Определение производной

Производная функции − одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место. Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Обратная операция − восстановление функции по известной производной − называется интегрированием.

Производная функции в некоторой точке характеризует скорость изменения функции в этой точке. Оценку скорости изменения можно получить, вычислив отношение изменения функции \(\Delta y\) к соответствующему изменению аргумента \(\Delta x\). В определении производной такое отношение рассматривается в пределе при условии \(\Delta x \to 0\). Перейдем к более строгой формулировке: Рассмотрим функцию \(f\left( x \right)\), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки \({x_0}\). Тогда функция \(f\left( x \right)\) является дифференцируемой в точке \({x_0}\), и ее производная определяется формулой \[ {f'\left( {{x_0}} \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}.} \] Для производной используются обозначения: \[f'\left( x \right) = y'\left( x \right) = \frac{{df}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dx}}.\] Для нахождения производной функции \(f\left( x \right)\) в точке \({x_0}\) на основе определения следует выполнить следующие действия:

• Записать отношение \(\large\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\normalsize = \large\frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\normalsize\);
  
  
• Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на \(\Delta x\);
  
  
• Найти производную \(f'\left( {{x_0}} \right)\), вычисляя предел полученного выражения. Если данный предел существует, то говорят, что функция \(f\left( x \right)\) дифференцируема в точке \({x_0}\).

В примерах ниже мы выведем производные основных элементарных функций, используя приведенное формальное определение производной. Эти функции составляют основной костяк в том смысле, что производные других функций можно выразить уже через них, применяя правила действий с производными.

   Пример 1

Используя определение производной, показать, что производная постоянного числа равна \(0\). В данном случае функция \(y\left( x \right)\) всегда равна некоторой константе \(C\). Поэтому можно записать: \[y\left( x \right) = C,\;\;y\left( {x + \Delta x} \right) = C.\] Ясно, что приращение функции тождественно равно нулю: \[ {\Delta y = y\left( {x + \Delta x} \right) - y\left( x \right) } = {C - C \equiv 0.} \] Подставляя это в определение производной через предел, получаем: \[ {y'\left( x \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{y\left( {x + \Delta x} \right) - y\left( {x} \right)}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{0}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} 0 = 0.} \]

   Пример 2

Вычислить производную функции \(y = x\). Следуя описанной выше схеме, образуем отношение \(\large\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\normalsize\) и найдем предел при \(\Delta x \to 0\): \[\require{cancel} {y'\left( x \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {x + \Delta x} \right) - x}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cancel{x} + \Delta x - \cancel{x}}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cancel{\Delta x}}}{{\cancel{\Delta x}}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} 1 = 1.} \]

   Пример 3

Найти производную линейной функции \(y = ax + b\), используя определение производной. Запишем приращение функции, соответствующее малому изменению аргумента \(\Delta x\): \[ {\Delta y = y\left( {x + \Delta x} \right) - y\left( x \right) } = {\left( {a\left( {x + \Delta x} \right) + b} \right) - \left( {ax + b} \right) } = {\cancel{\color{blue}{ax}} + a\Delta x + \cancel{\color{red}{b}} - \cancel{\color{blue}{ax}} - \cancel{\color{red}{b}} = a\Delta x.} \] Тогда производная будет равна \[ {y'\left( x \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{a\cancel{\Delta x}}}{{\cancel{\Delta x}}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} a = a.} \] Как видно, производная линейной функции \(y = ax + b\) всегда постоянна и равна коэффициенту \(a\).

   Пример 4

Используя определение, найти производную простейшей квадратичной функции \(y = {x^2}\). При изменении независимой переменной \(x\) на величину \(\Delta x\) функция получает следующее приращение: \[ {\Delta y = y\left( {x + \Delta x} \right) - y\left( x \right) } = {{\left( {x + \Delta x} \right)^2} - {x^2}.} \] Данное выражение можно преобразовать к такому виду: \[ {\Delta y = {\left( {x + \Delta x} \right)^2} - {x^2} } = {\cancel{x^2} + 2x\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} - \cancel{x^2} } = {\left( {2x + \Delta x} \right)\Delta x.} \] Вычислив соответствующий предел, найдем производную: \[ {y'\left( x \right) } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {2x + \Delta x} \right)\cancel{\Delta x}}}{{\cancel{\Delta x}}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2x + \Delta x} \right) = 2x.} \]

   Пример 5

Определить производную квадратичной функции общего вида \(y = a{x^2} + bx +c\). Найдем производную заданной функции, используя определение производной. Запишем приращение функции \(\Delta y\) при изменении аргумента на \(\Delta x\): \[ {\Delta y = y\left( {x + \Delta x} \right) - y\left( x \right) } = {\left[ {a{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} + b\left( {x + \Delta x} \right) + c} \right] - \left[ {a{x^2} + bx + c} \right] } = {\left[ {a{x^2} + 2ax\Delta x + a{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + bx + b\Delta x + c} \right] - \left[ {a{x^2} + bx + c} \right] } = {\cancel{\color{blue}{a{x^2}}} + 2ax\Delta x + a{\left( {\Delta x} \right)^2} + \cancel{\color{red}{bx}} + b\Delta x + \cancel{\color{maroon}{c}} - \cancel{\color{blue}{a{x^2}}} - \cancel{\color{red}{bx}} - \cancel{\color{maroon}{c}} } = {2ax\Delta x + a{\left( {\Delta x} \right)^2} + b\Delta x } = {\left( {2ax + b + a\Delta x} \right)\Delta x.} \] Теперь образуем отношение приращений и вычислим предел: \[ {y'\left( x \right) } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {2ax + b + a\Delta x} \right)\cancel{\Delta x}}}{{\cancel{\Delta x}}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2ax + b + a\Delta x} \right) } = {2ax + b.} \] Таким образом, производная квадратичной функции представляет собой линейную функцию.

   Пример 6

Используя определение, найти производную функции \(y = \large\frac{1}{x}\normalsize\). По определению производной \[ {y'\left( x \right) } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{y\left( {x + \Delta x} \right) - y\left( x \right)}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\frac{1}{{x + \Delta x}} - \frac{1}{x}}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\frac{{x - \left( {x + \Delta x} \right)}}{{\left( {x + \Delta x} \right)x}}}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\frac{{ - \Delta x}}{{\left( {x + \Delta x} \right)x}}}}{{\Delta x}} } = { - \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\cancel{\Delta x}}{{\cancel{\Delta x}\left( {x + \Delta x} \right)x}} } = { - \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{\left( {x + \Delta x} \right)x}} = - \frac{1}{{{x^2}}}.} \]

   Пример 7

Найти производную функции \(y = \sqrt x \). Применяя определение производной, получаем \[ {y'\left( x \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{y\left( {x + \Delta x} \right) - y\left( x \right)}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt {x + \Delta x} - \sqrt x }}{{\Delta x}}.} \] Умножим числитель и знаменатель на \({\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x }\). Заметим, что \[ {\left( {\sqrt {x + \Delta x} - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right) } = {{\left( {\sqrt {x + \Delta x} } \right)^2} - {\left( {\sqrt x } \right)^2} } = {\cancel{x} + \Delta x - \cancel{x} = \Delta x.} \] Тогда \[ {y'\left( x \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt {x + \Delta x} - \sqrt x }}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {x + \Delta x} - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}}{{\Delta x\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\cancel{\Delta x}}{{\cancel{\Delta x}\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x }} = \frac{1}{{2\sqrt x }}.} \]

   Пример 8

Вычислить производную кубической функции \(y = {x^3}\). При изменении переменной \(x\) на величину \(\Delta x\) функция получает следующее приращение: \[ {\Delta y = y\left( {x + \Delta x} \right) - y\left( x \right) } = {{\left( {x + \Delta x} \right)^3} - {x^3}.} \] Раскрываем куб суммы и упрощаем: \[ {\Delta y = {\left( {x + \Delta x} \right)^3} - {x^3} = \cancel{x^3} + 3{x^2}\Delta x + 3x{\left( {\Delta x} \right)^2} + {\left( {\Delta x} \right)^3} - \cancel{x^3} } = {\left( {3{x^2} + 3x\Delta x + {{\left( {\Delta x} \right)}^2}} \right)\Delta x.} \] Следовательно, производная кубической функции имеет следующий вид: \[ {y'\left( x \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {3{x^2} + 3x\Delta x + {{\left( {\Delta x} \right)}^2}} \right)\cancel{\Delta x}}}{\cancel{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \left( {3{x^2} + 3x\Delta x + {{\left( {\Delta x} \right)}^2}} \right) = 3{x^2}.} \] Здесь мы учли, что слагаемые \(3x\Delta x\) и \({{\left( {\Delta x} \right)}^2}\) стремятся к нулю при условии \(\Delta x \to 0\).

   Пример 9

Найти производную функции \(y = \sin x\). Используя определение производной, получаем \[y'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \left( {x + \Delta x} \right) - \sin x}}{{\Delta x}}.\] Применим тригонометрическое тождество \[\sin \alpha - \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}.\] Тогда \[ {y'\left( x \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \left( {x + \Delta x} \right) - \sin x}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\sin \frac{{\cancel{x} + \Delta x - \cancel{x}}}{2}\cos \frac{{x + \Delta x + x}}{2}}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\sin \frac{{\Delta x}}{2}\cos \left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\sin \frac{{\Delta x}}{2}}}{{\Delta x}} \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cos \left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).} \] Первый предел в данном выражении равен \[ {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\sin \frac{{\Delta x}}{2}}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\large\frac{{\Delta x}}{2}\normalsize \to 0} \frac{{\sin \frac{{\Delta x}}{2}}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}} = 1.} \] Поскольку \(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cos \left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right) = \cos x\), то для производной синуса получаем окончательное выражение: \[y'\left( x \right) = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x.\]

   Пример 10

Найти производную функции \(y = \cos x\). Следуя определению производной, запишем ее как предел: \[ {y'\left( x \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{y\left( {x + \Delta x} \right) - y\left( x \right)}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cos \left( {x + \Delta x} \right) - \cos x}}{{\Delta x}}.} \] Преобразуем разность косинусов в произведение по формуле \[\cos\alpha - \cos\beta = - 2\sin\frac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}.\] В результате получаем: \[ {y'\left( x \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cos \left( {x + \Delta x} \right) - \cos x}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( { - 2\sin\frac{{x + \Delta x + x}}{2}\sin\frac{{\cancel{x} + \Delta x - \cancel{x}}}{2}} \right)}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( { - 2\sin\left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right)\sin\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\Delta x}} } = {- \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\sin\frac{{\Delta x}}{2}}}{{\Delta x}} \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \sin\left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).} \] В данном выражении первый и второй пределы имеют следующие значения: \[ {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\sin\frac{{\Delta x}}{2}}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\large\frac{{\Delta x}}{2}\normalsize \to 0} \frac{{\sin\frac{{\Delta x}}{2}}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}} = 1,}\;\; {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \sin \left( {x + \frac{{\Delta x}}{2}} \right) = \sin x.} \] Следовательно, производная косинуса равна \[y'\left( x \right) = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x.\]

   Пример 11

Найти выражение для производной экспоненциальной функции \(y = {e^x}\), пользуясь определением производной. Начальные шаги являются стандартными: сначала запишем приращение функции \(\Delta y\), соответствующее приращению аргумента \(\Delta x\): \[ {\Delta y = y\left( {x + \Delta x} \right) - y\left( x \right) } = {{e^{x + \Delta x}} - {e^x} } = {{e^x}{e^{\Delta x}} - {e^x} } = {{e^x}\left( {{e^{\Delta x}} - 1} \right).} \] Производная вычисляется как предел отношения приращений: \[ {y'\left( x \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^x}\left( {{e^{\Delta x}} - 1} \right)}}{{\Delta x}}.} \] Функция \(y = {e^x}\) в числителе не зависит от Δx и ее можно вынести за знак предела. Тогда производная принимает такой вид: \[ {y'\left( x \right) = {\left( {{e^x}} \right)^\prime } } = {{e^x}\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{\Delta x}} - 1}}{{\Delta x}}.} \] Обозначим полученный предел через \(L\) и вычислим его отдельно. Заметим попутно, что \({e^0} = 1\) и, поэтому, можно записать \[ {L = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{\Delta x}} - 1}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{\Delta x}} - {e^0}}}{{\Delta x}} = e'\left( 0 \right),} \] то есть данный предел представляет собой значение производной показательной функции в нуле. Следовательно, \[y'\left( x \right) = {\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}e'\left( 0 \right).\] Мы получили соотношение, в котором искомая производная выражается через саму функцию \(y = {e^x}\) и ее производную в точке \(x = 0\). Докажем, что \[L = e'\left( 0 \right) = 1.\] Для этого вспомним, что число \(e\) определяется в виде бесконечного предела как \[e = {e^1} = \lim\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n},\] а число \(e\) в степени \(\Delta x\) будет, соответственно, равно \[{e^{\Delta x}} = \lim\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{n}} \right)^n}.\] Далее применим знаменитую формулу бинома Ньютона и разложим выражение под знаком предела в биномиальный ряд: \[{\left( {1 + \frac{{\Delta x}}{n}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} .\] Здесь \({C_n^k}\) обозначает число сочетаний из \(n\) элементов по \(k\). В европейских и американских учебниках число сочетаний обозначается как \[C_n^k = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right).\] Вернемся к нашему пределу \(L\), который теперь можно записать в таком виде: \[ {L = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{\Delta x}} - 1}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} } \right] - 1}}{{\Delta x}}.} \] Нам удобно в биномиальном ряде выделить первые два слагаемых: при \(k = 0\) и \(k = 1\). В результате получаем \[ {L = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} } \right] - 1}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {C_n^0{{\left( {\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^0} + C_n^1{{\left( {\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^1} + \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k{{\left( {\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} } \right] - 1}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {1 + n \cdot \frac{{\Delta x}}{n} + \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k{{\left( {\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} } \right] - 1}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta x + \lim\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k{{\left( {\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} }}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {1 + \frac{1}{{\Delta x}}\lim\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k{{\left( {\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} } \right] } = {1 + \lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k\frac{{{{\left( {\Delta x} \right)}^{k - 1}}}}{{{n^k}}}} } \right)} \right].} \] Очевидно, что сумма ряда стремится к нулю при \(\Delta x \to 0\). Поэтому, \(L = 1\). Это означает, что производная экспоненциальной функции \(y = {e^x}\) равна самой функции: \[y'\left( x \right) = {\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}.\]

   Пример 12

Найти производную степенной функции \(y = {x^n}\). Следуя общей схеме, запишем приращение функции: \[ {\Delta y = y\left( {x + \Delta x} \right) - y\left( x \right) } = {{\left( {x + \Delta x} \right)^n} - {x^n}.} \] В последнем выражении разложим сумму в степени \(n\) по формуле бинома Ньютона, которая имеет следующий вид: \[ {{\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} } = {C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + \ldots + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n} } = {{a^n} + n{a^{n - 1}} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{2!}}{a^{n - 2}}{b^2} + \ldots + na{b^{n - 1}} + {b^n}.} \] Тогда приращение \(\Delta y\) равно \[ {\Delta y = {\left( {x + \Delta x} \right)^n} - {x^n} } = {\left[ {{x^n} + n{x^{n - 1}}\Delta x + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{2!}}{x^{n - 2}}{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + \ldots + nx{{\left( {\Delta x} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\Delta x} \right)}^n}} \right] - {x^n} } = {n{x^{n - 1}}\Delta x + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{2!}}{x^{n - 2}}{\left( {\Delta x} \right)^2} + \ldots + nx{\left( {\Delta x} \right)^{n - 1}} + {\left( {\Delta x} \right)^n}.} \] Перейдем к отношению приращений и соответствующему пределу: \[ {y'\left( x \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{n{x^{n - 1}}\Delta x + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{2!}}{x^{n - 2}}{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + \ldots + nx{{\left( {\Delta x} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {\Delta x} \right)}^n}}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {n{x^{n - 1}} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{2!}}{x^{n - 2}}\left( {\Delta x} \right) + \ldots + nx{{\left( {\Delta x} \right)}^{n - 2}} + {{\left( {\Delta x} \right)}^{n - 1}}} \right].} \] Отсюда видно, что в пределе при \(\Delta x \to 0\) все слагаемые, кроме первого, стремятся к нулю. Поэтому производная степенной функции равна: \[y'\left( x \right) = {\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}}.\]

   Пример 13

Найти производную функции натурального логарифма \(y = \ln x\). Выведем производную логарифмической функции, пользуясь лишь определением и не применяя никаких других правил вычисления производной. Запишем выражение для производной через предел: \[ {y'\left( x \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{y\left( {x + \Delta x} \right) - y\left( x \right)}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {x + \Delta x} \right) - \ln x}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {\frac{{x + \Delta x}}{x}} \right)}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\frac{1}{{\Delta x}}\ln \left( {1 + \frac{{\Delta x}}{x}} \right)} \right].} \] Введем новую переменную \(n = \left| {\large\frac{x}{{\Delta x}}\normalsize} \right|\). Очевидно, что \(n \to \infty\) при \(\Delta x \to 0\). Производная и предел записываются через новую переменную \(n\) в таком виде: \[ {y'\left( x \right) = \lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{n}{x}\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \right] } = {\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1}{x}\ln {{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}} \right].} \] Сомножитель \({\large\frac{1}{x}\normalsize}\) не зависит от \(n\) и его можно вынести за знак предела. Далее применяя правило вычисления предела сложной функции, получаем: \[ {y'\left( x \right) = \frac{1}{x}\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\ln {{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}} \right] } = {\frac{1}{x}\,\ln \left[ {\lim\limits_{n \to \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}} \right].} \] Видно, что предел в квадратных скобках равен числу \(e\). Следовательно, производная натурального логарифма равна \[y'\left( x \right) = \frac{1}{x}\ln e = \frac{1}{x}.\]