость, проходящая через точки \({P_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\) и \({P_2}\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\) и параллельная вектору \(\mathbf{u}\left( {a,b,c} \right)\), описывается уравнением
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x - {x_1}} & {y - {y_1}} & {z - {z_1}}\\ {{x_2} - {x_1}} & {{y_2} - {y_1}} & {{z_2} - {z_1}}\\ a & b & c \end{array}} \right| = 0.\)

Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки \({P_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\) до плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\) определяется формулой
\(d = \left| {\large\frac{{A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\normalsize} \right|.\)

Пересечение двух плоскостей
Если две плоскости \({A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\) и \({A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\) пересекаются, то прямая, являющаяся их пересечением, описывается уравнениями
\( \left\{ \begin{aligned} x &= {x_1} + at \\ y &= {y_1} + bt \\ z &= {z_1} + ct \end{aligned} \right.\)  или  \(\large\frac{{x - {x_1}}}{a}\normalsize = \large\frac{{y - {y_1}}}{b}\normalsize = \large\frac{{z - {z_1}}}{c}\normalsize,\\[17pt]\)
где \(a = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_1}} & {{C_1}}\\ {{B_2}} & {{C_2}} \end{array}} \right|,\;\;b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_1}} & {{A_1}}\\ {{C_2}} & {{A_2}} \end{array}} \right|,\;\;c = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}} & {{B_1}}\\ {{A_2}} & {{B_2}} \end{array}} \right|,\\[11pt]\)
\({x_1} = \large\frac{{b\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_1}}&{{C_1}}\\ {{D_2}}&{{C_2}} \end{array}} \right| - c\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_1}}&{{B_1}}\\ {{D_2}}&{{B_2}} \end{array}} \right|}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\normalsize,\;\;{y_1} = \large\frac{{c\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_1}}&{{A_1}}\\ {{D_2}}&{{A_2}} \end{array}} \right| - a\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_1}}&{{C_1}}\\ {{D_2}}&{{C_2}} \end{array}} \right|}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\normalsize,\;\;{z_1} = \large\frac{{a\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_1}}&{{B_1}}\\ {{D_2}}&{{B_2}} \end{array}} \right| - b\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_1}}&{{A_1}}\\ {{D_2}}&{{A_2}} \end{array}} \right|}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\normalsize.\)